Cuerda y angulo constante.
León-Sotelo
semicircunferencia de diámetro AB. M es el punto medio de ST y P es
el pie de la perpendicular de S a AB. Probar que el angulo SPM es
constante para todas las posiciones de la cuerda ST.
Saludos.
León-Sotelo.
Ignacio Larrosa Ca�estro
> Una cuerda ST de longitud constante se "desliza" por una
> el pie de la perpendicular de S a AB. Probar que el angulo SPM es
> constante para todas las posiciones de la cuerda ST.
>
La perpendicular por M a ST pasa por el centro O de la semicircunferencia.
Vomo rl �ngulo SPO tambi�n es recto, el cuadrilatero SMOP esta inscrito en
una circunferencia de di�metro constante (en magnitud) SP. Como SM es una
cuerda de longitud constante en una circunferencia tama�o constante, el
�ngulo que subtiende desde cualquier punto de uno de los arcos en que divide
a la circunferencia es igualmente constante.
--
Saludos,
Ignacio Larrosa Ca�estro
A Coru�a (Espa�a)
ilarrosaQUIT...@mundo-r.com
jhn
Sean O el centro de la circunferencia y S' el simétrico de S respecto
a AB. Como a = <SOT es constante, también lo es <SS'T = a/2. Pero PM
es paralela media del triángulo SS'T, por lo cual <SPM = <SS'T = a/2.
Saludos,
jhn
Antonio González
> Una cuerda ST de longitud constante se "desliza" por una
> el pie de la perpendicular de S a AB. Probar que el angulo SPM es
> constante para todas las posiciones de la cuerda ST.
>
S = e^(ia)
T = e^(ib)
M = (e^(ib) + e^(ia))/2
P = cos(a)
S-P = i sen(a)
M - P = (e^(ib)-e^(-ia))/2
El argumento de (S-P)/(M-P) nos da el �ngulo <SPM. Dividiendo por su
conjugado
e^(2iu) =((S-P)(M-P)*)/((S-P)*(M-P)) = -(M-P)*/(M-P) =
= -(e^(-ib) - e^(ia))/(e^(ib) - e^(-ia))
Haciendo b = a + 2d
e^(2iu) = -e^(-id)(e^(-i(a+d))-e^(i(a+d))/e^(id)(e^(i(a+d))-e^(-i(a+d))
= e^(-2id)
Puesto que la diferencia entre los argumentos b y a es constante,
tambi�n lo es u, el �ngulo SMP.
Asimismo, como u no depende de cu�l es S y cual T, si hallamos Q, la
proyecci�n de T sobre AB el �ngulo <TQM = <SPM.
--
Antonio
Ignacio Larrosa Ca�estro
> Le�n-Sotelo wrote:
>> Una cuerda ST de longitud constante se "desliza" por una
>> semicircunferencia de di�metro AB. M es el punto medio de ST y P es
>> el pie de la perpendicular de S a AB. Probar que el angulo SPM es
>> constante para todas las posiciones de la cuerda ST.
>>
>
> La perpendicular por M a ST pasa por el centro O de la
> semicircunferencia. Vomo rl �ngulo SPO tambi�n es recto, el
"semicircunferencia. Como el �ngulo SPO tambi�n es recto, el"
(�por qu� est�n tan juntas las teclas ...?)
> cuadrilatero SMOP esta inscrito en una circunferencia de di�metro
> constante (en magnitud) SP. Como SM es una cuerda de longitud
El di�metro de longitud constante es evidentemente SO ...
Antonio González
> Una cuerda ST de longitud constante se "desliza" por una
> el pie de la perpendicular de S a AB. Probar que el angulo SPM es
> constante para todas las posiciones de la cuerda ST.
>
Otra forma alternativa es considerar la cuerda fija y girar el di�metro AB.
En ese caso, si
S(cos(a),sen(a)), T(cos(a),-sen(a), M(cos(a),0)
la mediatriz de SM es y = sen(a)/2.
El di�metro AB es y = x tg(b), o
x sen(b) - y cos(b) = 0
La mediatriz de SP es la paralela a AB situada a una distancia
sen(b-a)/2 del di�metro, esto es
x sen(b) - y cos(b) = sen(b-a)/2
La intersecci�n de las dos mediatrices es
x = (sen(a)cos(b)+sen(b-a))/(2sen(b)) = cos(a)/2
y = sen(a)/2
que no depende de b. Por tanto el circuncentro de MSP es fijo y el
�ngulo <MPS es constante.
--
Antonio