Dos sumas

[Dr. Wolfgang Hintze]

Hallar las sumas (a>-1)

s1 = Sum( 1/(n^2+a), (n,1,oo))
s2 = Sum((-1)^(n+1)/(n^2+a), (n,1,oo))

Saludos,
Wolfgang

[Marko Riedel]

Estimados lectores,

aqu� vamos a usar el truco que consiste en hallar la integral de

g(z) = f(z) pi cot(pi z)

y de

g(z) = f(z) pi csc(pi z)

con f(z) siendo el t�rmino de la suma que queremos calcular sobre un
camino que consiste en una circunferencia C de radio R, con R -> oo. Es
un m�todo bastante cl�sico, por eso omito los detalles. Es muy facil ver
que en ambos casos la integral sobre R desaparece en el l�mite, con lo
cual los residuos a los polos deben sumar cero. (Desaparece porque
1/(n^2+a) es O(1/R^2) sobre C.)

Lo que estamos usando aqu� es esencialmente el hecho de que con m un
entero

Res_{z=m} pi cot(pi z) =
= (pi cos(pi z)/(pi cos(pi z)))_{z=m} = 1

y

Res_{z=m} pi csc(pi z) =
= (pi/(pi*cos(pi z)))_{z=m} = (-1)^m.

Primer caso:

Ponemos g(z) = 1/(z^2+a) pi cot(pi z). Luego (siendo "rq" la ra�z
cuadrada)

Res_{z=-rq(a) i} g(z) + Res_{z=+rq(a)i} g(z)
+ Res_{z=0} g(z) + 2 s1 = 0.

lo que da

(1/(2z) pi cot(pi z))_{z=-rq(a)i}
+ (1/(2z) pi cot(pi z))_{z=+rq(a)i}
+ 1/a + 2 s1 = 0

con lo cual

1/(2 rq(a) i) pi cot(pi rq(a) i)
+ 1/(2 rq(a) i) pi cot(pi rq(a) i)
+ 1/a + 2 s1 = 0

y asi finalmente

s1 = - 1/(2a) + 1/(2 rq(a)) pi coth(pi rq(a)).

Segundo caso.

Ponemos g(z) = - 1/(z^2+a) pi csc(pi z). Luego

Res_{z=-rq(a) i} g(z) + Res_{z=+rq(a)i} g(z)
+ Res_{z=0} g(z) + 2 s2 = 0.

lo que da

- 1/(2z) pi csc(pi z)_{z=-rq(a)i}
- 1/(2z) pi csc(pi z)_{z=+rq(a)i}
- 1/a + 2 s2 = 0

con lo cual

- 1/(2 rq(a) i) pi csc(pi rq(a) i)
- 1/(2 rq(a) i) pi csc(pi rq(a) i)
- 1/a + 2 s2 = 0

y asi finalmente

s2 = 1/(2a) - 1/(2 rq(a)) pi csch(pi rq(a)).


Hubo algun progreso en la migraci�n de e.c.m hacia un sitio que ofrezca
MathJAX?

Un saludo.

Marko

[Luis]

"Marko Riedel" <markor...@yahoo.de> escribi� en el mensaje
news:87k3rjg...@yahoo.de...

Muy bonito, se�or Riedel. Yo lo hab�a comenzado a resolver
jugando con la funci�n digamma, pero no terminaba de dar
con ello. He impreso su soluci�n pues tengo en mente iniciar
un repaso exhaustivo de la Variable Compleja y entonces
quedar� registrada en mis apuntes.

Un saludo,

[Marko Riedel]

De nada, y que tenga mucho exito en sus estudios. La Variable Compleja
es sin duda de lo m�s bonito que hay, con sus conexiones con la teor�a
de n�meros jugando un papel clave.

Un saludo.

Marko

[Dr. Wolfgang Hintze]

On 12 Jan., 20:44, Marko Riedel <markoriede...@yahoo.de> wrote:
> "Luis" <wile...@hotmail.com> writes:
> > "Marko Riedel" <markoriede...@yahoo.de> escribió en el mensaje

> >news:87k3rjg...@yahoo.de...
> >> "Dr. Wolfgang Hintze" <w...@snafu.de> writes:
>
> >>> Hallar las sumas (a>-1)
>
> >>> s1 = Sum( 1/(n^2+a), (n,1,oo))
> >>> s2 = Sum((-1)^(n+1)/(n^2+a), (n,1,oo))
>
> >>> Saludos,
> >>> Wolfgang
>
> >> Estimados lectores,
>

