Series logarítmicas
Antonio González
S = 1 - 1/3 -1/5 + 1/7 + 1/9 - ... + a(n)/n + ...
con a(n) = 0 si n es par, +1 si n = 1 � 7 (mod 8) y -1 si n = 3 � 5 (mod 8).
2) Sumar
S = 1 - 1/2 - 1/3 + 1/4 + 1/6 - ... + b(n)/n + ...
con b(n) = 0 si n = 0 (mod 5), b(n) = +1, si n = 1 � 4 (mod 5) y -1 si n
= 2 � 3 (mod 5).
--
Antonio
Ignacio Larrosa Ca�estro
"Antonio Gonz�lez" <gonf...@gmail.com> escribi� en el mensaje
news:7mtsi0F...@mid.individual.net...
> 1) Hallar la suma
>
> S = 1 - 1/3 -1/5 + 1/7 + 1/9 - ... + a(n)/n + ...
>
> con a(n) = 0 si n es par, +1 si n = 1 � 7 (mod 8) y -1 si n = 3 � 5 (mod
> 8).
S = Ln(1 + rq(2))/rq(2) ~= 0.6232252401...
> 2) Sumar
>
> S = 1 - 1/2 - 1/3 + 1/4 + 1/6 - ... + b(n)/n + ...
>
> con b(n) = 0 si n = 0 (mod 5), b(n) = +1, si n = 1 � 4 (mod 5) y -1 si n =
> 2 � 3 (mod 5).
>
>
S = Ln((3 + rq(5))/2)/rq(5) ~= 0.4304089409...
Derive las calcula empleando la funci�n Psi(z) = (Ln(Gamma(z))'
En particular,
Sum(1/(a + bk), k, 0, n) = (1/b)(Psi(n + 1 + a/b) - Psi(a/b))
Cuando n --> inf, las Psi(n + c) se cancelan. De manera que en estre
sdegundo caso,
S = -(1/5)(Psi(1/5) - Psi(2/5) - Psi(3/5) + Psi(4/5))
Mientras que en el primero,
S = -(1/8)(Psi(1/8) - Psi(3/8) - Psi(5/8) + Psi(7/8))
Ignacio Larrosa
Antonio González
> "Antonio Gonz�lez" <gonf...@gmail.com> escribi� en el mensaje
> news:7mtsi0F...@mid.individual.net...
>> 1) Hallar la suma
>>
>> S = 1 - 1/3 -1/5 + 1/7 + 1/9 - ... + a(n)/n + ...
>>
>> con a(n) = 0 si n es par, +1 si n = 1 � 7 (mod 8) y -1 si n = 3 � 5 (mod
>> 8).
>
> S = Ln(1 + rq(2))/rq(2) ~= 0.6232252401...
>
>
>> 2) Sumar
>>
>> S = 1 - 1/2 - 1/3 + 1/4 + 1/6 - ... + b(n)/n + ...
>>
>> con b(n) = 0 si n = 0 (mod 5), b(n) = +1, si n = 1 � 4 (mod 5) y -1 si n =
>> 2 � 3 (mod 5).
>>
>>
>
> S = Ln((3 + rq(5))/2)/rq(5) ~= 0.4304089409...
Aunque es lo mismo, queda m�s bonito
S = 2 ln(fi)/rq(5)
>
> Derive las calcula empleando la funci�n Psi(z) = (Ln(Gamma(z))'
>
> En particular,
>
> Sum(1/(a + bk), k, 0, n) = (1/b)(Psi(n + 1 + a/b) - Psi(a/b))
>
> Cuando n --> inf, las Psi(n + c) se cancelan. De manera que en estre
> sdegundo caso,
>
> S = -(1/5)(Psi(1/5) - Psi(2/5) - Psi(3/5) + Psi(4/5))
>
> Mientras que en el primero,
>
> S = -(1/8)(Psi(1/8) - Psi(3/8) - Psi(5/8) + Psi(7/8))
>
Se pueden hacer a mano sin mucha dificultad. No hay m�s que usar la serie
-ln(1-x) = x + x^2/ + x^3/3 + ...
y (para la primera) ahora aplicarla a x, wx, w^2x, w^3x, w^4x (con
w^5=1). Combin�ndolas adecuadamente puede uno reducirla a la serie
anterior tras hacer x =1.
Estas dos series aparecen en "The Princeton companion to Mathematics"
dentro del apartado sobre "Algebraic numbers" donde se conectan
estrechamente con los ideales, las ecuaciones de Pell y todo lo dem�s.
Lo que gobierna el signo es si n es un residuo cuadr�tico m�dulo d (si d
= 1 (mod 4), como 5) o m�dulo 4d (si no lo es, como 2), esto es si
existe m tal que n - m^2 = 0 (mod d � 4d, seg�n el caso).
--
Antonio
Eduardo
> Se pueden hacer a mano sin mucha dificultad. No hay más que usar la serie
>
> -ln(1-x) = x + x^2/ + x^3/3 + ...
>
Yo la habia hecho derivando S(x) = x - x^3/3 -x^5/5 + x^7/7 +
x^9/9 ...
