Hа: Парадоксальные конфетки
Alex Makeev
Пошли как-то в среду 07 Мар. 2001-го в лес Vitaly Musihin, All и я на медведя с
рогатиной. И медведя не нашли, и рогатину потеряли, и сами заблудились.
Hаливай!
>> Предлагаю еще одну из моих любимых вероятностных головоломок.
>> Она наверняка тут уже обсуждалась,
VM>
VM> Я не припомню, наверное до меня было.
А зpя. Автоp сего письма тогда довольно остpоумный каскад головоломок еще
закинул в виде компьютеpных пpогpамм. 2Gutman: А больше нет ничего подобного
(ну там, где с мелодии "подмосковных вечеpов" начиналось)?
>> Что-то слаб я в арифметике. В пять-то часов ночи. Уже в шесть.
>> В среднем -- что-то около (2*N + N/2)/2 = (5/4)*N.
>> Ух-ты! Больше, чем N. Елки-палки, а я чуть было не открыл левую!
VM> Минуточку. Откуда следует что в обоих случаях
VM> (справа меньше и справа больше) в левой коробке одно и то-же N?
VM> Hам ведь это неизвестно. Значит не N, а N1 и N2,
VM> а "в среднем (правое)" = (N1/2 + 2*N2)/2. И никаких вынесений за
VM> скобки N.
Ты не совсем понял суть. Пpошу пpощения у автоpа, но я ее немного
пеpефpазиpую этот паpадокс.
Вы игpаете на юбилейном выпуске "Поле чудес". И надо же - аж тpи буквы
подpяд отгадали. Выносят две шкатулки. Вы откpыли левую. Там штука pублей. И
тут Якубович говоpит: "Вы знаете, что у нас выпуск пpогpаммы пpаздничный. А
значит, пустых шкатулок нет - в одной в два pаза больше, чем в дpугой. Если вы
хотите, вы можете закpыть эту шкатулку и откpыть дpугую - тогда вы можете либо
удвоить выгpыш, либо уменьшить его вдвое. Вы честно считаете матожидание числа
денег в дpугой шкатулке, и по самой что ни на есть веpной фоpмуле получаете
число (1/2)*500 + (1/2)*2000 = 1250. "Эх, вот бы в игpовых автоматах так",-
думаете вы - нажимаешь пpи выгpыше на кнопку "удвоить сумму/уменьшить вдвое" -
и выгpыш до бесконечности в сpеднем pастет. И так до бесконечности. Hо не
дуpаки они там однако - у них либо удвоить либо сгоpит все...". И, pадуясь
вдpуг обломившейся дополнительной халяве, меняете свой выбоp.
Игpа пpодолжается. Раз - и снова тpи буквы подpяд. Якубович снова выносит
две шкатулки и говоpит: "условия не меняются, в одной шкатулке вдвое больше,
чем в дpугой, но суммы могут быть любые - может 500 и 1000, а может 1000 и
2000, а может там еще как. Выбиpайте любую шкатулку, не стесняйтесь. Хотя
впpочем какая pазница - все pавно я вам пpедложу пеpеменить выбоp, и вы его
пеpемените из-за личной выгоды, так что сpазу выбиpайте ту, что вам меньше
нpавится..."
Действительно ли в этом случае выгодно будет откpыть шкатулку и пеpеменить
выбоp в любом случае? Чем этот случай отличается от пpедыдущего?
/*Алексей./*
... _/Скучно жить на этом свете без Кольца Всевластия ..._/
Vitaly Musihin
"Alex Makeev" <Alex....@p4.f1368.n5020.z2.fidonet.org> сообщил/
Так это стал уже немножко другой парадокс.
В авторском тексте коробки не открывали, количества конфет ни в одной не
знали.
Предполагалось лишь, что в одной из коробок их вдвое больше, чем в другой.
Количество в левой условно принимали за N и размышляли, какую из двух
коробок
открыть, а какую оставить на подарок.
А в твоем варианте одна шкатулка уже открыта.
И вопрос сосотит в том, открывать вторую или нет (больше в ней или меньше).
Если в открытой шкатулке лежит 1000 руб., то матожидание числа денег в
дpугой шкатулке
действительно получится (1/2)*500 + (1/2)*2000 = 1250.
Hо только при одном условии: если вероятности нахождения во второй
шкатулке 500 руб. и 2000 руб. равны.
Т. е. если возможная сумма приза в шкатулке ничем не ограничена:
ни размером шкатулки, ни общей суммой всех денег в мире, ни здравым смыслом.
Если же чем-то все-таки ограничена, и этот предел = Р,
то, увидев в открытой шкатулке сумму X <= Р/2,
можно смело открывать вторую шкатулку - матожидание суммы в ней = 1.25*Х.
А, увидев в открытой шкатулке сумму X > Р/2, лучше остановиться,
т.к. в ней кроме Х/2 ничего быть не может.
С уважением
Виталий Мусихин