Raíces y enteros
Antonio González
a(0) = 0
a(1) = 2
a(n) = (rq(25-4a(n-2)-4a(n-2)^2 + 56a(n-1)+56a(n-1)^2) - 1)/2
el n�mero a(n) es siempre entero.
;-)
--
Antonio
Javier Esquinas
> Demostrar que, en la recurrencia
>
> a(0) = 0
>
> a(1) = 2
>
> a(n) = (rq(25-4a(n-2)-4a(n-2)^2 + 56a(n-1)+56a(n-1)^2) - 1)/2
>
>
> ;-)
>
> --
>
> Antonio
Supongo que Antonio quiere aplicar una técnica similar a la que
utilizó en el problema anterior que planteeé sobre diferencia de cubos
y cuadrados.
Voy a esquematizar un poco como lo he hecho yo para no hacer el post
muy largo.
Elevando al cuadrado y simplificando un poco se llega a la expresión:
a(n)(1 + a(n)) - 14a(n - 1)(1 + a(n - 1)) + a(n - 2)(1 + a(n - 2)) = 6
Parece lógico trabajar con la sucesión x(n) = a(n)(1 + a(n)) con
valores iniciales x(0) = 0,x(1) = 6
Tendremos entonces:
x(n) - 14x(n - 1) + x(n - 2) = 6
Utilizando las técnicas habituales para resolver este tipo de
recurrencias (raices de la ecuación homogénes,etc) tendremos que:
8x(n) = (2 + rq(3))^(2n + 1) + (2 - rq(3))^(2n + 1) - 4 si n>= 0
Sustituyendo x(n) por a(n)(1 + a(n)) y resolviendo al ecuación de
segendo grado en a(n) tenemos que:
a(n) = (-2 + (rq(3) + 1)(2 + rq(3))^n - (rq(3) - 1)(2 - rq(3))^n)/4
si n>= 0
Basta ver entonces que (rq(3) + 1)(2 + rq(3))^n - (rq(3) - 1)(2 - rq
(3))^n es de la forma 4k + 2.
Sea y(n) = (rq(3) + 1)(2 + rq(3))^n - (rq(3) - 1)(2 - rq(3))^n n>= 0
y(n) verifica entonces la relación de recurrencia:
y(n + 2) - 4y(n + 1) + y(n) = 0 con y(0) = 2,y(1) = 10
Ahora ya es inmediato ver de forma inductiva que puesto que y(0) e y
(1) son de la forma 4k + 2 también lo serán todos los elementos de la
sucesión y(n) si n>= 2.
Saludos.
Antonio González
> On 11 nov, 17:33, Antonio Gonz�lez <gonfe...@gmail.com> wrote:
>> Demostrar que, en la recurrencia
>>
>> a(0) = 0
>>
>> a(1) = 2
>>
>> a(n) = (rq(25-4a(n-2)-4a(n-2)^2 + 56a(n-1)+56a(n-1)^2) - 1)/2
>>
>>
>> ;-)
>>
>> --
>>
>> Antonio
>
> Supongo que Antonio quiere aplicar una t�cnica similar a la que
> utiliz� en el problema anterior que plantee� sobre diferencia de cubos
> y cuadrados.
>
No, en realidad es *la misma*. Esa recurrencia y el problema de los
senos hiperb�licos que plante� a continuaci�n fueron pasos intermedios
mientras buscaba la soluci�n al problema que t� hab�as propuesto.
> Voy a esquematizar un poco como lo he hecho yo para no hacer el post
> muy largo.
>
> Elevando al cuadrado y simplificando un poco se llega a la expresi�n:
>
> a(n)(1 + a(n)) - 14a(n - 1)(1 + a(n - 1)) + a(n - 2)(1 + a(n - 2)) = 6
>
> Parece l�gico trabajar con la sucesi�n x(n) = a(n)(1 + a(n)) con
> valores iniciales x(0) = 0,x(1) = 6
>
> Tendremos entonces:
>
> x(n) - 14x(n - 1) + x(n - 2) = 6
>
> Utilizando las t�cnicas habituales para resolver este tipo de
> recurrencias (raices de la ecuaci�n homog�nes,etc) tendremos que:
>
> 8x(n) = (2 + rq(3))^(2n + 1) + (2 - rq(3))^(2n + 1) - 4 si n>= 0
>
> Sustituyendo x(n) por a(n)(1 + a(n)) y resolviendo al ecuaci�n de
> segendo grado en a(n) tenemos que:
>
> a(n) = (-2 + (rq(3) + 1)(2 + rq(3))^n - (rq(3) - 1)(2 - rq(3))^n)/4
> si n>= 0
>
> Basta ver entonces que (rq(3) + 1)(2 + rq(3))^n - (rq(3) - 1)(2 - rq
> (3))^n es de la forma 4k + 2.
>
> Sea y(n) = (rq(3) + 1)(2 + rq(3))^n - (rq(3) - 1)(2 - rq(3))^n n>= 0
>
> y(n) verifica entonces la relaci�n de recurrencia:
>
> y(n + 2) - 4y(n + 1) + y(n) = 0 con y(0) = 2,y(1) = 10
>
> Ahora ya es inmediato ver de forma inductiva que puesto que y(0) e y
> (1) son de la forma 4k + 2 tambi�n lo ser�n todos los elementos de la
> sucesi�n y(n) si n>= 2.
>
> Saludos.
>
>
>
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Antonio