Compartir la tangente
León-Sotelo
tangente. Hallar las coordenadas de A y B.
Saludos
León-Sotelo
Ignacio Larrosa Cañestro
León-Sotelo <leons...@wanadoo.es> escribió:
> Dos puntos A y B de la curva y=x^4-4x^2-3x comparten la misma recta
> tangente. Hallar las coordenadas de A y B.
>
Sean las abcisas de los puntos de tangencia a y b, y la recta doblemente
tangente
t: y = mx + n.
El sistema que forman ambas ecuaciones debe tener dos soluciones reales
dobles, Igualando,
mx + n = x^4 - 4x^2 - 3x
x^4 - 4x^2 - (m + 3)x - n = (x - a)^2(x - b)^2 = 0
De aqui deducimos, comparando los términos en x^3, que b = - a,
x^4 - 4x^2 - (m + 3)x - n = (x - a)^2(x + a)^2 = (x^2 - a^2)^2 = x^4 -
2a^2x^2 + a^4 = 0 ===>
m = - 3, a = +/- rq(2), n = - 4
Entonces la tangente t y los puntos de tangencia son
t: y = -3x - 4
A = (-rq(2), 3rq(2) - 4))
B = (rq(2), -3rq(2) - 4))
--
Saludos,
Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUIT...@mundo-r.com
Antonio González
> Dos puntos A y B de la curva y=x^4-4x^2-3x comparten la misma recta
> tangente. Hallar las coordenadas de A y B.
>
Cionsideremos la función genérica
f(x) = x^4 - 4x^2 + p x
Las tangentes a dos puntos x y z verifican
x^4 - 4x^2 + px = ax+b
z^4 - 4z^2 + pz = az+b
4x^3 - 8x + p = a
4z^3 - 8z + p = a
Vemos que si redefinimos a como a= a'+ p queda un sistema independiente de p
x^4 - 4x^2 = a'x + b
z^4 - 4z^2 = a'z + b
4x^3 - 8x = a'
4z^3 - 8z = a'
Buscamos entonces las soluciones para un p sencillo, en concreto p=0.
Para este valor la tangente común es la recta horizontal tangente a sus
dos mínimos. Estos están en
4x^3 - 8x = 0 x = +- rq(2)
El valor de b sale de la altura del mínimo
4 - 8 = b --> b = -4
y además a' = 0.
La solución del problema original será entonces
x = +- rq(2)
r: -4 - 3x
--
Antonio
Javier Esquinas
León-Sotelo ha escrito:
Otra posible solución sería usar la definición de derivada.Vamos a
obtener *todos* los puntos de la gráfica de la función que tienen la
misma recta tangente.
La derivada de f(x) = x^4-4x^2-3x es f'(x) = 4x^3 - 8x - 3 ,y por
tanto la recta tangente en x=a tendrá la expresión y = (4a^3 - 8a -
3)x + n donde n es una valor a determinar.Puesto que la recta tangente
debe de intersecar a la gráfica de f en x=a
tendremos que a^4 - 4a^2 - 3a = (4a^3 - 8a - 3)a + n de donde n = -3a^4
+ 4a^2
y por tanto al recta tangente en x=a es y = (4a^3 - 8a - 3)x -3a^4 +
4a^2.
Supongamos ahora que existen dos puntos distintos a < b en los cuales
la recta tangente es igual,entonces se cumplirá que:
4a^3 - 8a - 3 = 4b^3 - 8b -3 (*)
-3a^4 + 4a^2 = -3b^4 + 4b^2 (**)
de (*) 4(a^3 - b^3) = 8(a - b) y puesto que a es distinto de b se
deduce que
a^2 + ab + b^2 = 2.
De (**) tenemos que 4(a^2 - b^2) = 3(a^4 - b^4)=3(a^2 - b^2)(a^2 + b^2)
Supongamos que a^2 es distinto de b^2,entonces a^2 + b^2 = 4 y por
tanto
ab = -2.Teniendo en cuanta la relación (a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab
obtenemos que
a + b = 0.Y de ab = -2 ya sale que a= -rq(2) ,b =rq(2).
LLevado cualquier valor a la expresión de la recta tangente obtenemos
que esta es
y = -3x - 4.
Por tanto esta gráfica tiene exactamente dos puntos que comparten la
recta tangente.
Saludos.
Ignacio Larrosa Cañestro
> León-Sotelo ha escrito:
>
>> Dos puntos A y B de la curva y=x^4-4x^2-3x comparten la misma recta
>> tangente. Hallar las coordenadas de A y B.
>>
>> Saludos
>> León-Sotelo
>
> Otra posible solución sería usar la definición de derivada.Vamos a
> obtener *todos* los puntos de la gráfica de la función que tienen la
> misma recta tangente.
El procedimiento que empleé yo también halla todos los puntos con doble
tangente. Es decir, si hubiesen más, también se hallarían así.
Javier Esquinas
Ignacio Larrosa Cañestro ha escrito:
Bueno,yo quería hacer hincapié en que salían todos los puntos con
tangente doble ,triple o incluso cuadrúple.Es decir,que una recta
fuese tangente en cuatro puntos diferentes por ejemplo.
Saludos.
Ignacio Larrosa Cañestro
recta como mucho cuatro puntos, o lo que es equivalente, dos dobles. Es
imposible que tenga la misma tangente en tres puntos, o que la tangente en
dos puntos vuelva a cortar a la curva.
Menos claro es que solo pueda existir una tangente doble, aunque es el caso
siempre que tenga dos puntos de inflexión (de lo contrario no hay tangentes
dobles).
Javier Esquinas
Si estoy de acuerdo contigo Ignacio,pero me parecía interesante la
precisión cuando resolví el problema para hacer notar que con ese
método no solo salían los puntos con tangente doble sino con triple o
cuadrúple si existieran sin mayor justificación.
Saludos.