--> S(x)' = (1-x^2)/(1+x^4)
--> S(x) = LN((x^2+rq(2)x+1)/(x^2-rq(2)x+1))/rq(8)
Idem con S(x) = x - x^2/2 - x^3/3 + x^4/4 + x^6/6 - ...
--> S(x)' = (1-x)(1-x^2)/(1-x^5)
--> S(x) = LN((x^2+phi*x+1)/(x^2-x/phi+1))/rq(5)
Antonio González
> On Nov 23, 7:26 am, Antonio Gonz�lez <gonfe...@gmail.com> wrote:
>> Se pueden hacer a mano sin mucha dificultad. No hay m�s que usar la serie
>>
>> -ln(1-x) = x + x^2/ + x^3/3 + ...
>>
>
> Yo la habia hecho derivando S(x) = x - x^3/3 -x^5/5 + x^7/7 +
> x^9/9 ...
> --> S(x)' = (1-x^2)/(1+x^4)
> --> S(x) = LN((x^2+rq(2)x+1)/(x^2-rq(2)x+1))/rq(8)
>
> Idem con S(x) = x - x^2/2 - x^3/3 + x^4/4 + x^6/6 - ...
> --> S(x)' = (1-x)(1-x^2)/(1-x^5)
> --> S(x) = LN((x^2+phi*x+1)/(x^2-x/phi+1))/rq(5)
>
�Perfecto!
Mucho m�s corto que mi m�todo.
Por desarrollar mi argumento. La idea es aprovechar que
1 + w + w^2 + w^3 + w^4 = 0
entonces, si tenemos
-ln(1-x) = x + x^2/2 + x^3/3 + x^4/4 + x^5/5....
llegamos a
-ln(1-wx) = wx + w^2x^2/2 + w^3x^3/3 + w^4x^4/4 + x^5/5....
y todos los dem�s. Si buscamos una combinaci�n lineal
f(x) = sum_0^4 C(k)(-ln(1-w^k x))
como queremos cargarnos los t�rminos 5n, dejar un coeficiente +1 en los
5n+1 y 5n+4, y -1 en 5n+2 y 5n+3, debe cumplirse
C(0) + C(1) + C(2) + C(3) + C(4) = 0
C(0) + wC(1) + w^2C(2)+ w^3C(3) + w^4C(4) = 1
C(0) + w^2C(1) + w^4C(2)+ wC(3) + w^3C(4) = -1
C(0) + w^3C(1) + wC(2)+ w^4C(3) + w^3C(4) = -1
C(0) + w^4C(1) + w^3C(2)+ w^2C(3) + wC(4) = 1
(donde he usado repetidamente que w^(5n+k) = w^k)
Sumando las cinco queda
C(0) = 0
multiplicando por (1,w^4,w^3,w^2,w) y sumando
5C(1) = w^4 - w^3 - w^2 + w = 2cos(72�) - 2cos(144�) =
= 2cos(72�) + 2cos(36�) = rq(5)
C(1) = 1/rq(5)
Operando igualmente para el resto, queda
C(2) = -1/rq(5)
C(3) = -1/rq(5)
C(4) = 1/rq(5)
y por tanto
S = (-1/rq(5))(ln(1-w)-ln(1-w^2) - ln(1-w^3) + ln(1-w^4))
= (1/rq(5))ln((1-w^2)(1-w^3)/((1-w)(1-w^4))) =
= (2/rq(5))ln(sen(72�)/sen(36�)) = (2/rq(5))ln(phi)
--
Antonio
Ignacio Larrosa Ca�estro
"Antonio Gonz�lez" <gonf...@gmail.com> escribiu na mensaxe
novas:7mv6a1F...@mid.individual.net...
No se que quieres decir. Eso es as� en estos ejemplos, pero podr�a no serlo
y a�n as� la serie puede ser convergente y puede calcularse su suma. Para
ello lo �nico que necesitamos es que agrupando los t�rminos, sin cambiar de
orden a un n�mero infinito de ellos, obtengamos un cociente con una
diferencia de dos grados entre denominador y numerador (en realidad m�s de
uno, que al ser enteros es al menos dos)
--
Saludos,
Ignacio Larrosa Ca�estro
A Coru�a (Espa�a)
ilarrosaQUIT...@mundo-r.com
Antonio González
>
Es que realmente me ha quedado confuso :-)
Por supuesto que existen muchas posibles combinaciones de series a(n)/n
que resultan (condicionalmente) convergentes. Basta con que se vayan
alternando t�rminos de un signo y de otro.
Lo que mencionaba era el contexto en que he tropezado con estas dos
series, dentro de un art�culo sobre enteros algebraicos (gaussianos y
dem�s), donde parece que no van a aparecer series y otros elementos del
c�lculo.
La idea es que dadas las formas cuadr�ticas del tipo
aX^2 + b XY + cY^2
(p.ej. X^2 - 2Y^2 para rq(2), X^2 + XY - Y^2 para el n�mero �ureo)
se pueden asignar diferentes relaciones vinculadas al discriminante D =
b^2 -4ac.
En particular tenemos los caracteres de Dirichlet
http://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet_character
http://mathworld.wolfram.com/DirichletL-Series.html
--
Antonio