Trigo con raices
León-Sotelo
hallar el valor de 5cot(x)*(1+cos(x))/(1+sen(x)).
2.- M=sqrt(2)/3+sqrt(6)/5+sqrt(12)/7+sqrt(20)/9+...+sqrt(32*33)/65
Entre los enteros positivos que son menores que M, ¿cuál es el mayor?
Saludos.
León-Sotelo.
Antonio González
> 2.- M=sqrt(2)/3+sqrt(6)/5+sqrt(12)/7+sqrt(20)/9+...+sqrt(32*33)/65
> Entre los enteros positivos que son menores que M, �cu�l es el mayor?
>
Tenemos que por la desigualdad A-G
rq(x(x+1))/(2x+1) < 1/2
as� que M < 32/2 = 16
La cuesti�n es ver si M es mayor que 15. Para ello observamos que
1/2 - rq(x(x+1))/(2x+1) =
= (rq(x+1)-rq(x))^2/(rq(x+1)+rq(x)) =
= 1/(rq(x+1)+rq(x))^3
tiende a 0 de forma mon�tona, siendo su valor en x=1
1/2 - rq(2)/3 = 0.0286
Por tanto
16 - M < 0.0286*32 = 0.915
as� pues [M]=15.
--
Antonio
Javier Esquinas
> 1.-Si x es un ángulo tal que (csc(x)-cot(x))/(sec(x)-tan(x)) = 5,
> hallar el valor de 5cot(x)*(1+cos(x))/(1+sen(x)).
>
(csc(x)-cot(x))/(sec(x)-tan(x)) = 5
equivale a:
(cosx(1 - cosx))/(senx(1 - senx)) = 5
cotgx·(1 - cosx)/(1 - senx) = 5
Sea 5cotg(x)*(1+cos(x))/(1+sen(x)) = a
Multiplicando :
5(cotgx)^2·(senx)^2/(cosx)^2 = 5a
y por tanto 5 = 5a
luego a = 1
Saludos.
Antonio González
> 1.-Si x es un �ngulo tal que (csc(x)-cot(x))/(sec(x)-tan(x)) = 5,
> hallar el valor de 5cot(x)*(1+cos(x))/(1+sen(x)).
>
La primera ecuaci�n equivale a
cos(x)(1-cos(x)) = 5sen(x)(1-sen(x))
rq(1-sen(x))rq(1+sen(x))(1-cos(x)) =
5rq(1-cos(x))rq(1+cos(x))(1-sen(x))
rq(1+sen(x))rq(1-cos(x)) = 5rq(1+cos(x))rq(1-sen(x))
mientras que en la segunda se trata de hallar X tal que
5cos(x)(1+cos(x)) = X sen(x)(1+sen(x))
5rq(1+sen(x))rq(1-sen(x))(1+cos(x)) =
= X rq(1+cos(x))rq(1-cos(x))(1+sen(x))
5rq(1-sen(x))rq(1+cos(x)) = X rq(1-cos(x))rq(1+sen(x))
Comparando esta ecuaci�n con la de arriba es claro que
X = 1
--
Antonio