El gato, el reloj y el ratón.
Marko Riedel
Hola grupo,
tenemos una fila de cinco casillas adyacentes. Hay un gato en la
primera casilla, y en la ultima, un ratón.
Cuando el minutero del reloj avanza, ambos saltan desde su casilla a
una casilla adyacente elegida aleatoriamente. Por ejemplo, si el gato
está en la casilla dos, salta o a la casilla uno, o a la casilla tres,
con identica probabilidad. Si está en la casilla uno, salta a la
casilla dos, etc. El salto del gato ocurre al mismo tiempo que el
salto del ratón.
Si el ratón y el gato acaban en la misma casilla, el gato come al
ratón.
Explicar como calcular la esperanza matemática de vida del ratón, y
hallar su valor.
;-)
Un saludo.
--
+------------------------------------------------------------+
| Marko Riedel, EDV Neue Arbeit gGmbH, mri...@neuearbeit.de |
| http://www.geocities.com/markoriedelde/index.html |
+------------------------------------------------------------+
jhn...@gmail.com
Si E(g,r) es la esperanza de vida
del ratón cuando está en r, con el
gato en g, entonces es claro que
E(1,5) = 1+E(2,4),
E(2,4) = 1/4 + E(1,3)/4 + E(3,5)/4 + E(1,5)/4
E(1,3) = E(3,5) = 1/2 + E(2,4)/2,
de donde se despeja, si no me equivoco,
E(1,5) = 5/2.
Saludos,
José H. Nieto
http://mipagina.cantv.net/jhnieto/
Marko Riedel
> Marko Riedel wrote:
> > Hola grupo,
> >
> > tenemos una fila de cinco casillas adyacentes. Hay un gato en la
> > primera casilla, y en la ultima, un ratón.
> >
> > Cuando el minutero del reloj avanza, ambos saltan desde su casilla a
> > una casilla adyacente elegida aleatoriamente. Por ejemplo, si el gato
> > está en la casilla dos, salta o a la casilla uno, o a la casilla tres,
> > con identica probabilidad. Si está en la casilla uno, salta a la
> > casilla dos, etc. El salto del gato ocurre al mismo tiempo que el
> > salto del ratón.
> >
> > Si el ratón y el gato acaban en la misma casilla, el gato come al
> > ratón.
> >
> > Explicar como calcular la esperanza matemática de vida del ratón, y
> > hallar su valor.
> >
> > ;-)
> >
> > Un saludo.
> >
[...]
>
>
> Si E(g,r) es la esperanza de vida
> del ratón cuando está en r, con el
> gato en g, entonces es claro que
>
> E(1,5) = 1+E(2,4),
> E(2,4) = 1/4 + E(1,3)/4 + E(3,5)/4 + E(1,5)/4
> E(1,3) = E(3,5) = 1/2 + E(2,4)/2,
>
> de donde se despeja, si no me equivoco,
> E(1,5) = 5/2.
>
Estimado Sr. Nieto,
le recuerdo con respeto que el enunciado pide "la esperanza
matemática", es decir, segun la Wikipedia española,
"En estadística el esperanza matemática (o simplemente esperanza)
o valor esperado de una variable aleatoria es la suma de la
probabilidad de cada suceso multiplicada por su valor."
El parametro que ha calculado Vd. no tiene memoria, es el numero
esperado de minutos que el ratón permanece en el juego si el estado
del juego es E(1,5), que no es lo mismo.
Le propongo un ejemplo. Tenemos una bombilla eléctrica que se estropea
con probabilidad 1/2. En cada momento el valor esperado del tiempo que
permanecera encendida se obtiene de la ecuacion E = 1/2 + 1/2 E, es
decir, un minuto. La esperanza de vida de la bombilla es
1/2 * 1 + 1/4 * 2 + 1/8 * 3 + 1/16 * 4 + ... = 2,
o sea, dos minutos.
jhn...@gmail.com
Apreciado Marko,
No entiendo la distinción que haces entre esperanza matemática y
valor esperado. En tu ejemplo lo que ocurre es que la ecuación
satisfecha por E no es
E = 1/2 + 1/2 E, sino E = 1/2 + 1/2(1+E), de donde se sigue E=2 igual
que si se suma la serie.
