Cubos y cuadrados!
Javier Esquinas
consecutivos es un cuadrado perfecto,dígamos N.
Demostrar que N puede expresarse como la suma de dos cuadrados.
Saludos.
Javier Esquinas
Perdón,que está mal expresado:
Donde dice:
> consecutivos es un cuadrado perfecto,dígamos N.
debe de decir
consecutivos es un cuadrado perfecto,dígamos N^2.
Antonio González
>> consecutivos es un cuadrado perfecto,d�gamos N.
>> Demostrar que N puede expresarse como la suma de dos cuadrados.
>>
>> Saludos.
>
>
>
> Donde dice:
>
>> consecutivos es un cuadrado perfecto,d�gamos N.
>
> debe de decir
>
> consecutivos es un cuadrado perfecto,d�gamos N^2.
Vamos all� con la artiller�a.
Hay que resolver
N^2 - 3p^2 -3p - 1 = 0
Multiplicando por 4 esto queda
(2N)^2 - 3(2p+1)^2 = 1
que es la ecuaci�n de Pell, con la condici�n de que x sea par e y impar.
La soluci�n general de esta ecuaci�n de Pell es
x(0) = 2
y(0) = 1
x(n) = 2x(n-1) + 3y(n-1)
y(n) = x(n-1) + 2y(n-1)
De esta soluci�n vemos que las paridades de x e y van cambiando en cada
iteraci�n, por lo que necesitamos las soluciones de �ndice par, que cumplen
x(2n) = 7x(2n-2) + 12y(2n-2)
y(2n) = 4x(2n-2) + 7y(2n-2)
Haciendo x(2n) = 2N(n), y(2n) = 2p(n)+1, resulta
N(n) = 7N(n-1) + 12p(n-1)+6
p(n) = 4N(n-1) + 7p(n-1)+3
Los primeros valores para N son
1 = 0^2 + 1^2
13 = 2^2 + 3^2
181 = 9^2 + 10^2
2521 = 35^2 + 36^2
Resolviendo la ecuaci�n obtenemos la expresi�n general
N(n) = ((2+rq(3))^(2n+1) + (2-rq(3))^(2n+1))/4
que todav�a no es lo que buscamos... Luego sigo
--
Antonio
Ignacio Larrosa Ca�estro
>> consecutivos es un cuadrado perfecto,d�gamos N.
>> Demostrar que N puede expresarse como la suma de dos cuadrados.
>>
>> Saludos.
>
>
>
> Donde dice:
>
>> consecutivos es un cuadrado perfecto,d�gamos N.
>
> debe de decir
>
> consecutivos es un cuadrado perfecto,d�gamos N^2.
Prefiero casi poner n^2 ...
Tenemos entonces
(m + 1)^3 - m^3 =3m^2 +3m + 1 = n^2
Para completar cuadrados, multipliquemos por 4,
3(2m)^2 + 3*2*(2m) + 3 + 1 = (2n)^2
(2n)^2 - 3(2m + 1)^2 = 1
Hagamos 2n = p, 2m + 1 = q y nos queda la ecuaci�n de Pell
p^2 - 3q^2 = 1
de la que nos interesan las soluciones con p par (y por tanto q impar). La
m�nima soluci�n no trivial de esta ecuaci�n es (p, q) = (2, 1), por lo que
todas son de la forma:
p(k) + rq(3)q(k) = (2 + rq(3))^k
Las relaciones que verifican p(k) y q(k) se obtienen de
p(k+1) + rq(3)q(k+1) = (2 + rq(3))(p(k) + rq(3)q(k)) ==>
p(k+1) = 2p(k) + 3q(k)
q(k+1) = p(k) + 2q(k)
Como p(0) = 1 y q(0) = 0, de estas relaciones vemos que para k impar es p
