Un sistema de ecuaciones
Nirova
Encontrar todas las soluciones del sistema de ecuaciones:
3(x^2+y^2+z^2)=1
x^2.y^2+y^2.z^2+z^2.x^2=x.y.z.(x+y+z)^3
Un saludo y gracias.
Nirova
Nirova
Antonio González
Sea
x^3 + ax^2 + bx + c = 0
la ecuación cúbica que verifican x, y y z.
Por Cardano-Vieta
a = -(x+y+z)
b = xy + xz + yz
c = -xyz
Combinado estas expresiones tenemos
a^2 - 2b = x^2 + y^2 + z^2
b^2 -2ac = x^2y^2 + x^2z^2 + y^2z^2
Por tanto, se verifica
3(a^2 -2b) = 1
b^2 - 2ac = ca^3
Despejando de aquí b y c en función de a y sustituyendo en la cúbica se
obtiene una ecuación de la cual se puede sacar x, y y z como funciones
de a (esto es, hay infinitas soluciones). Además la expresión de las
soluciones es muy complicada.
¿Seguro que no te falta algo, como decir que todas las soluciones son
reales, o que son positivas (ya que x=y=z=1/3 es una solución)?
--
Antonio
Ignacio Larrosa Cañestro
Antonio González <gonf...@gmail.com> escribió:
> Nirova escribió:
>> Hola a todos, a ver si podeis ayudarme con esta cuestión:
>> Encontrar todas las soluciones del sistema de ecuaciones:
>> 3(x^2+y^2+z^2)=1
>> x^2.y^2+y^2.z^2+z^2.x^2=x.y.z.(x+y+z)^3
>> Un saludo y gracias.
>
> se obtiene una ecuación de la cual se puede sacar x, y y z como
> funciones de a (esto es, hay infinitas soluciones). Además la
> expresión de las soluciones es muy complicada.
>
> ¿Seguro que no te falta algo, como decir que todas las soluciones son
> reales, o que son positivas (ya que x=y=z=1/3 es una solución)?
Estudiando las secciones z = cte, para z > 0, me da la impresión de que esa
es la única solución en el octante positivo. Creo que la otra única solución
es x = y = z = -1/3.
--
Saludos,
Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUIT...@mundo-r.com
Nirova
Bueno, el caso es que es un problema de oposición y la pregunta estaba
formulada exactamente así. No sé si será mucho suponer que las
soluciones deben ser reales, pero el enunciado no especificaba nada.
Ignacio Larrosa Cañestro
Nirova <niro...@yahoo.es> escribió:
> Bueno, el caso es que es un problema de oposición y la pregunta estaba
> formulada exactamente así. No sé si será mucho suponer que las
> soluciones deben ser reales, pero el enunciado no especificaba nada.
Una forma de atacarlo es pasar a polares. La primera ecuación queda r^2 =
1/3, y en la segunda puede despejarse fácilmente r^2 en función de los dos
ángulos, aunque la expresión es bastante farragosa. Se podrían hallar el
mínimo de esta función y ver que es precisamente 1/3 para x = y = z = +/-
1/3, pero parece bastante farragoso, por decirlo suavemente ...
Supongo que la solución debe ir más por el camino de las desigualdades,
viendo que si la segunda ecuación se cumple, debe ser x^2 + y^2 + z^2 >=
1/3, dandose la igualdad solo si x = y = z = +/- 1/3. Pero de momento, no he
visto como ...
Antonio González
Deberías tomar rabitos de pasas. Me sonaba que este problema ya se había
propuesto y, efectivamente, lo había sido, y fue resuelto en este grupo
por... Ignacio Larrosa
--
Antonio
Ignacio Larrosa Cañestro
> Ignacio Larrosa Cañestro escribió:
>> En el mensaje:1157992728.6...@h48g2000cwc.googlegroups.com,
>> Nirova <niro...@yahoo.es> escribió:
>
> había propuesto y, efectivamente, lo había sido, y fue resuelto en
> este grupo por... Ignacio Larrosa
>
> http://tinyurl.com/f6ok6
Tienes razón ... En descargo de mi debilitada memoria debo decir no
obstante, que en aquella ocasión no lo reesolví yo, sino que solo expuse una
solución que había visto en sci.math (y que en julio suelo estar menos
atareado que en septiembre ...).
