Sucesion con pi
León-Sotelo
a_(n+1)=pi*(a_0*a_n+a_1*a_(n-1)+a_2*(n-2)+...+a_n*a_0)/3*(n+1).
Hallar Sum(a_k/2^k,k,0,oo)
Saludos.
León-Sotelo.
Ignacio Larrosa Ca�estro
"Le�n-Sotelo" <francisc...@gmail.com> escribi� en el mensaje
news:a687ae8b-fefc-4bfb...@l13g2000yqb.googlegroups.com...
La sucesi�n {a_n}= a_0,a_1,a_2,... con a_0=0,a_1=pi/3 y para n>=1
a_(n+1)=pi*(a_0*a_n+a_1*a_(n-1)+a_2*(n-2)+...+a_n*a_0)/3*(n+1).
Hallar Sum(a_k/2^k,k,0,oo)
=======================>
[ILC]:
a(0) = 0, a(1) = pi/3
Pero
a(n+1) = (pi*(a(0)a(n) + a(1)a(n-1) + ... + a(n)a(0))/3)(n+1)
�
a(n+1) = pi*(a(0)a(n) + a(1)a(n-1) + ... + a(n)a(0))/(3(n+1))
Literalmente, tal y como lo escribes, es lo primero, pero tengo mis dudas
sobre lo que quieres decir.
Ignacio Larrosa
León-Sotelo
<ilarrosaQUITARMAYUSCU...@mundo-r.com> wrote:
> "León-Sotelo" <francisco.lsot...@gmail.com> escribió en el mensajenews:a687ae8b-fefc-4bfb...@l13g2000yqb.googlegroups.com...
> La sucesión {a_n}= a_0,a_1,a_2,... con a_0=0,a_1=pi/3 y para n>=1
> a_(n+1)=pi*(a_0*a_n+a_1*a_(n-1)+a_2*(n-2)+...+a_n*a_0)/3*(n+1).
> Hallar Sum(a_k/2^k,k,0,oo)
> =======================>
> [ILC]:
>
> a(0) = 0, a(1) = pi/3
>
> Pero
>
> a(n+1) = (pi*(a(0)a(n) + a(1)a(n-1) + ... + a(n)a(0))/3)(n+1)
>
>
> a(n+1) = pi*(a(0)a(n) + a(1)a(n-1) + ... + a(n)a(0))/(3(n+1))
>
> Literalmente, tal y como lo escribes, es lo primero, pero tengo mis dudas
> sobre lo que quieres decir.
>
> Ignacio Larrosa
Si llamamos A = a(0)a(n) + a(1)a(n-1) + ... + a(n)a(0) entonces a(n+1)
= pi*A/(3n+3)
L-S
Antonio González
> La sucesi�n {a_n}= a_0,a_1,a_2,... con a_0=0,a_1=pi/3 y para n>=1
> a_(n+1)=pi*(a_0*a_n+a_1*a_(n-1)+a_2*(n-2)+...+a_n*a_0)/3*(n+1).
> Hallar Sum(a_k/2^k,k,0,oo)
>
Digo lo mismo que Ignacio: no queda claro si ese (n+1) va en el
denominador o en el numerador. �Pon m�s par�ntesis, que son gratis!
Suponiendo que va en el denominador tenemos
a(0) = 0
a(1) = pi/3
a(n+1) = pi/(3(n+1))sum_(k=0)^n a(k)a(n-k)
Como a(1) no cumple esta recurrencia, podemos generalizarla con una
delta de Kronecker):
a(n+1) = pi/(3(n+1))(sum_(k=0)^n a(k)a(n-k) + delta(n,0))
Esta convoluci�n pide a gritos el uso de funciones generatrices.
Sea
F(x) = sum_(n=0)^oo x^n a(n)
tenemos que
F(x)^2 = sum_(p=0)^oo sum_(m=0)^oo a(p)a(m)x^(p+m) =
= sum_(n=0)^oo x^n sum_(k=0)^n a(k)a(n-k) =
= (3/pi) sum_(n=0)^oo x^n (n+1) a(n+1) -
- sum_(n=0)^oo x^n delta(n,0)
= (3/pi) F'(x) - 1
por lo que
F'(x) = (pi/3)(1+F(x)^2)
integrando
dF/(1+F^2) = pi/3 dx
arctg(F) = pi x/3 + C
F(x) = tg(pi x/3 + C)
como F(0) = 0 debe ser C = 0
F(x) = tg(pi x/3)
Su valor para x = 1/2, que es lo que nos pide el problema, es
F(1/2) = tg(pi/6) = 1/rq(3)
--
Antonio