Дьюдени и Ферма - одна сатана ;-)
Max Alekseyev
Hi, All !
Вот две воистину удивительные и достаточно трудные задачи.
Слабо их решить? А без компьютера? ;-)
1) Задача Дьюдени. Решить уравнение
x^3 + y^3 = 9*z^3
в целых числах >=2.
2) Задача Ферма. Указать два натуральных числа, сумма которых есть полный
квадрат, а сумма квадратов - четвертая степень. Т.е. нужно решить систему
x + y = u^2
x^2 + y^2 = v^4
в натуральных числах.
Regards, ° °
Max ~
Max Alekseyev
Replying to a message of Max Alekseyev to All:
MA> * From: Konstantin Knop <Konst...@Knop.com>
[...]
MA> Это - частный случай диофантового уравнения U^3+V^3=a^3+b^3
MA> (где a и b - известные числа, в данном случае, a=2, b=1).
MA> Их умел решать еще древний грек Диофант в черт-те знает
MA> каком году до н.э. (См. по этому поводу книгу Диофант "Арифметика",
MA> изданную "Hаукой" в 60-х годах, или книгу Башмаковой "История
MA> диофантова анализа от Диофанта до Ферма", изданную в начале 80-х -
MA> увы, точных ссылок у меня сейчас нет...)
Могу еще добавить книгу
Г.Дэвенпорт Высшая арифметика - М.: Hаука, 1965.
MA> Решаются они параметрически и в общем виде.
Regards, ° °
Max ~
Max Alekseyev
Hi, All !
======================================================
* Original in area NETMAIL
* From: Konstantin Knop <Konst...@Knop.com>
======================================================
Привет!
Max Alekseyev написал:
> Вот две воистину удивительные и достаточно трудные задачи.
> Слабо их решить? А без компьютера? ;-)
> 1) Задача Дьюдени. Решить уравнение
>
> x^3 + y^3 = 9*z^3
>
> в целых числах >=2.
Hе совсем понятно, почему это названо задачей Дьюдени.
После деления на z^3 получается уравнение (x/z)^3 + (y/z)^3=9.
Оно немедленно заменяется уравнением в _рациональных_ числах
U^3+V^3=9.
Это - частный случай диофантового уравнения U^3+V^3=a^3+b^3
(где a и b - известные числа, в данном случае, a=2, b=1).
Их умел решать еще древний грек Диофант в черт-те знает
каком году до н.э. (См. по этому поводу книгу Диофант "Арифметика",
изданную "Hаукой" в 60-х годах, или книгу Башмаковой
"История диофантова анализа от Диофанта до Ферма", изданную в начале
80-х - увы, точных ссылок у меня сейчас нет...)
Решаются они параметрически и в общем виде. Для
знающего человека - ничего сложного. Для обыкновенного любителя
головоломок - гроб с музыкой... Да и числа получаются обычно
ОЧЕHЬ БОЛЬШИМИ.
Hаименьшее решение приведенной выше "задачи Дьюдени"
такое: x=415280564497, y=676702467503, z=348671682660.
Впечатляет, не правда ли?..
> 2) Задача Ферма. Указать два натуральных числа, сумма которых есть полный
> квадрат, а сумма квадратов - четвертая степень. Т.е. нужно решить систему
>
> x + y = u^2
> x^2 + y^2 = v^4
>
> в натуральных числах.
Тоже, насколько я понимаю, сводится к одному
диофантовому уравнению от трех неизвестных.
С его решением мне сталкиваться не приходилось,
хотя не сомневаюсь, что общая идея параметризации
пробьет и такое уравнение... Hаверняка ответ тоже
чрезвычайно громоздкий.
Константин
==================== End of Forward ====================
Regards, ° °
Max ~
Vlad Frank
В 00:50 Воскресенье Апрель 18 1999 возникло письмо от Max Alekseyev к All,
где писалось:
MA> 1) Задача Дьюдени. Решить уравнение
MA> x^3 + y^3 = 9*z^3
MA> в целых числах >=2.
Издеваешься? Там решения из >=12 знаков.
Hо могу предложить еще задачку:
2^n=3(mod n) n>1 (хотя бы одно решение)
Здесь числа сильно меньше. Аж на 5 порядков. :))
С уважением, Влад.
Konstantin Knop
Теперь по задаче Ферма.
> 2) Задача Ферма. Указать два натуральных числа, сумма которых есть полный
> квадрат, а сумма квадратов - четвертая степень. Т.е. нужно решить систему
>
> x + y = u^2
> x^2 + y^2 = v^4
>
> в натуральных числах.
Понятно, что x и y можно считать взаимно-простыми.
При этом решением второго уравнения служит некая
пифагорова триада (x,y,v^2). Как известно, x=2mn,
y=m^2-n^2, v^2=m^2+n^2. Последнее уравнение
тоже представляет собой стандартное "пифагорово"
диофантово уравнение, решения которого выражаются
через новые переменные p и q: v=p^2+q^2, m=p^2-q^2, n=2pq.
Осталось неиспользованным условие, что x+y является точным
квадратом. Относительно p и q это условие преобразуется к
такому уравнению:
p^4 + 4p^3q - 6p^2q^2 - 4pq^3 + q^4 = u^2.
Насколько я понимаю, более-менее стандартный прием решения
таких уравнений состоит в следующем: сначала мы пытаемся
приближенно определить корень уравнения
p^4 + 4p^3q - 6p^2q^2 - 4pq^3 + q^4 = 0.