> >> aquí vamos a usar el truco que consiste en hallar la integral de

>
> >>     g(z) = f(z) pi cot(pi z)
>
> >> y de
>
> >>     g(z) = f(z) pi csc(pi z)
>

> >> con f(z)  siendo el término  de la suma  que queremos calcular  sobre un

> >> camino que consiste en una circunferencia C  de radio R, con R -> oo. Es

> >> un método bastante clásico, por eso omito los detalles. Es muy facil ver
> >> que en ambos  casos la integral sobre R desaparece en  el límite, con lo

> >> cual  los residuos  a los  polos  deben sumar  cero. (Desaparece  porque
> >> 1/(n^2+a) es O(1/R^2) sobre C.)
>

> >> Lo que  estamos usando aquí  es esencialmente el  hecho de que con  m un

> >> entero
>
> >>    Res_{z=m} pi cot(pi z) =
> >>  = (pi cos(pi z)/(pi cos(pi z)))_{z=m} = 1
>
> >> y
>
> >>    Res_{z=m} pi csc(pi z) =
> >>  = (pi/(pi*cos(pi z)))_{z=m} = (-1)^m.
>
> >> Primer caso:
>

> >> Ponemos  g(z) =  1/(z^2+a)  pi cot(pi  z).  Luego (siendo  "rq" la  raíz

> >> Hubo algun progreso en la migración de e.c.m hacia un sitio que ofrezca
> >> MathJAX?
>
> >> Un saludo.
>
> >> Marko
>
> > Muy bonito, señor Riedel. Yo lo había comenzado a resolver
> > jugando con la función digamma, pero no terminaba de dar
> > con ello. He impreso su solución pues tengo en mente iniciar

> > un repaso exhaustivo de la Variable Compleja y entonces

> > quedará registrada en mis apuntes.

>
> > Un saludo,
>
> De nada, y  que tenga mucho exito en sus  estudios. La Variable Compleja

> es sin duda de  lo más bonito que hay, con sus  conexiones con la teoría
> de números jugando un papel clave.
>
> Un saludo.
>
> Marko
>
>

Muy bien, Marko.

Conoczco tu "truco" como transformación de Watson-Sommerfeld, pero no
me di cuenta en ese caso.

¿ Que tal con los dos productos ?

p1 = Prod(1 + 1/(n^2+a), (n,1,oo) )
p2 = Prod(1+(-1)^(n+1)/n^2, (n,1,oo) )

Saludos,
Wolfgang

[Marko Riedel]

Estimados lectores,

por el momento opto por un método simple, y Vds. ya me dirán si se
considera admisible o no.

Para la primera parte, introducimos

f(z) = prod_{n>=1} (1 + 1/(n^2+z^2))

asi que p1 = f(rq(a)).

Vemos que las singularidades de f(z) se hallan en los puntos

z = +/- i n

y son polos simples, entonces f(z) debe ser multiplo de

pi i z / sin(i pi z) = prod_{n>=1} 1/(1 + z^2/n^2).

Luego hay que hallar su cociente, que es

prod_{n>=1} (1 + 1/(n^2+z^2)) (1 + z^2/n^2)
= prod_{n>=1} (1 + (1+z^2)/n^2)

y este último es obviamente

sin(pi i rq(1+z^2)) / (pi i rq(1+z^2))


con lo cual

p1 = pi i rq(a) / sin(i pi rq(a))
* sin(pi i rq(1+a)) / (pi i rq(1+a))

= rq(a)/rq(1+a) sinh(pi rq(1+a))/sinh(pi rq(a)).

Esto funciona porque los polos no tienen punto de acumulación en C y el
producto original converge para todo z salvo dichos polos.

Para la segunda parte, introducimos

f(z) = prod_{m>=1} (1 - z^2/(2m)^2) prod_{m>=1} (1 + z^2/(2m-1)^2).

Todo está bien en lo que se refiere a la convergencia. El valor de p2
será entonces f(1).

Vemos de inmediato que el primer factor es

sin(1/2 pi z)/(1/2 pi z)

y el segundo,

cos(1/2 pi i z),

asi que

p2 = 1/(1/2 pi) cosh(pi/2) = 2/pi cosh(pi/2).

Un saludo.

Marko

[Dr. Wolfgang Hintze]

Yo sí considero el método admisible, pero prefiero usar la
representación sugiente de la función Gamma(z)

(1) 1/Gamma(z) = z Exp(EulerGamma z) Product( (1 + z/n) Exp(- z/n) ),
(n,1,oo) )

en que aparecen los factores (1+z/n) inmediatamente.

Lo explicaré si encuentro el tiempo.

Saludos,
Wolfgang