Dicho esto, me apresuro a reconocer que mi solución era incorrecta,
pero no porque haya diferencia entre esperanza matemática y valor
esperado sino sencillamente porque planteé mal dos de las tres
ecuaciones. Éstas deberían ser
(1) E(1,5) = 1 + E(2,4),
(2) E(2,4) = 1/4 + 1/4(1+E(1,3)) + 1/4(1+E(3,5)) + 1/4(1+E(1,5))
= 1 + 1/4(E(1,3) + E(3,5) + E(1,5)),
(3) E(1,3) = E(3,5) = 1/2 + 1/2(1+E(2,4)) = 1 + E(2,4)/2,
De (2) y (3) resulta
E(2,4) = 1 + 1/2(1 + E(2,4)/2) + 1/4 E(1,5),
de donde 3E(2,4) = 6 + E(1,5),
y de aquì y (1) sale E(2,4) = 7/2 y E(1,5) = 9/2.
Espero no haberme equivocado nuevamente,
jhn
Marko Riedel
> Marko Riedel wrote:
> > "jhn...@gmail.com" <jhn...@gmail.com> writes:
> >
> > > Marko Riedel wrote:
> > > > Hola grupo,
> > > >
> > > > tenemos una fila de cinco casillas adyacentes. Hay un gato en la
> > > > primera casilla, y en la ultima, un ratón.
> > > >
> > > > Cuando el minutero del reloj avanza, ambos saltan desde su casilla a
> > > > una casilla adyacente elegida aleatoriamente. Por ejemplo, si el gato
> > > > está en la casilla dos, salta o a la casilla uno, o a la casilla tres,
> > > > con identica probabilidad. Si está en la casilla uno, salta a la
> > > > casilla dos, etc. El salto del gato ocurre al mismo tiempo que el
> > > > salto del ratón.
> > > >
> > > > Si el ratón y el gato acaban en la misma casilla, el gato come al
> > > > ratón.
> > > >
> > > > Explicar como calcular la esperanza matemática de vida del ratón, y
> > > > hallar su valor.
> > > >
[...]
Estimado Sr. Nieto,
> Apreciado Marko,
> No entiendo la distinción que haces entre esperanza matemática y
> valor esperado. En tu ejemplo lo que ocurre es que la ecuación
> satisfecha por E no es
> E = 1/2 + 1/2 E, sino E = 1/2 + 1/2(1+E), de donde se sigue E=2 igual
> que si se suma la serie.
>
Por supuesto. Esto sirve para ilustrar que no se debe hacer
matemáticas a las cuatro de la mañana. ;-)
> Dicho esto, me apresuro a reconocer que mi solución era incorrecta,
> pero no porque haya diferencia entre esperanza matemática y valor
> esperado sino sencillamente porque planteé mal dos de las tres
> ecuaciones. Éstas deberían ser
>
> (1) E(1,5) = 1 + E(2,4),
> (2) E(2,4) = 1/4 + 1/4(1+E(1,3)) + 1/4(1+E(3,5)) + 1/4(1+E(1,5))
> = 1 + 1/4(E(1,3) + E(3,5) + E(1,5)),
> (3) E(1,3) = E(3,5) = 1/2 + 1/2(1+E(2,4)) = 1 + E(2,4)/2,
>
> De (2) y (3) resulta
>
> E(2,4) = 1 + 1/2(1 + E(2,4)/2) + 1/4 E(1,5),
> de donde 3E(2,4) = 6 + E(1,5),
> y de aquì y (1) sale E(2,4) = 7/2 y E(1,5) = 9/2.
>
Esto es el valor correcto. Ahora consideremos los momentos factoriales
E[(V)_n], donde V ("vida") es la siguiente variable aleatoria:
V = { numero de minutos que el ratón permanece en el juego }.
Los momentos son
c_1 = E[V] = 9/2
c_2 = E[V(V-1)]
c_3 = E[V(V-1)(V-2)]
etc.
Hasta que valor de n sería Vd. capaz de calcular los valores de la
secuencia
{c_n}_{n >= 1}?