De todas formas, o hay una solución más facil, o el problemita se las trae
para una oposición de secundaria ...
Antonio González
> Antonio González wrote:
>> Ignacio Larrosa Cañestro escribió:
>>> En el mensaje:1157992728.6...@h48g2000cwc.googlegroups.com,
>>> Nirova <niro...@yahoo.es> escribió:
>> Deberías tomar rabitos de pasas. Me sonaba que este problema ya se
>> había propuesto y, efectivamente, lo había sido, y fue resuelto en
>> este grupo por... Ignacio Larrosa
>>
>> http://tinyurl.com/f6ok6
>
> Tienes razón ... En descargo de mi debilitada memoria debo decir no
> obstante, que en aquella ocasión no lo reesolví yo, sino que solo expuse una
> solución que había visto en sci.math (y que en julio suelo estar menos
> atareado que en septiembre ...).
>
> De todas formas, o hay una solución más facil, o el problemita se las trae
> para una oposición de secundaria ...
>
A ver que te parece esta solución:
Escribimos la segunda ecuación como
2x^2y^2 + 2x^2z^2 + 2y^2z^2 - 2xyz(x+y+z) = 0
quitando paréntesis y agrupando términos
x^2(y^2 + z^2 - 2xy) + y^2(x^2+z^2-2xz) + z^2(x^2+y^2-2xy) = 0
x^2(y-z)^2 + y^2(x-z)^2 + z^2(x-y)^2 = 0
Esto es una suma de cuadrados igualada a cero. Si la solución es real,
cada uno de los sumando debe ser nulo
x(y-z) = 0
y(x-z) = 0
z(x-y) = 0
1) Si los tres son diferentes de cero debe ser, teniendo en cuenta que
3(x^2+y^2+z^2) = 1
x = y = z = 1/3
2) Si x=0, entonces yz = 0. Esto da las soluciones
x = y = 0 z = 1/rq(3)
y todas las posibles permutaciones en los nombres de las variables.
Total, siete soluciones reales.
Caramba, pues no era tan difícil.
--
Antonio
Ignacio Larrosa Cañestro
> Ignacio Larrosa Cañestro escribió:
>> Antonio González wrote:
>>> Ignacio Larrosa Cañestro escribió:
>>>> En el
>>>> mensaje:1157992728.6...@h48g2000cwc.googlegroups.com,
>>>> Nirova <niro...@yahoo.es> escribió:
>>> Deberías tomar rabitos de pasas. Me sonaba que este problema ya se
>>> había propuesto y, efectivamente, lo había sido, y fue resuelto en
>>> este grupo por... Ignacio Larrosa
>>>
>>> http://tinyurl.com/f6ok6
>>
>> Tienes razón ... En descargo de mi debilitada memoria debo decir no
>> obstante, que en aquella ocasión no lo reesolví yo, sino que solo
>> expuse una solución que había visto en sci.math (y que en julio
>> suelo estar menos atareado que en septiembre ...).
>>
>> De todas formas, o hay una solución más facil, o el problemita se
>> las trae para una oposición de secundaria ...
>>
>
> A ver que te parece esta solución:
>
> Escribimos la segunda ecuación como
>
> 2x^2y^2 + 2x^2z^2 + 2y^2z^2 - 2xyz(x+y+z) = 0
Pero aqui se te olvidó un cubo. Era:
x^2y^2 + x^2z^2 + y^2z^2 = xyz(x+y+z)^3
--
Saludos,
Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUIT...@mundo-r.com
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Antonio González
Aaaargh! ¡Con lo bonito que me había quedado! :-)
--
Antonio