par y q impar. Podemos considerar entonces las relaciones
p(2k+1) + rq(3)q(2k+1) = (2 + rq(3))^2(p(2k-1) + rq(3)q(2k-1))
= (7 + 4rq(3))(p(2k-1) +
rq(3)q(2k-1))
p(2k+1) = 7p(2k-1) + 12q(2k-1)
q(2k+1) = 4p(2k-1) + 7q(2k-1)
Consoderando ahora r(k) = p(2k+1), s(k) = q(2k+1), tenemos que r(0) = 2,
q(0) = 1, y
r(k+1) = 7r(k) + 12s(k)
s(k+1) = 4r(k) + 7s(k)
Para obtener relaciones independientes, escribimos
r(k+2) = 7r(k+1) + 12s(k+1) = 7r(k+1) + 48r(k) + 84s(k) = 7r(k+1) + 48r(k) +
7(r(k+1) - 7r(k))
r(k+2) = 14r(k+1) - r(k), r(0) = 2, r(1) = p(3) = 26
similarmente, se obtiene
s(k+2) = 14s(k+1) - s(k), s(0) = 1, s(1) = q(3) = 15
La ecuaci�n caracter�stica es entonces x^2 - 14x - 1 = 0, con las ra�ces 7
+/- 4rq(3). Entonces,
r(k) = A(7 + 4rq(3))^k + B(7 - 4rq(3))^k
que con r(0) = 2, r(1) = 26, nos da
r(k) = ((2 + rq(3))/2)(7 + 4rq(3))^k + ((2 - rq(3))/2)(7 - 4rq(3))^k
= (1/2)((2 + rq(3))^(2k+1) + ((2 - rq(3))^(2k+1)
Estos son los valores de 2n. Los de n(k) ser�n
n(k) = (1/4)((2 + rq(3))^(2k+1) + (2 - rq(3))^(2k+1))
Hemos de ver que n(k) = 1 (mod 4), para todo k. Es decir, que
4n(k) = (2 + rq(3))^(2k+1) + (2 - rq(3))^(2k+1)
es m�ltiplo de 4 pero no de 8.
Pero
(2 + rq(3))^(2k+1) + (2 - rq(3))^(2k+1) = 2(2k+1)2(rq(3))^(2k) = 4*3^k = 4
(mod 8)
(q.e.d)
--
Saludos,
Ignacio Larrosa Ca�estro
A Coru�a (Espa�a)
ilarrosaQUIT...@mundo-r.com
Antonio González
>
> Estos son los valores de 2n. Los de n(k) serán
>
> n(k) = (1/4)((2 + rq(3))^(2k+1) + (2 - rq(3))^(2k+1))
>
> Hemos de ver que n(k) = 1 (mod 4), para todo k. Es decir, que
>
> 4n(k) = (2 + rq(3))^(2k+1) + (2 - rq(3))^(2k+1)
>
> es múltiplo de 4 pero no de 8.
>
> Pero
>
> (2 + rq(3))^(2k+1) + (2 - rq(3))^(2k+1) = 2(2k+1)2(rq(3))^(2k) = 4*3^k = 4
> (mod 8)
>
> (q.e.d)
>
¿Todo número igual a 1 (mod 4) es suma de dos cuadrados?
--
Antonio
Antonio González
> Javier Esquinas escribió:>>> La diferencia de los cubos de dos números enteros positivos
>>> consecutivos es un cuadrado perfecto,dígamos N.
>>> Demostrar que N puede expresarse como la suma de dos cuadrados.
>>>
>>> Saludos.
>
> Resolviendo la ecuación obtenemos la expresión general
>
> N(n) = ((2+rq(3))^(2n+1) + (2-rq(3))^(2n+1))/4
>
> que todavía no es lo que buscamos... Luego sigo
>
Estos N(n) cumplen la relación de recurrencia
N(n) = 14N(n-1) - N(n-2)
Construimos ahora la recurrencia
b(0) = 0
b(1) = 2
b(n) = 4b(n-1) - b(n-2)
(que no sale por arte de magia, proviene de la relación de primer orden
que escribí antes para x e y).
Se trata ahora de ver que
N(n) = 2b(n)^2 + 2b(n) + 1 = b(n)^2 + (b(n)+1)^2
Tras la cena sigo.