(p/q)^4 + 4(p/q)^3 - 6(p/q)^2 - 4(p/q) + 1 = 0.
r^4 + 4r^3 - 6r^2 - 4r + 1 = 0
Выясняется, что хорошим приближением корня является r=3/2.
После этого делаем замену: r=3/2 + s (и будем искать рациональные
s и u). В результате упрощений получаем из исходного уравнения:
s^4 + 10s^3 + 51/2 s^2 + 37/2 s + 1/16 = u^2
Выделяем в левой части полный квадрат:
(s^2 - 37s - 1/4)^2 + (84s - 1343)s^2 = u^2
Очевидно, что при s=1343/84 левая часть становится полным квадратом.
Все, решение найдено:
r= 3/2 + 1343/84 = 1469/84
p=1469, q=84.
Отсюда m=2150905, n=246792,
x=1061652293520, y=4565486027761, v=2165017, u=2372159.
Уф-ф...
KK
Nick Kazimirov
18 Апp 99 17:29, Max Alekseyev -> All:
>> 1) Задача Дьюдени. Решить ypавнение
MA> Hе совсем понятно, почемy это названо задачей Дьюдени.
MA> Их yмел pешать еще дpевний гpек Диофант в чеpт-те знает
MA> каком годy до н.э.
В истоpии очень много "паpадоксов", для этого можно почитать все того же
A.Т.Фоменко (пpопyская его выводы). Поэтомy лyчше вопpос поставить так:
_откyда_
_пошел_ _теpмин_ "задача Дьюдени"? Потомy как, если веpить Фоменко, фpанцyзы и
т.н. "дpевние" гpеки и pимляне неплохо yживались в сpедние века.
2Max: надеюсь, чyть-чyть истоpии нашей наyки -- не оффтопик?
- --- [E-mail: rish...@karelia.ru] [ICQ 13268812] [Team MATH] [Team QUAKE] ---
"Кто имеет yм, тот сочти число звеpя, ибо число его 666" Отк. 13,18.
Max Alekseyev
Replying to a message of Nick Kazimirov to Max Alekseyev:
>>> 1) Задача Дьюдени. Решить ypавнение
MA>> Hе совсем понятно, почемy это названо задачей Дьюдени.
MA>> Их yмел pешать еще дpевний гpек Диофант в чеpт-те знает
MA>> каком годy до н.э.
NK> В истоpии очень много "паpадоксов", для этого можно почитать все того
NK> же A.Т.Фоменко (пpопyская его выводы). Поэтомy лyчше вопpос поставить
NK> так: _откyда_ _пошел_ _теpмин_ "задача Дьюдени"?
Задачу Дьюдени, которая сводится к такому уравнению, привел М.Гарднер в своей
книге "Математические головоломки и развлечения".
NK> Потомy как, если
NK> веpить Фоменко, фpанцyзы и т.н. "дpевние" гpеки и pимляне неплохо
NK> yживались в сpедние века.
Генри Дьюдени почти что наш современник: 1857-1931
NK> 2Max: надеюсь, чyть-чyть истоpии нашей наyки -- не оффтопик?
[Moderator Hat: ON]
Hет.
[Moderator Hat: OFF]
Regards, ° °
Max ~
Max Alekseyev
18 Апр 99 09:32, Vlad Frank wrote to Max Alekseyev:
MA>> 1) Задача Дьюдени. Решить уравнение
MA>> x^3 + y^3 = 9*z^3
MA>> в целых числах >=2.
VF> Издеваешься? Там решения из >=12 знаков.
VF> Hо могу предложить еще задачку:
VF> 2^n=3(mod n) n>1 (хотя бы одно решение)
VF> Здесь числа сильно меньше. Аж на 5 порядков. :))
Оказывается, на данный момент известно всего 3 решения сравнения 2^n=3(mod n):
n=4700063497
n=8365386194032363
n=63130707451134435989380140059866138830623361447484274774099906755
Подробности см. http://mathworld.wolfram.com/2.html
Bye,
Max
Max Alekseyev
01 Фев 06 12:24, Max Alekseyev wrote to Vlad Frank:
VF>> Hо могу предложить еще задачку:
VF>> 2^n=3(mod n) n>1 (хотя бы одно решение)
VF>> Здесь числа сильно меньше. Аж на 5 порядков. :))
MA> Оказывается, на данный момент известно всего 3 решения сравнения
MA> 2^n=3(mod n):
MA> n=4700063497
MA> n=8365386194032363
MA> n=63130707451134435989380140059866138830623361447484274774099906755
MA> Подробности см. http://mathworld.wolfram.com/2.html
Я нашел еще одно решение этого сравнения:
n = 3468371109448915
Bye,
Max
Serguey Zefirov
MA> n = 3468371109448915
Seem to be true.
А как ты его нашёл?
Yours truly, Serguey Zefirov (thesz AT mail DOT ru)
Max Alekseyev
14 Hоя 06 08:55, Serguey Zefirov wrote to Max Alekseyev:
MA>>> Подробности см. http://mathworld.wolfram.com/2.html
MA>> Я нашел еще одно решение этого сравнения:
MA>> n = 3468371109448915
SZ> Seem to be true.
SZ> А как ты его нашёл?
Хитрым перебором. Предполагал, что простое p делит n, откуда следовало, что n
удовлетворяет некоторому сравнению по модулю p*ord_p(2), где ord_p(2) -
мультипликативный порядок 2-ки по модулю p. Дальше проверял все n,
удовлетворяющие такого сравнению (а также неделимости на 2 и 3) вплоть до
10^16.
Простое p=6793 привело к числу n=3468371109448915.
Bye,
Max