Sabría Vd. resolver la ecuacion
c_n = 1486419069687552000?
(Basta con explicar el método. El valor concreto queda entonces como
regalito adicional. ;-)
jhn...@gmail.com
Bueno, ahora parece que no podré escapar de las funciones
generatrices...
Primero calcularía la distribución de V, es decir p_n=E(V=n).
Creo que es p_1=0, p_2=p_3=1/4, p_4=p_5=1/8, ...,
p_<(2k)=p_(2k+1)=1/2^(k+1).
(de aquí se puede calcular también E(V)=9/2 sumando una serie.)
Ahora la función generadora de momentos factoriales es M(t) = E(t^V),
y luego de unos cálculos obtengo s.e.u.o.
M(t) = (1/2) t^2 (t + 1)/(2 - t^2),
de donde derivando n veces y evaluando en t=1 salen los momentos
factoriales
c_1 = 9/2, y para n>1
c_n = M^(n)(1) = (n!/4)((2+rq(2))(rq(2)+1)^(n+1) - (-1)^n
(2-rq(2))(rq(2)-1)^(n+1))
Ah!, casualmente
c_16 = 1486419069687552000
Saludos,
jhn
Marko Riedel
Muy bonito! La solución que obtuve yo (mañana se la mando, que ya es
muy tarde) usa álgebra lineal básica y sirve para explicar los pasos
que Vd. ha omitido. (El método es el mismo, es decir, hallar la
función generadora de momentos factoriales.)
Marko Riedel
> Marko Riedel wrote:
[...]
>
> Bueno, ahora parece que no podré escapar de las funciones
> generatrices...
> Primero calcularía la distribución de V, es decir p_n=E(V=n).
> Creo que es p_1=0, p_2=p_3=1/4, p_4=p_5=1/8, ...,
> p_<(2k)=p_(2k+1)=1/2^(k+1).
> (de aquí se puede calcular también E(V)=9/2 sumando una serie.)
>
> Ahora la función generadora de momentos factoriales es M(t) = E(t^V),
> y luego de unos cálculos obtengo s.e.u.o.
>
> M(t) = (1/2) t^2 (t + 1)/(2 - t^2),
>
> de donde derivando n veces y evaluando en t=1 salen los momentos
> factoriales
>
> c_1 = 9/2, y para n>1
>
> c_n = M^(n)(1) = (n!/4)((2+rq(2))(rq(2)+1)^(n+1) - (-1)^n
> (2-rq(2))(rq(2)-1)^(n+1))
>
> Ah!, casualmente
>
> c_16 = 1486419069687552000
>
Estimado Sr. Nieto,
pues aqui viene mi solución, espero que resultará una lectura
interesante (leer con fuente monoespaciada).
Como ya hemos visto el juego tiene cinco estados:
1. gato en la casilla uno, ratón en la casilla tres: (1, 3)
2. gato en la casilla uno, ratón en la casilla cinco: (1, 5)
3. gato en la casilla dos, ratón en la casilla cuatro: (2, 4)
4. gato en la casilla tres, ratón en la casilla cinco: (3, 5)
5. el gato ha comido al ratón: T.
Estos estados dan lugar a la siguiente matriz estocástica izquierda:
(1, 3) (1, 5) (2, 4) (3, 5) T
------+-----------------------------------
(1, 3)| 0 0 1/4 0 0
(1, 5)| 0 0 1/4 0 0
(2, 4)| 1/2 1 0 1/2 0
(3, 5)| 0 0 1/4 0 0
T| 1/2 0 1/4 1/2 1,
la matriz "A".
Todas las columnas suman uno. La primera columna dice, por ejemplo,
que con el gato en la primera casilla y el ratón en la tercera,
o el gato salta a la segunda casilla, y el ratón, a la cuarta,
o ambos saltan a la casilla dos, y el gato come al ratón, con igual
probabilidad. La segunda columna dice que con el gato en la casilla
uno, y el ratón en la casilla cinco, sus respectivos saltos están
completamente determinados, y el gato salta a la casilla dos, y el
ratón, a la casilla cuatro, con probabilidad uno. etc.
