Desigualdad de Semana Santa!

[Javier Esquinas]

Esta el grupo un poco "parao".
Demostrar que si a,b y c son números reales no negativos tales que:

(a + 1)(b + 1)(c + 1) = 8

entonces su producto no supera a 1.

Saludos.

[Ignacio Larrosa Cañestro]

Hagamos x^2 = a, y^2 = b y z^2 = c,

(x^2 + 1)(y^2 + 1)(z^2 + 1) = 8 ===>

(x + 1/x)(y + 1/y)(z + 1/z) = 8/(xyz)

Pero como es bien sabido, y si no se muestra fácilmente, x + 1/x >= 2, para
todo real x > 0. Por tanto,

8/(xyz) >= 8 ===> (xyz) <= 1 ===> (xyz)^2 = abc <= 1

--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUIT...@mundo-r.com

[Antonio González]

Javier Esquinas escribió:

Desarrollando

8 = abc + abc(1/a + 1/b + 1/c) + (a+b+c) + 1

Por la desigualdad entre las medias

(a+b+c) > 3(abc)^(1/3)

1/a + 1/b + 1/c > 3(abc)^(-1/3)

así que queda

8 > abc + 3(abc)^(2/3) + 3(abc)^(1/3) + 1 =

= ((abc)^(1/3) + 1)^3

2 > (abc)^(1/3) + 1

1 > (abc)^(1/3)

1 > abc

--

Antonio

[Ignacio Larrosa Cañestro]

Antonio González wrote:
> Javier Esquinas escribió:
>> Esta el grupo un poco "parao".
>> Demostrar que si a,b y c son números reales no negativos tales que:
>>
>> (a + 1)(b + 1)(c + 1) = 8
>>
>> entonces su producto no supera a 1.
>>
>
> Desarrollando
>
> 8 = abc + abc(1/a + 1/b + 1/c) + (a+b+c) + 1
>
> Por la desigualdad entre las medias
>
> (a+b+c) > 3(abc)^(1/3)

Y sustituyendo a por 1/a, b por 1/b y c por 1/c,

(me costó verlo, será cosa del mencía ...)

> 1/a + 1/b + 1/c > 3(abc)^(-1/3)
>
> así que queda
>
> 8 > abc + 3(abc)^(2/3) + 3(abc)^(1/3) + 1 =
>
> = ((abc)^(1/3) + 1)^3
>
> 2 > (abc)^(1/3) + 1
>
> 1 > (abc)^(1/3)
>
> 1 > abc

Hay que sustituir en todas partes '>' por '>=', para considerar el caso a =
b = c ( = 1). De todas formas, me quedo con la mía, que para algo es mía ...
":^)