Uno más de recurrencias!

[Javier Esquinas]

Este problema seguro que le va a gustar a Antonio.

Sea la sucesión x(n) tal que x(1) = 0 y x(n +1) = 5x(n) + rq(24x(n)^2
+ 1) si n >= 1.Demostrar que todos los x(n) son enteros positivos.

Saludos.

[Antonio González]

Javier Esquinas escribi�:

> Este problema seguro que le va a gustar a Antonio.
>

> Sea la sucesi�n x(n) tal que x(1) = 0 y x(n +1) = 5x(n) + rq(24x(n)^2

> + 1) si n >= 1.Demostrar que todos los x(n) son enteros positivos.
>

Consideremos las funciones de la forma

x(n) = A senh(n B+C)

estas funciones verifican

x(n+1) = A senh((n+1)B+C) = A senh(nB+C)cosh(B) + A cosh(nB+C)senh(B)

= cosh(B)x(n) + senh(B)rq(A^2+ x(n)^2)

Es claro que si hacemos

cosh(B) = 5

A = 1/rq(24)

obtenemos la recurrencia

x(n+1) = 5x(n) + rq(24)rq(1/24 + x(n)^2) = 5x(n) + rq(1+24x(n)^2)

Como adem�s debe ser x(1) = 0, hacemos C = -B y nos queda que la
soluci�n de la recurrencia es

x(n) = 1/rq(24) senh((n-1)arccosh(5))

Veamos que estos n�meros son todos enteros. Tenemos que

cosh(B) = 5 e^B = 5+rq(24) e^(-B) = 5-rq(24)

y por tanto

x(n) = 1/(2rq(24))((5+rq(24))^(n-1) - (5-rq(24))^(n-1))

pero esto es la soluci�n de una recurrencia de segundo orden cuya
ecuaci�n caracter�stica es

(p-(5+rq(24))(p-(5-rq(24)) = 0

p^2 = 10p - 1

esto es, que los x(n) verifican

x(n+1) = 10x(n-1) - x(n-2)

con

x(1) = 0

x(2) = 1/rq(24)senh(arccosh(5)) = 1

y por tanto son todos enteros.

--

Antonio

[Ignacio Larrosa Ca�estro]

"Javier Esquinas" <jesq...@renfe.es> escribi� en el mensaje
news:678e94e7-b3f2-4dfd...@k19g2000yqc.googlegroups.com...

Este problema seguro que le va a gustar a Antonio.

Sea la sucesi�n x(n) tal que x(1) = 0 y x(n +1) = 5x(n) + rq(24x(n)^2

+ 1) si n >= 1.Demostrar que todos los x(n) son enteros positivos.

===================

Ser�

(x(n+1) - 5x(n))^2 = 24x(n)^2 + 1 (solo x(n) positivos)

x(n+1)^2 - 10x(n+1)x(n) + 25x(n)^2 = 24x(n)^2 + 1

x(n+1)^2 - 10x(n+1)x(n) + x(n)^2 = 1

x(n+2)^2 - 10x(n+2)x(n+1) + x(n+1)^2 = 1

x(n+2)^2 - x(n+1)^2 -10x(n+1)(x(n+2) - x(n)) + x(n+1)^2 - x(n)^2 = 0

x(n+2)^2 -10x(n+1)(x(n+2) - x(n)) - x(n)^2 = 0

(x(n+2) - x(n))(xn+2) - 10x(n+1) + x(n)) = 0

Como x(n) es creciente, de hecho x(n+1) > 9x(n), podemos sividir por
(x(n+2) - x(n)),

x(n+2) - 10x(n+1) + x(n) = 0

x(n+2) = 10x(n+1) - x(n)

Esto unido a x(1) = 0 (===> x(2) = 1), demuestra que todos los x(n) son
enteros positivos.

--
Saludos,

Ignacio Larrosa Ca�estro
A Coru�a (Espa�a)
ilarrosaQUIT...@mundo-r.com

[Antonio González]

Antonio Gonz�lez escribi�:

> Javier Esquinas escribi�:
>> Este problema seguro que le va a gustar a Antonio.
>>
>> Sea la sucesi�n x(n) tal que x(1) = 0 y x(n +1) = 5x(n) + rq(24x(n)^2
>> + 1) si n >= 1.Demostrar que todos los x(n) son enteros positivos.
>>
>
>

> Como adem�s debe ser x(1) = 0, hacemos C = -B y nos queda que la
> soluci�n de la recurrencia es
>
> x(n) = 1/rq(24) senh((n-1)arccosh(5))
>
>

> esto es, que los x(n) verifican
>
> x(n+1) = 10x(n-1) - x(n-2)
>
> con
>
> x(1) = 0
>
> x(2) = 1/rq(24)senh(arccosh(5)) = 1
>
> y por tanto son todos enteros.
>

Es m�s, estos x(n) verifican el sistema de primer orden

x(n) = 5x(n-1) + y(n-1)

y(n) = 24x(n-1) + 5y(n-1)

x(1) = 0 y(1) = 0

y los pares (x,y) son soluciones de la ecuaci�n de Pell

y(n)^2 - 24x(n)^2 = 1

--

Antonio