Este problema le hubiera gustado a Erdos!
Javier Esquinas
cuatro concíclicos ,demostrar que siempre es posible seleccionar un
círculo C que pase a través de exactamente tres de ellos y de modo que
de los 2n restantes n estén dentro del círculo y los otros n fuera.
Bonito no?
Saludos.
Ignacio Larrosa Ca�estro
> Dados 2n + 3 puntos con n >=1 de modo que no hay tres colineales ni
> c�rculo C que pase a trav�s de exactamente tres de ellos y de modo que
> de los 2n restantes n est�n dentro del c�rculo y los otros n fuera.
>
Nasta tomar dos puntos A y B consecutivos de la c�psula convexa de los 2n +
3 puntos. Escogemos un punto P de su mediatriz en el mismo semiplano que los
otros 2n + 1 y trazamos la circunferencia c que pasa por A, B y P. Tomando P
lo suficientemente alejado, la circunferencia englobar� a los otros 2n + 1
puntos, puesto que no hay tres alineados. Basta con ir acercando P hacia el
punto medio del segmento AB, para que c vaya dejando fuera uno a uno a los
otros puntos, puesto que no hay 4 conc�clicos. Cuando tengamos n fuera y
alcancemosel n + 1, paramos.
--
Saludos,
Ignacio Larrosa Ca�estro
A Coru�a (Espa�a)
ilarrosaQUIT...@mundo-r.com
Javier Esquinas
Tomemos igual que Ignacio dos puntos consecutivos A y B de la
envoltura convexa del conjunto.Puesto que no hay tres colineales los
restantes 2n + 1 estarán en un semiplano determinado por la recta que
pasa por A y B.Consideremos el ángulo que forma cada uno de estos
puntos con A y B.Todos estos ángulos deben de ser diferentes (¿Por
qué?) y por tanto se podrán ordenar como:
a(1) < ...< a(n) < a(n+1) < a(n + 2) < ...< a(2n + 1)
Considerando el círculo que pasa por A,B y el punto que determina el
ángulo a(n + 1) tendremos que los puntos determinados por los ángulos a
(1),...,a(n) están dentro de ese círculo y los determinados por a(n +
2),...,a(2n + 1) fuera.
Saludos.
Ignacio Larrosa
(No se por qué, este mensaje no se me descdarga en OE. Ase que
contesto desde Google.
Pero eso es esencialmente lo mismo que hago yo. por otra parte, no es
necesaria ninguna restricción sobre los puntos iniciales. Para
cualquier par de puntos, podemos hallar otro que verifrica lo pedido.
Ignacio
Javier Esquinas
>
> - Mostrar texto de la cita -
No,si yo no hago ninguna restricción sobre los puntos iniciales,lo
único que hago es decir que si cojo dos pues quedan 2n + 1 porque no
hay tres colineales.No veo la restricción que mencionas.
Saludos.
Ignacio Larrosa Ca�estro
> On 19 nov, 12:31, Ignacio Larrosa <ilarr...@gmail.com> wrote:
>> On 19 nov, 12:22, Javier Esquinas <jesqui...@renfe.es> wrote:
>>
>>
>>
>>
>>
>>> On 18 nov, 13:47, Javier Esquinas <jesqui...@renfe.es> wrote:
>>
>>>> Dados 2n + 3 puntos con n >=1 de modo que no hay tres colineales ni
>>>> que de los 2n restantes n est�n dentro del c�rculo y los otros n
>>>> fuera.
>>
>>>> Bonito no?
>>
>>>> Saludos.
>>
>>> Tomemos igual que Ignacio dos puntos consecutivos A y B de la
>>> envoltura convexa del conjunto.Puesto que no hay tres colineales los
>>> que pasa por A y B.Consideremos el �ngulo que forma cada uno de
>>> estos puntos con A y B.Todos estos �ngulos deben de ser diferentes
>>> (�Por qu�?) y por tanto se podr�n ordenar como:
>>
>>> a(1) < ...< a(n) < a(n+1) < a(n + 2) < ...< a(2n + 1)
>>
>>> �ngulo a(n + 1) tendremos que los puntos determinados por los
>>> �ngulos a (1),...,a(n) est�n dentro de ese c�rculo y los
>>> determinados por a(n + 2),...,a(2n + 1) fuera.
>>
>>> Saludos.
>>
>> contesto desde Google.
>>
>> Pero eso es esencialmente lo mismo que hago yo. por otra parte, no es
>> cualquier par de puntos, podemos hallar otro que verifrica lo pedido.
>>
>> Ignacio- Ocultar texto de la cita -
>>
>> - Mostrar texto de la cita -
>
> �nico que hago es decir que si cojo dos pues quedan 2n + 1 porque no
> hay tres colineales.No veo la restricci�n que mencionas.
>
Si, la hice yo y tu te adhieres: "Tomemos igual que Ignacio dos puntos
consecutivos A y B de la envoltura convexa del conjunto ...". Que est� muy
bien, porque facilita la comprensi�n de la resoluci�n, pero quer�a a�adir
que es innecesario, pues se puede empezar con cualquier otro par de puntos,
modificando apenas el razonamiento.
Javier Esquinas
<ilarrosaQUITARMAYUSCU...@mundo-r.com> wrote:
> Javier Esquinas wrote:
> > On 19 nov, 12:31, Ignacio Larrosa <ilarr...@gmail.com> wrote:
> >> On 19 nov, 12:22, Javier Esquinas <jesqui...@renfe.es> wrote:
>
> >>> On 18 nov, 13:47, Javier Esquinas <jesqui...@renfe.es> wrote:
>
> >>>> Dados 2n + 3 puntos con n >=1 de modo que no hay tres colineales ni
> >>>> que de los 2n restantes n estén dentro del círculo y los otros n
> >>>> fuera.
>
> >>>> Bonito no?
>
> >>>> Saludos.
>
> >>> Tomemos igual que Ignacio dos puntos consecutivos A y B de la
> >>> envoltura convexa del conjunto.Puesto que no hay tres colineales los
> >>> que pasa por A y B.Consideremos el ángulo que forma cada uno de
> >>> estos puntos con A y B.Todos estos ángulos deben de ser diferentes
> >>> (¿Por qué?) y por tanto se podrán ordenar como:
>
> >>> a(1) < ...< a(n) < a(n+1) < a(n + 2) < ...< a(2n + 1)
>
> >>> ángulo a(n + 1) tendremos que los puntos determinados por los
> >>> ángulos a (1),...,a(n) están dentro de ese círculo y los
> >>> determinados por a(n + 2),...,a(2n + 1) fuera.
>
> >>> Saludos.
>
> >> contesto desde Google.
>
> >> Pero eso es esencialmente lo mismo que hago yo. por otra parte, no es
> >> cualquier par de puntos, podemos hallar otro que verifrica lo pedido.
>
> >> Ignacio- Ocultar texto de la cita -
>
> >> - Mostrar texto de la cita -
>
> > hay tres colineales.No veo la restricción que mencionas.
>
> Si, la hice yo y tu te adhieres: "Tomemos igual que Ignacio dos puntos
> bien, porque facilita la comprensión de la resolución, pero quería añadir
> que es innecesario, pues se puede empezar con cualquier otro par de puntos,
> modificando apenas el razonamiento.
>
> --
> Saludos,
>
> A Coruña (España)
> ilarrosaQUITARMAYUSCU...@mundo-r.com- Ocultar texto de la cita -
>
> - Mostrar texto de la cita -
Ya ,ya te entiendo,pero como no ganas nada ,es decir : no relajas las
hipótesis pues mejor de la forma más visual posible.
Saludos.