--
Antonio
Ignacio Larrosa Ca�estro
> Ignacio Larrosa Ca�estro escribi�:
>
>>
>> Estos son los valores de 2n. Los de n(k) ser�n
>>
>> n(k) = (1/4)((2 + rq(3))^(2k+1) + (2 - rq(3))^(2k+1))
>>
>> Hemos de ver que n(k) = 1 (mod 4), para todo k. Es decir, que
>>
>> 4n(k) = (2 + rq(3))^(2k+1) + (2 - rq(3))^(2k+1)
>>
>>
>> Pero
>>
>> (2 + rq(3))^(2k+1) + (2 - rq(3))^(2k+1) = 2(2k+1)2(rq(3))^(2k) =
>> 4*3^k = 4 (mod 8)
>>
>> (q.e.d)
>>
>
No, evidentemente. Pero yo, "sensu stricto", no dije eso ";^)
Ahora ya en serio, esto solo es una parte. Qudar�a por ver que que todos los
factores de n(k) iguales a 3 (mod 4) est�n elevados a potencias pares. Lo
anterior es solo una condici�n necesaria, pero no suficiente.
Antonio González
> Antonio González escribió:
>> Javier Esquinas escribió:
>>> On 11 nov, 12:50, Javier Esquinas <jesqui...@renfe.es> wrote:
>>>> La diferencia de los cubos de dos números enteros positivos
>>>> consecutivos es un cuadrado perfecto,dígamos N.
>>>> Demostrar que N puede expresarse como la suma de dos cuadrados.
>>>>
>>>> Saludos.
>
>>
>> Resolviendo la ecuación obtenemos la expresión general
>>
>> N(n) = ((2+rq(3))^(2n+1) + (2-rq(3))^(2n+1))/4
>>
>> que todavía no es lo que buscamos... Luego sigo
>>
>
> Estos N(n) cumplen la relación de recurrencia
>
> N(n) = 14N(n-1) - N(n-2)
>
> Construimos ahora la recurrencia
>
> b(0) = 0
>
> b(1) = 2
>
> b(n) = 4b(n-1) - b(n-2)
esto está mal es
b(n) = 4b(n-1) - b(n-2) + 1
>
> (que no sale por arte de magia, proviene de la relación de primer orden
> que escribí antes para x e y).
>
> Se trata ahora de ver que
>
> N(n) = 2b(n)^2 + 2b(n) + 1 = b(n)^2 + (b(n)+1)^2
>
Para n=0 y n=1 es cierto que
N(0) = b(0)^2 + (b(0)+1)^2
N(1) = b(1)^2 + (b(1)+1)^2
Ahora aplicamos inducción. Suponemos que
N(n) = b(n)^2 + (b(n)+1)^2 (#1)
y demostraremos que
N(n) - 14N(n-1) + N(n-2) = 0
Sustituimos la relación (#1) y nos queda el residuo
R(n-1) = N(n) - 14N(n-1) + N(n-2) =
= 4(b(n-1)^2 - b(n-1) +b(n-2)^2 - b(n-2)-4b(n-1)b(n-2)-2)
Veamos que esta cantidad es nula. tenemos que
R(1) = 4(0^2 - 0 + 4 - 2 - 0 - 2) = 0
y que restando
R(n)-R(n-1) = 4(b(n)^2 - b(n) - b(n-2)^2 + b(n-2) -
-4b(n)b(n-1) - 4 b(n-1)b(n-2)) =
= 4(b(n)-b(n-2))(b(n) - 4b(n-1) + b(n-2)-1) = 0 c.q.d.
ya que el paréntesis es la relación de recurrencia que cumple b(n).
Por tanto, resumiendo,
Los valores de N cumplen:
N(0) = 1
N(1) = 13
N(n) = 14N(n-1) - N(n-2)
o, explícitamente,
N(n) = ((2+rq(3))^(2n+1) + (2-rq(3))^(2n+1))/4
Estos valores se pueden poner como suma de cuadrados de dos números
consecutivos, b(n) y b(n+1), con b(n) cumpliendo
b(0) = 0
b(1) = 2
b(n) = 4b(n-1) - b(n-2) + 1
o, explícitamente
b(n) = ((2+rq(3))^(n+1/2) - (2-rq(3))^(n-1/2) - 1)/2
--
Antonio