Division de fonctions
UGLi
Une question classique (je viens de voir ça dans un pb de l'X)
f est une fonction indéfiniment dérivable sur R.
Montrer que a est un zéro d'ordre n pour f équivaut à l'existence d'une
fonction continue g telle que :
f(x)=(x-a)^n . g(x) et g(a)<>0.
Dans un sens c'est Taylor Young.
Dans l'autre je bloque.
Pouvez-vous m'aider
Merci.
UGLi
Olivier
[...]
> f est une fonction indéfiniment dérivable sur R.
>
> Montrer que a est un zéro d'ordre n pour f équivaut à l'existence d'une
> fonction continue g telle que :
>
> f(x)=(x-a)^n . g(x) et g(a)<>0.
> Dans l'autre je bloque.
A mon avis, si g admet un développement d'ordre
n ou n+1 en x=a, elle va y être dérivable n fois.
JQCA, Olivier
sotwafits
>
> A mon avis, si g admet un développement d'ordre
> n ou n+1 en x=a, elle va y être dérivable n fois.
> JQCA, Olivier
pas 2 fois dérivable en 0 mais admet un DL2)
Pour en revenir au problème :
(1) : f admet en a un zéro d'ordre n càd :
f(a)=f'(a)=...=f^(n-1)(a)=0 et f^(n)(a)<>0
(2) : il existe g continue telle que f(x)=(x-a)^n*g(x) et g(a)<>0
(2)=>(1) :
(2) entraîne que f(x)=(x-a)^n*g(a)+o((x-a)^(n-1))
Comme f est C^infini, son DLn est donné par la formule de Taylor-Young,
et comme il est unique, on a :
f(a)=...=f^(n-1)(a)=0 et f^(n)(a)/n!=g(a)<>0
Donc a est un zéro d'ordre exactement n de f.
(1)=>(2) :
Appliquons la formule de Taylor-reste intégral à l'ordre n-1 :
Avec un changement de variable affine pour sortir une puissance de x-a :
f(x)=(x-a)^n int_0^1 u^(n-1) f^(n)(x+(a-x)u)/(n-1)! du
D'où l'existence de g continue telle que f(x)=(x-a)^n*g(x)
On a g(a)=0 : sinon, a serait un zéro d'ordre n+1 (au moins) de f
(d'après la démonstration précédente)
sotwafits
sotwafits
> (2)=>(1) :
> (2) entraîne que f(x)=(x-a)^n*g(a)+o((x-a)^(n-1))
> Comme f est C^infini, son DLn est donné par la formule de Taylor-Young,
> et comme il est unique, on a :
> f(a)=...=f^(n-1)(a)=0 et f^(n)(a)/n!=g(a)<>0
> Donc a est un zéro d'ordre exactement n de f.
Petite rectification : lire :
(2) entraîne que f(x)=(x-a)^n*g(a)+o((x-a)^n)
Olivier
> Olivier a écrit :
>>
>> A mon avis, si g admet un développement d'ordre
>> n ou n+1 en x=a, elle va y être dérivable n fois.
>> JQCA, Olivier
Il me semble qu'une fonction admettant un développement d'ordre
n en 0, C^n dans un voisinage épointé de 0 de dérivée
nième bornée était dérivable à l'ordre n sur l'intervalle
en question (0 compris). Et il me semblait que cela
s'appliquait ici -- Mais bon, j'ai peut être regardé trop vite.
(et j'ai la flemme de regarder là ).
[...]
> et comme il est unique,
L'unicité est certainement une plus jolie clé, mais est il
normal de livrer en ce lieu la solution des exercices ?
O.
Nicolas Richard
UGLi a tapoté :
> f est une fonction indéfiniment dérivable sur R.
>
> Montrer que a est un zéro d'ordre n pour f équivaut à l'existence d'une
> fonction continue g telle que :
>
> f(x)=(x-a)^n . g(x) et g(a)<>0.
Bon il me semble que si a est zéro d'ordre n, alors
la limite f(x)/(x-a)^n
en x -> a, se calcule avec la règle dite "de l'Hospital" (à démontrer au
besoin), ce qui va prouver que g(x) := f(x)/(x-a)^n existe et a les
bonnes propriétés. Jusque là ça doit marcher.
Réciproquement, il me semble que g doit être dérivable en x = a... non ?
L'idée étant que g(x) = f(x)/(x-a)^n hors de a, et en agitant les mains
avec la même règle de l'Hospital appliquée à la limite définissant la
dérivée de g, on doit retomber sur ce qu'il faut...
Bon, j'intuite sûrement mal la chose... ou alors je cache les problèmes
sous la "règle de l'hospital" ?
--
Nico.