Combinatorio con primos e integral

[León-Sotelo]

1)Hallar el número de primos distintos que dividen a:
B= 1*C(2000,1)+2*C(2000,2)+3*C(2000,3)+...+2000*C(2000,2000)

2)Encontrar un par de números (m,k) pertenecientes a C={2,3,4,...}
con m>k tales que la integral entre k/m y m/k de f(x)=1/sqrt(1+x^2)
sea
ln((m-1)/(k-1))

Saludos.
León-Sotelo.

[Antonio González]

Le�n-Sotelo escribi�:
>
> 2)Encontrar un par de n�meros (m,k) pertenecientes a C={2,3,4,...}

> con m>k tales que la integral entre k/m y m/k de f(x)=1/sqrt(1+x^2)
> sea
> ln((m-1)/(k-1))

int_a^b 1/rq(1+x^2) dx = arcsenh(b) - arcsenh(a)

arcsenh(x) = ln(x + rq(1+x^2))

as� que debe ser

ln(m/k + rq(1+m^2/k^2)) - ln(k/m + rq(1+k^2/m^2)) =

= ln(m(m+rq(k^2+m^2))/k(k+rq(m^2+k^2))) = ln((m-1)/(k-1))

Quitando logaritmos y pasando numeradores arriba

m(k-1)(m+rq(m^2+k^2)) = k(m-1)(k+rq(m^2+k^2))

Aislando las ra�ces

m^2(k-1) - k^2(m-1) = (m-k)rq(m^2+k^2)

Elevando al cuadrado, restando y factorizando, queda

mk(m-k)^2(km-2m-2k+2) = 0

Como ni m, ni k, ni m-k son 0, debe ser

km-2m-2k +2 = 0

(k-2)(m-2) = 2

por lo que

k-2 = 1

m-2 = 2

y k = 3, m = 4

--

Antonio

[Javier Esquinas]

On 11 nov, 10:00, León-Sotelo <francisco.lsot...@gmail.com> wrote:
> 1)Hallar el número de primos distintos que dividen a:
> B= 1*C(2000,1)+2*C(2000,2)+3*C(2000,3)+...+2000*C(2000,2000)
>

Teniendo en cuenta el desarrollo del binomio : (1 + x)^2000 y
derivando se tiene que:

1*C(2000,1)+2*C(2000,2)+3*C(2000,3)+...+2000*C(2000,2000) =
2000·2^1999

así que los únicos primos son 2 y 5.

Saludos.