palindromes numeriques
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Lors d'un soutien de math, un élève m'a amené un problème que je n'ai pas
été capable de résoudre. Je me permets de vous le soumettre et de vous
demander s'il y a un truc que j'ai loupé. Voilà donc le problème:
les nombres de 1 à 9 sont des palindromes, les nombres 11, 22, 33, ..., 99
sont des palindrômes, les nombres 101, 202 etc sont des palindrômes.
Question : donner la valeur du 2008ème palindrôme.
J'ai utilisé l'approche suivante :
entre 1 et 9 il y a 9 palindromes (j'ai compté sur mes doigts)
entre 11 et 99 il y a 9 palindromes (meme méthode que prédemment)
entre 101 et 999, il y a 9 fois 10 palindromes
entre 1001 et 9999, il y a 9 fois (le nombre de palindrômes à 2 chiffres +
1), le +1 venant de la valeur 00 au milieu qui n'a jamais été comptée
avant.
pour des nombres à n chiffres, il y a 9 + (le nombres de palindrômes à n-2
chiffres + 1 fois le nombres de palindrômes à n-4 chiffres) par exemple:
de 1xxx1 à 9xxx9, il y a 9 fois les palindromes à 3 chiffres + 9 fois les
palindromes de la forme 0y0 qui ne sont pas comptés dans les palindromes à
3 chiffres...
Mais là je suis bloqué, je peux faire les calculs à la mains et ensuite on
arrive pas à 2008, il faut donc énumérer à la main les valeurs qui
manquent.. Est-ce qu'il y a un truc que j'ai loupé ?
d'avance merci de votre aide
--
new
zpz
> Bonjour
>
> Lors d'un soutien de math, un élève m'a amené un problème que je n'ai pas
> été capable de résoudre. Je me permets de vous le soumettre et de vous
> demander s'il y a un truc que j'ai loupé. Voilà donc le problème:
Il y a deux manières de fabriquer un palindrome :
a) prendre un nombre et le recopier derrière à l'envers :
234 -> 234432
b) prendre un nombre et le recopier derrière à l'envers, sauf
le chiffre des unités :
234 -> 23432
Du coup, chaque nombre engendre deux palindromes.
Les palindromes à nombre pair de chiffres sont dans le même
ordre que les nombres leur ayant donné naissance, de même les
palindromes à nombre impair de chiffres.
Avec les 999 nombres de 1 à 999 je forme 1998 palindromes
(jusqu'à 6 chiffres).
Pour trouver le 2008e, je cherche alors le dixième palindrome
à 7 chiffres : il est fabriqué à l'aide du dixième nombre à 4
chiffres, par le méthode b) :
1009 -> 1009001
J'espère que c'est ça !
--
zpz