El triángulo de los triángulos

[Antonio González]

Esto no es un problema sino un ejercicio motivado por el problema de
jesquinas.

Un "diagrama ternario"

http://www.eos.ubc.ca/courses/eosc221/ternary/ternary.html

es una representacion bidimensional especialmente útil para representar
conjuntos de tres variables ligados por la relación

x1 + x2 + x3 = 1

como pueden ser las proporciones de una mezcla formada por tres elementos.

Dado que los ángulos de un triángulo verifican

A + B + C = pi

podemos representar el universo de todos los triángulos (o, más
precisamente, de las clases de equivalencia de los triángulos
semejantes) mediante uno de estos diagramas.

1) ¿Que relaciones lineales dan A, B y C como funciones de la posición
cartesiana (x,y) dentro del triángulo de forma que a (0,0) le
corresponde A = pi, a (1,0) le corresponde B = pi, y a (1/2,rq(3)/2) le
corresponde C = pi?

En esta representación, ¿dónde quedan los triángulos equiláteros? ¿Y los
isósceles? ¿Y los rectángulos, acutángulos y obtusángulos?

2) Esta representación es redundante, ya que debido a la posibilidad de
permutar los vértices, repite seis veces el mismo esquema. Aislando una
de las seis partes, ¿qué relación lineal hace que a A= pi le corresponda
(0,0), a A=B, C = 0 le corresponda (1,0) y a A=B=C le corresponda
(1/2,rq(3)/2)?

En este diagrama reducido, ¿dónde quedan los triángulos equiláteros? ¿Y
los isósceles? ¿Y los rectángulos, acutángulos y obtusángulos?

3) Y, volviendo al problema de jesquinas, en este diagrama ¿por dónde
quedan los triángulos más elejado del isoscelismo?

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Antonio

[Antonio González]

Antonio González escribió:

Ahondando en esto. Una representación alternativa del universo de los
triángulos consiste en escalar los lados con el perímetro, de forma que
se verifica que

a + b + c = 1

Esto permite emplear un diagrama ternario para representar todos los
valores posibles de a, b y c.

Ahora bien, ¿puede haber triángulos que correspondan a cualquier punto
del diagrama? ¿O hay regiones prohibidas?

En este nuevo diagrama, ¿dónde quedan los triángulos equiláteros? ¿Y los
isósceles? ¿Y los triángulos rectángulos?

¿Cómo quedan en este diagrama las líneas que dan una proporción
constante entre longitudes de lado?

Empleando este diagrama, ¿cuál es la solución al problema de jesquinas
sobre la isoscelitud de un triángulo?

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Antonio