El regreso de la hormiga

[jhn]

Una hormiga camina por un plano de la siguiente forma: primero avanza
1cm en cualquier direccion, luego o mantiene su rumbo o gira 60º a la
izquierda o a la derecha, y avanza 1 cm, y así sucesivamente.
¿Para qué valores de n es posible que vuelva al punto de partida en
exactamente n pasos?

Saludos,

jhn

[Ignacio Larrosa Ca�estro]

jhn wrote:
> Una hormiga camina por un plano de la siguiente forma: primero avanza

> 1cm en cualquier direccion, luego o mantiene su rumbo o gira 60� a la
> izquierda o a la derecha, y avanza 1 cm, y as� sucesivamente.
> �Para qu� valores de n es posible que vuelva al punto de partida en
> exactamente n pasos?
>

Desde luego para n = 2k + 6, siendo k >= 0 entero. Basta avamzar k pasos en
una misma direcci�n, hacer un recorrido hexagonal de lado 1 y retornar al
punto inicial en otros k pasos.

Pero trambi�n n = 2k + 7. Basta recorrer k +1 pasos en una direcci�n,
avanzar cuatro pasos m�s girando siempre en el mismo sentido y otro sin
girar, volviendo a continuaci�n al punto de partida en k pasos. Es decir se
recorren k >= 0 pasos en una direccion, hasta un punto A, y a continuaci�n
se describe un pol�gono formado por un hez�gono regular al que se le ha
adosado un tri�ngulo equil�tero, ambos de lado 1, siendo A el v�rtice del
tri�ngulo que no es del hex�gono. Se retorna al punto inicial en k pasos.

Por tanto, puede hacerse en cualquier n�mero de pasos n >= 6.

--
Saludos,

Ignacio Larrosa Ca�estro
A Coru�a (Espa�a)
ilarrosaQUIT...@mundo-r.com

[Ignacio Larrosa Ca�estro]

Bueno, parece evidente que evidente que las respuestas al problema original
de la hormiga de Le�n-Sotelo hay que revisarlas.

Recoriendo una cadena lineal de hex�gonos adosados por un lado, sin recorrer
los lados comunes, se pueden hacer recorridos de longitud 4k + 2, con k >=
1. Lo que sigue sin incluir al 2008, no al 2009. Pero hay otras
posibilidades, puesto que pueden hacerse recorridos de longitud 6k.

[Ignacio Larrosa Ca�estro]

Con las reglas del problema de Le�n-Sotelo se pueden hacer recorridos de
cualquier n�mero par de pasos superior a seis. Adosando k hex�gonos de lado
1 podemos hacer recorridos de longitud 4k + 2, con k >= 1. Adosando un
segmento de longitud 1 en cualquier v�rtice, tenemos un recorrido de
longitud 4k + 2 + 2, con inicio y fin en el extremo libre del segmento
a�adido.

El n�mero de pasos creo que tiene que ser par, pero no acabo de encontrar el
argumento definitivo.

[jhn]

On 22 nov, 17:13, "Ignacio Larrosa Cañestro"
<ilarrosaQUITARMAYUSCU...@mundo-r.com> wrote:
> Ignacio Larrosa Cañestro wrote:

> > Ignacio Larrosa Cañestro wrote:
> >> jhn wrote:
> >>> Una hormiga camina por un plano de la siguiente forma: primero
> >>> avanza 1cm en cualquier direccion, luego o mantiene su rumbo o gira

> >>> 60º a la izquierda o a la derecha, y avanza 1 cm, y así
> >>> sucesivamente. ¿Para qué valores de n es posible que vuelva al punto de

> >>> partida en
> >>> exactamente n pasos?
>
> >> Desde luego para n = 2k + 6, siendo k >= 0 entero. Basta avamzar k

> >> pasos en una misma dirección, hacer un recorrido hexagonal de lado 1

> >> y retornar al punto inicial en otros k pasos.
>

> >> Pero trambién n = 2k + 7. Basta recorrer k +1 pasos en una dirección,
> >> avanzar cuatro pasos más girando siempre en el mismo sentido y otro
> >> sin girar, volviendo a continuación al punto de partida en k pasos.

> >> Es decir se recorren k >= 0 pasos en una direccion, hasta un punto A,

> >> y a continuación se describe un polígono formado por un hezágono
> >> regular al que se le ha adosado un triángulo equilátero, ambos de
> >> lado 1, siendo A el vértice del triángulo que no es del hexágono. Se

> >> retorna al punto inicial en k pasos.

> >> Por tanto, puede hacerse en cualquier número de pasos n >= 6.

>
> > Bueno, parece evidente que evidente que las respuestas al problema

> > original de la hormiga de León-Sotelo hay que revisarlas.
>
> > Recoriendo una cadena lineal de hexágonos adosados por un lado, sin

> > recorrer los lados comunes, se pueden hacer recorridos de longitud 4k
> > + 2, con k >= 1. Lo que sigue sin incluir al 2008, no al 2009. Pero hay
> > otras
> > posibilidades, puesto que pueden hacerse recorridos de longitud 6k.
>

> Con las reglas del problema de León-Sotelo se pueden hacer recorridos de
> cualquier número par de pasos superior a seis. Adosando k hexágonos de lado

> 1 podemos hacer recorridos de longitud 4k + 2, con k >= 1. Adosando un

> segmento de longitud 1 en cualquier vértice, tenemos un recorrido de

> longitud 4k + 2 + 2, con inicio y fin en el extremo libre del segmento

> añadido.
>
> El número de pasos creo que tiene que ser par, pero no acabo de encontrar el
> argumento definitivo.
>
> --
> Saludos,
>
> Ignacio Larrosa Cañestro
> A Coruña (España)
> ilarrosaQUITARMAYUSCU...@mundo-r.com

Dada una malla hexagonal regular, tomemos como "horizontal" una recta
que sea paralela a dos lados de cada hexágono de la malla. Entonces
los
vértices de la malla se pueden clasificar en "izquierdos" y
"derechos",
según que sean extremo izquierdo o derecho de un lado horizontal.
Como cualquier camino por la malla alterna vértices izquierdos y
derechos, es claro que cualquier camino cerrado debe ser de longitud
par.

Otro problemita: Probar que un camino cerrado simple tiene longitud 4k
+2.

Saludos,

José H. Nieto
http://www.jhnieto.org