problemas variados

[el mendigo]

1) Sea xn una sucesi on de enteros definida de la siguiente manera.

x1 = 20
x2 = 11
x(n+2) = MCM(x(n+1); xn) + xn

Calcular MCD(x2009; x2010),

donde MCD es el maximo comun divisor y MCM el minimo comun multiplo

2) En un campo hay n cazadores, con n impar, tales que las distancias
entre pares de caza-
dores son todas distintas. Cuando suena una campana, cada cazador le
dispara al cazador
que tiene m as cerca. Demostrar que:
a) Al menos un cazador no es disparado
b) Ning un cazador es disparado m as de 5 veces.
c) Las trayectorias de los disparos no se intersectan.

3) Al resolver la ecuación:
x^5+x-10=0
hallar el intervalo al que pertenece una de sus raices reales

[Ignacio Larrosa Cañestro]

"el mendigo" <yucral...@gmail.com> escribió en el mensaje
news:6af5fcd0-e5fc-4f16...@i19g2000yqn.googlegroups.com...

1) Sea xn una sucesi on de enteros defi nida de la siguiente manera.

x1 = 20
x2 = 11
x(n+2) = MCM(x(n+1); xn) + xn

Calcular MCD(x2009; x2010),

donde MCD es el maximo comun divisor y MCM el minimo comun multiplo

Si mcd(x(2), x(1)) = 1, como en este caso, simpre se tiene que mcd(x(n),
x(n+1)) = 1, pues

x(3) = x(1)*x(2) + x(1) = x(1)(x(2) + 1)

Dado que mcd(x, x + 1) = 1, para todo x >= 1 natural, resulta que mcd(x(3),
x(2)) = 1 y por inducción, siempre seran primos los términos consecutivos.

--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilar...@mundo-r.com
http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/

[Antonio González]

El 29/05/12 10:38, Ignacio Larrosa Cañestro escribió:

> "el mendigo"<yucral...@gmail.com> escribió en el mensaje
> news:6af5fcd0-e5fc-4f16...@i19g2000yqn.googlegroups.com...
> 1) Sea xn una sucesi on de enteros defi nida de la siguiente manera.
>
> x1 = 20
> x2 = 11
> x(n+2) = MCM(x(n+1); xn) + xn
>
> Calcular MCD(x2009; x2010),
>
> donde MCD es el maximo comun divisor y MCM el minimo comun multiplo
>
> Si mcd(x(2), x(1)) = 1, como en este caso, simpre se tiene que mcd(x(n),
> x(n+1)) = 1, pues
>
> x(3) = x(1)*x(2) + x(1) = x(1)(x(2) + 1)
>
> Dado que mcd(x, x + 1) = 1, para todo x>= 1 natural, resulta que mcd(x(3),
> x(2)) = 1 y por inducción, siempre seran primos los términos consecutivos.
>

Estaba yo convencido de que había respondido esto mismo, pero se ve que
no le di a "Enviar".

Variante, ¿cuánto vale la cantidad pedida si x(1) = 20 y x(2) = 15?

--
Antonio

[Ignacio Larrosa Cañestro]

"Antonio González" <gonf...@gmail.com> escribió en el mensaje
news:a2jijf...@mid.individual.net...

En general, mcd(x(n+1), x(n)) = mcd(x(2), x(1)), 5 en este caso.

[Ignacio Larrosa Cañestro]

"el mendigo" <yucral...@gmail.com> escribió en el mensaje
news:6af5fcd0-e5fc-4f16...@i19g2000yqn.googlegroups.com...

3) Al resolver la ecuación:
x^5+x-10=0
hallar el intervalo al que pertenece una de sus raices reales

Este es muy facilito ... Aunque si no hay más precisiones no existe 'el'
intervalo, sino muchos. Busquemos uno de extremos enteros y longitud 1.
Siguiendo a Bolzano, tenemos que f(x) = x^5 + x - 10 vale -10 para x = 0, -8
para x = 1 y 24 para x = 2. Por tanto, en (1, 2) hay una raíz de la
ecuación.

Como la derivada es f'(x) = 5x^4 + 1 > 0 para todo x, f es inyectiva y solo
hay una raíz.

[Ignacio Larrosa Cañestro]

"el mendigo" <yucral...@gmail.com> escribió en el mensaje
news:6af5fcd0-e5fc-4f16...@i19g2000yqn.googlegroups.com...

2) En un campo hay n cazadores, con n impar, tales que las distancias
entre pares de caza-
dores son todas distintas. Cuando suena una campana, cada cazador le
dispara al cazador
que tiene m as cerca. Demostrar que:
a) Al menos un cazador no es disparado
b) Ning un cazador es disparado m as de 5 veces.
c) Las trayectorias de los disparos no se intersectan.

a) Parece razonable, pero no acabo de ver un razonamiento sencillo que lo
muestre. lo pensaré ...

b) Si le disparasen 6 o más, el acribillado vería al menos a dos de sus
atacantes bajo un ángulo t < 60º. Como todas las distancias son distintas,
el triángulo que forman los tres no es equilátero. Sean a y b las distancias
de los dos agresores a la víctima con a > b. Si es c la distancia entre
ambos, tenemos que

c^2 = a^2 + b^2 - 2abcos(t) < a^2 + b^2 - 2abcos(60º) = a^2 + b^2 - ab =

= a^2 + b(b - a ) < a^2 ===> c < a

Por lo que es imposible. O alternativamente, otro de los ángulos es mayor
que 60º y el lado opuesto por tanto es mayor.

c) Para que dos trayectorias se intersequen, los cuatro deben formar un
cuadrilátero convexo, y al menos uno de sus ángulos tiene que ser mayor que
60º. En el triángulo foormado por los dos lados que parten de este vértice y
la diagonal, otro de los ángulos debe ser menor que 60º, con lo que uno de
los lados es menor que la diagonal, y las trayectorias ya no se cruzan.

Aunque supongo que también se podría razonar con la desigualdad triangular.

[Ignacio Larrosa Cañestro]

"Ignacio Larrosa Cañestro" <ilar...@mundo-r.com> escribió en el mensaje
news:jq279s$f9i$1...@ignaciolarrosa.eternal-september.org...

>
> "el mendigo" <yucral...@gmail.com> escribió en el mensaje
> news:6af5fcd0-e5fc-4f16...@i19g2000yqn.googlegroups.com...
>
> 2) En un campo hay n cazadores, con n impar, tales que las distancias
> entre pares de caza-
> dores son todas distintas. Cuando suena una campana, cada cazador le
> dispara al cazador
> que tiene m as cerca. Demostrar que:
> a) Al menos un cazador no es disparado
> b) Ning un cazador es disparado m as de 5 veces.
> c) Las trayectorias de los disparos no se intersectan.
>
> a) Parece razonable, pero no acabo de ver un razonamiento sencillo que lo
> muestre. lo pensaré ...

Esto es un grafo dirigido. Si eliminamos a los que se disparan mutuamente,
que son pares de puntos aislados, podemos considerarlo un grafo a secas, y
la paridad del número de tiradores se mantiene. Como todos disparan y ya
nadie lo hace mutuamente, debe haber al menos un ciclo de longitud mayor o
igual que 3, de manera que los tiradores implicados forman un polígono que,
como todas las distancias son distintas, tiene todas las aristas de distinta
longitud, por lo que una de ellas es la mayor de todas. Esta no puede
corrsponder a ningún disparo.