Sea entonces v = [0, 1, 0, 0, 0]^T.
Luego la distribución de probabilidades de los estados despues de k
minutos es
A^k v = [p13_k, p15_k, p24_k, p35_k, T_k]^T.
Entonces la probabilidad que el gato y el ratón salten a la misma
casilla es
1/2 p13_k + 1/4 p24_k + 1/2 p35_k.
Sea entonces u = [1/2, 0, 1/4, 1/2, 0]. Con la variable aleatoria V
denotando el numero de minutos que el ratón permanece en el juego,
tenemos
P[V=k+1] = u A^k v.
Luego el n-ésimo momento factorial es
c_n = sum_{k >= 0} (k+1)_n u A^k v.
Pero (k+1)_n = (d/dz)^n z^{k+1} |_{z=1}, con lo cual
c_n = (d/dz)^n sum_{k >= 0} z^{k+1} u A^k v |_{z=1}.
Simplificando,
c_n = (d/dz)^n z u (sum_{k >= 0} z^k A^k) v |_{z=1}
= (d/dz)^n z u (I-zA)^{-1} v |_{z=1}
Conclusión: la función M(z) generadora de momentos factoriales es
M(z) = z u (I-zA)^{-1} v.
Haciendo el calculo, queda
M(z) = 1/2 z^2 (z+1)/(2-z^2).
Finalmente, los primeros momentos factoriales son
[1, 9/2], [2, 24], [3, 174], [4, 1680], [5, 20280],
[6, 293760], [7, 4964400], [8, 95880960],
[9, 2083294080], [10, 50295168000], [11, 1335656044800],
[12, 38694707251200], [13, 1214424731520000],
[14, 41046329202278400], [15, 1486419069687552000],
[16, 57416529238548480000], ...
¿Cómo le parece?
Un saludo.
En el post-scriptum le mando el codigo fuente:
# (1, 1) T
# (1, 3) 1
# (1, 5) 2
# (2, 2) T
# (2, 4) 3
# (3, 3) T
# (3, 5) 4
# (4, 4) T
# (5, 5) T
# left stochastic
# (1, 3) (1, 5) (2, 4) (3, 5) T
# (1, 3) 0 0 1/4 0 0
# (1, 5) 0 0 1/4 0 0
# (2, 4) 1/2 1 0 1/2 0
# (3, 5) 0 0 1/4 0 0
# T 1/2 0 1/4 1/2 1
with(linalg);
A := matrix([[ 0, 0, 1/4, 0, 0],
[ 0, 0, 1/4, 0, 0],
[1/2, 1, 0, 1/2, 0],
[ 0, 0, 1/4, 0, 0],
[1/2, 0, 1/4, 1/2, 1]]);
u := matrix([[1/2, 0, 1/4, 1/2, 0]]);
v := transpose(matrix([[0, 1, 0, 0, 0]]));
p := n -> evalm(u &* A &^ n &* v)[1, 1];
Id := matrix([[1, 0, 0, 0, 0],
[0, 1, 0, 0, 0],
[0, 0, 1, 0, 0],
[0, 0, 0, 1, 0],
[0, 0, 0, 0, 1]]);
B := inverse(evalm(Id-z*A));
evalm(u &* B &* v); subs(z=1, %);
C :=
proc(n)
option remember;
if n=1 then
return map(q -> simplify(diff(q, z)), evalm(z*B));
fi;
map(q -> simplify(diff(q, z)), C(n-1));
end proc;
M := n -> subs(z=1, evalm(u &* C(n) &* v))[1, 1];
Marko Riedel
> "jhn...@gmail.com" <jhn...@gmail.com> writes:
>
[...]
[...]
Hola de nuevo,
una observación breve adicional: la matriz I-A no es invertible. Sin
embargo, usando I-zA se pospone la apariencia de la singularidad.
Consideremos el valor
(I + A + A^2 + A^3 + ...)[5, 5] = 1 + 1 + 1 + 1 + ...
Esta suma no converge. Sin embargo,
(I-zA)^{-1}[5, 5] = 1/(1-z),
que tiene una singularidad en z=1, asi que todo esta representado
correctamente.
Un saludo.