Dos copias y Cosenos
León-Sotelo
obtiene escribiendo dos copias de a, una a continuación de la otra.Si
b/a^2 es un número entero k,encontrar los posibles valores de k
2.-Sean x,y,z números reales positivos, menores que pi, tales que :
cos(x) + cos(y)+cos(z) = 0
cos(2x)+cos(2y)+cos(2z)=0
cos(3x)+cos(3y)+cos(3z)=0
Hallar todos los valores que puede tomar sen(x)+sen(y)+sen(z)
Saludos.
León-Sotelo.
Ignacio Larrosa Ca�estro
> 1.-Sea a un n�mero de n d�gitos (n>1).Un n�mero b de 2n d�gitos se
> obtiene escribiendo dos copias de a, una a continuaci�n de la otra.Si
> b/a^2 es un n�mero entero k,encontrar los posibles valores de k
Tenemos que
10^(n-1) <= a < 10^n
10^(2n-2) <= a^2 < 10^(2n)
10^(2n-1) < b < 10^(2n) (b no puede ser 10^(2n-1)
Luego 1 < k < 10
Pero podemos decir mucho m�s, puesto que ser�:
b = (10^n + 1)a
k = (10^n + 1)/a
Entonces, k debe ser impar y no puede ser 3, 9 � 5. La �nica posibilidad por
tanto es 7. Para ello hace falta que sea n = 3 (mod 6)
n = 6m + 3
a = 10^(6m+3)/7
Para m = 0, tenemos que a = 143, y 143143 = 7*143^2.
--
Saludos,
Ignacio Larrosa Ca�estro
A Coru�a (Espa�a)
ilarrosaQUIT...@mundo-r.com
> 2.-Sean x,y,z n�meros reales positivos, menores que pi, tales que :
> cos(x) + cos(y)+cos(z) = 0
> cos(2x)+cos(2y)+cos(2z)=0
> cos(3x)+cos(3y)+cos(3z)=0
> Hallar todos los valores que puede tomar sen(x)+sen(y)+sen(z)
>
> Saludos.
> Le�n-Sotelo.
Ignacio Larrosa Ca�estro
> 2.-Sean x,y,z n�meros reales positivos, menores que pi, tales que :
> cos(x) + cos(y)+cos(z) = 0
> cos(2x)+cos(2y)+cos(2z)=0
> cos(3x)+cos(3y)+cos(3z)=0
> Hallar todos los valores que puede tomar sen(x)+sen(y)+sen(z)
De la segunda,
sen^2(x) + sen^2(y) + sen^2(z) = 3/2
y por tanto,
cos^2(x) + cos^2(y) + cos^2(z) = 3/2
Restandole a la primera la tercera.
sen(x)sen(2x) + sen(y)sen(2y) + sen(z)sen(2z) = 0
sen^2(x)cos(x) + sen^2(y)cos(y) + sen^2(z)cos(z) = 0
o aplicando cos(3x) =4cos^3(x) - 3cos(x), concluimos que
cos^3(x) + cos^3(y) + cos^(z) = 0
Haciendo a = cos(x), b = cos(y) y c = cos(z), nos queda el sistema
a + b + c = 0
a^2 + b^2 + c^2 = 3/2
a^3 + b^3 + c^3 = 0
Sustituyendo en 2� y 3� c = -a - b, nos queda
a^2 + ab + b^2 = 3/4
ab(a + b) = 0
lo que nos da como soluciones las seis permutaciones de {0,
rq(3)/2, -rq(3)/2}. Por tanto, los senos son 1, 1/2 y 1/2, y la suma pedida
es 2.
Ignacio Larrosa Ca�estro
> Le�n-Sotelo wrote:
>> 1.-Sea a un n�mero de n d�gitos (n>1).Un n�mero b de 2n d�gitos se
>> obtiene escribiendo dos copias de a, una a continuaci�n de la otra.Si
>> b/a^2 es un n�mero entero k,encontrar los posibles valores de k
>
> Tenemos que
>
> 10^(n-1) <= a < 10^n
> 10^(2n-2) <= a^2 < 10^(2n)
> 10^(2n-1) < b < 10^(2n) (b no puede ser 10^(2n-1)
>
> Luego 1 < k < 10
>
> Pero podemos decir mucho m�s, puesto que ser�:
>
> b = (10^n + 1)a
>
> k = (10^n + 1)/a
>
> Entonces, k debe ser impar y no puede ser 3, 9 � 5. La �nica
> posibilidad por tanto es 7. Para ello hace falta que sea n = 3 (mod 6)
>
> n = 6m + 3
>
> a = 10^(6m+3)/7
Hay se perdi� un 1 ...
a = (10^(6m+3) + 1)/7
> Para m = 0, tenemos que a = 143, y 143143 = 7*143^2.