Sobre suma de cubos

[Antonio González]

Como es sabido, y el problema de Markus nos recuerda, se cumple que

(1+2+...n)^2 = 1^3 + 2^3 + ... + n^3

y por tanto el conjunto {1,2,..n} tiene la propiedad de que la suma de
sus cubos es igual a su suma al cuadrado.

�Qu� otros conjuntos hay con esta propiedad?

Pues por ejemplo, sea un n�mero cualquiera n, por ejemplo, n=30.
Listamos sus divisores

1,2,3,5,6,10,15,30

ahora contamos los divisores de cada uno de estos n�meros

30: 8 divisores

15:{1,3,5,15}: 4 divisores

10:{1,2,5,10}: 4 divisores

6:{1,2,3,6}: 4 divisores

5: 2 divisores

3: 2 divisores

2: 2 divisores

1: 1 divisor

Por tanto

(1 + 2 + 2 + 2 + 4 + 4 + 4 + 8)^2 =

= 1^3 + 2^3 + 2^3 +2^3 + 4^3 + 4^3 + 4^3 + 8^3

Probar que esto funciona para cualquier n.

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Antonio

[Ignacio Larrosa Ca�estro]

�Hombre, el amigo Liouville!

1. Si n = p^k, sus divisores son 1, p, p^2, ..., p^n, con 1, 2, 3, ..., n +
1 divisores cada uno de ellos. Pero ya sabemos que

1^2 + 2^3 + ... + n^3 = (1 + 2 + ... + n)^2

por lo que para potencias de primos ya esta demostrado.

2. Sea ahora n = m*p^r, con p primo y (p, m) = 1. Veamos que si la propiedad
se verifica para m, tambi�n lo hace para n.

Sean a, b, ..., m los divisores de m, 'a' es igual a 1, y a', b', ..., m'
respectivamente el n�mero de sus divisores.

Comosuponemos que la igualdad propuesta se verifica para m, tendremos que

a'^3 + b'^3 + ... + m'^3 = (a' + b' + ... + m')^2

Todos los divisores de n. sin duplicidades, son:

a, b, ..., m, ap, bp, ..., mp, ap^2, bp^2, ..., mp^2, ..., ap^r, bp^r, ...,
mp^r = n

(recordemos que mcd(p, m) = 1)

Estos divisores tienen a su vez los siguientes n�meros de divisores:

a', b', ..., m', 2a', 2b', ..., 2m', 3a', 3b', ..., 3m', ..., (r+1)a',
(r+1)b', ..., (r+1)m'

Sumando todos estos n�meros, tenemos

S = (a' + b' + ... + m')(1 + 2 + ... + (r + 1))

Y el cuadrado de la suma es

S^2 = (a' + b' + ... + m')^2(1 + 2 + ... + (r + 1))^2

Puesto que los n�meros en cada par�ntesis verifican la propiedad, tenemos
entonces que

S^2 = (a'^3 + b'^3 + ... + m'^3)(1^3 + 2^3 + ... + (r+1)^3)

y desarrollando el producto, tenemos la suma de los cubos de todos los
n�meros de divisores de los divisores de n (q.e.d)

3. Sea ahora n = p^a*q^b*...*r^c la descomposici�n factorial de cualquier
natural n.

Como por 1 sabemos que la propiedad es cierta para n1 = p^a, y mcd(p, q) =
1, tambi�n ser� cierta, por 2., para n2 = n1*q^b. Reiterando el proceso para
todos los factores primos de n, queda probado para n.

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Saludos,

Ignacio Larrosa Ca�estro
A Coru�a (Espa�a)
ilarrosaQUIT...@mundo-r.com