Sistema de ecuaciones (Newton)
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Tengo una duda al comprobar las hipótesis para aplicar el Método de
Newton.
Tenemos las curvas:
y = x^3 - x + 1
y = 2x^2
Para poder aplicar el método Newton - Raphson para sistemas, tenemos
que despejar x en una función e y en otra función y comprobar que las
derivadas parciales en x e y de cada una de ella cumple que:
| D | <= L / n, con L < 1, siendo n = 2 en este caso.
La gráfica nos indica que una de las raíces está en el intervalo
[-1,-01] x [0.1,2] (el 0.1 para evitar ceros en denominadores).
En la segunda ecuación, tenemos despejada la variable y pero también
podríamos despejar x = raiz (y/2).
Si la dejamos como está, tenemos que D(y) = 4x, y su valor absoluto
multiplicado por n = a uno en el intervalo.
Por lo tento, hacemos x = raiz (y/2) en la segunda ecuación y en la
primera tenemos que despejar x. Se puede hacer de dos formas:
x = y - x^3 - 1
x = 1 / raiz_cubica(y + x -1)
En el primer caso, la derivada es D(x) = - 2x^2, que si la
multiplicamos por n=2, se me sale del intervalo.
¿Cómo comprobamos entonces que se puede aplicar Newton en este caso?.
Muchas gracias.
Besos.
Ignacio Larrosa Cañestro
> Hola.
>
> Tengo una duda al comprobar las hipótesis para aplicar el Método de
> Newton.
> Tenemos las curvas:
>
> y = x^3 - x + 1
>
> y = 2x^2
La verdad no controlo mucho la aplicación del metodo de Newton-Raphson a
sistemas, pero en este caso claramente no es necesario ...
No hay más que igualar, y queda una cúbica fácilmente resoluble a mano:
x^3 - 2x^2 - x + 1 = 0
Haciendo x = (2/3)s, para que el coeficiente de s^2 sea tres veces el de
s^3, y multiplicando por 27,
8s^3 - 24s^2 - 18s + 27 = 0
Haciendo ahora s = t + 1 para eliminar el término cuadrático,
8t^3 - 42t - 7 = 0
x = 2(t + 1)/3
Si hacemos t = rq(7)u, conseguimos que los coeficientes de t^3 y t estén en
la proporción 4::3. Efectuando este cambio y dividiendo por 14rq(7),
4u^3 - 3u = rq(7)/14
x = 2(rq(7)u + 1)/3
Haciendo ahora u = cos(w),
4cos^3(w) - 3cos(w) = cos(3w) = rq(7)/14
w = arccos(rq(7)/14)/3 + 2kpi/3, k = 0, 1, 2
x = 2(rq(7)cos(w) + 1)/3
x = 2(rq(7)cos(arccos(rq(7)/14)/3 + 2kpi/3) + 1)/3, k = 0, 1, 2
x ~= 2.246979603, -0.8019377358, 0.5549581320
y ~= 10.09783467, 1.286208264, 0.6159570567
Si, si ... ya se que no es exactamente lo que querias
--
Saludos,
Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUIT...@mundo-r.com