Demostración de irracionalidad
Ignacio Larrosa Ca�estro
demostraci�n de irracionalidad?
Sea m un entero positivo tal que no existe otro entero positivo k, de manera
que k^n = m, con n entero positivo. Entonces, m^(1/n) es irracional.
Dem. Supongamos que m^(1/n) es racional:
m^(1/n) = a/b
con a y b enteros, tales que mcd(a, b) = 1, Entonces
m = a^n/b^n
lo que es absurdo puesto que mcd(a, b) = 1 ===> mcd(a^n, b^n) = 1, y el
cociente entre a^n y b^n nunca podr�a ser un entero.
Es mucho m�s general, y tan simple o m�s, que la que tradicionalmente se
expone para mostrar la irracionalidad de rq(2), rq(3) o la ra�z cuadrada de
cualquier otro primo.
--
Saludos,
Ignacio Larrosa Ca�estro
A Coru�a (Espa�a)
ilarrosaQUIT...@mundo-r.com
www.euroestan.com/clases.htm
<ilarrosaQUITARMAYUSCU...@mundo-r.com> wrote:
> No es ningún problema, solo una duda. ¿Tiene alguna pega la siguiente
> demostración de irracionalidad?
>
> Sea m un entero positivo tal que no existe otro entero positivo k, de manera
> que k^n = m, con n entero positivo. Entonces, m^(1/n) es irracional.
>
> Dem. Supongamos que m^(1/n) es racional:
>
> m^(1/n) = a/b
>
> con a y b enteros, tales que mcd(a, b) = 1, Entonces
>
> m = a^n/b^n
>
> lo que es absurdo puesto que mcd(a, b) = 1 ===> mcd(a^n, b^n) = 1, y el
>
> Es mucho más general, y tan simple o más, que la que tradicionalmente se
> expone para mostrar la irracionalidad de rq(2), rq(3) o la raíz cuadrada de
> cualquier otro primo.
>
> --
> Saludos,
>
> A Coruña (España)
> ilarrosaQUITARMAYUSCU...@mundo-r.com
el enunciado es correcto: la raíz n-sima de un natural o es natural o
irracional, pero la demostracion a simple vista me ofrece serias dudas
pues no has aplicado la hipotesis
o dicho de otra manera que tu demostracion valdria para probar que la
raiz cubica de 27 es irracional
www.euroestan.com/clases.htm
Mejor dicho te quedarías bloqueado,porque evidentemente no puedes
probar algo que es falso
En el ultimo paso tendrías 27/1 y esto si puede ser un entero, aún
siendo primos entre si 1 y 27
www.euroestan.com/clases.htm
Para probarlo hay que usar una propiedad muy importante de los
numeros primos: Si p es un numero primo tal que p/ab entonces p/a ó p/
b
La demostracion aplicando la anterior propiedad es una trivialidad. Si
alguien esta interesado en la prueba la escribire en un tagboard que
admite simbolos matematicos, el de la pagina:
http://euroestan.com/clases.htm
Javier Esquinas
> demostración de irracionalidad?
>
> Sea m un entero positivo tal que no existe otro entero positivo k, de manera
> que k^n = m, con n entero positivo. Entonces, m^(1/n) es irracional.
>
> Dem. Supongamos que m^(1/n) es racional:
>
> m^(1/n) = a/b
>
> con a y b enteros, tales que mcd(a, b) = 1, Entonces
>
> m = a^n/b^n
>
> lo que es absurdo puesto que mcd(a, b) = 1 ===> mcd(a^n, b^n) = 1, y el
>
> Es mucho más general, y tan simple o más, que la que tradicionalmente se
> expone para mostrar la irracionalidad de rq(2), rq(3) o la raíz cuadrada de
> cualquier otro primo.
>
> --
> Saludos,
>
A mí me gusta más la demostración utilizando el polinomio p(x) = x^n -
m.Que m^(1/n) implicaría que el polinomio tiene una raiz racional que
forzosamente debe de ser entera.Con lo que m debe de ser la potencia n-
ésima de un número natural.
Saludos.
Ignacio Larrosa Ca�estro
> On 20 oct, 00:29, "Ignacio Larrosa Ca�estro"
> <ilarrosaQUITARMAYUSCU...@mundo-r.com> wrote:
>> No es ning�n problema, solo una duda. �Tiene alguna pega la siguiente
>> demostraci�n de irracionalidad?
>>
>> Sea m un entero positivo tal que no existe otro entero positivo k,
>> de manera que k^n = m, con n entero positivo. Entonces, m^(1/n) es
>> irracional.
>>
>> Dem. Supongamos que m^(1/n) es racional:
>>
>> m^(1/n) = a/b
>>
>> con a y b enteros, tales que mcd(a, b) = 1, Entonces
>>
>> m = a^n/b^n
>>
>> lo que es absurdo puesto que mcd(a, b) = 1 ===> mcd(a^n, b^n) = 1, y
>>
>> Es mucho m�s general, y tan simple o m�s, que la que
>> tradicionalmente se expone para mostrar la irracionalidad de rq(2),
>>
>> --
>> Saludos,
>>
>> Ignacio Larrosa Ca�estro
>> A Coru�a (Espa�a)
>
> A m� me gusta m�s la demostraci�n utilizando el polinomio p(x) = x^n -
> m.Que m^(1/n) implicar�a que el polinomio tiene una raiz racional que
> forzosamente debe de ser entera.Con lo que m debe de ser la potencia
Si, es otra posibilidad interesante. La quer�a para utilizar en 1� de
Bachillerato. Tiene el inonveniente de que los alumnos no tienen muy claro
que las ra�ces racionales de un polinomio m�nico deben ser divisores del
t�rmino independiente, aunque es un buen pretexto para insistir en ello.
Pero la otra tiene el atractivo de ser puramente aritm�tica, y es bastante
m�s simple y general que la cl�sica. Claro que est� �ltima tiene el inter�s
indudable de ser muy pr�xima a lo que en su d�a se supone que hicieron los
cl�sicos.
Javier Esquinas
> >> demostración de irracionalidad?
>
> >> Sea m un entero positivo tal que no existe otro entero positivo k,
> >> de manera que k^n = m, con n entero positivo. Entonces, m^(1/n) es
> >> irracional.
>
> >> Dem. Supongamos que m^(1/n) es racional:
>
> >> m^(1/n) = a/b
>
> >> con a y b enteros, tales que mcd(a, b) = 1, Entonces
>
> >> m = a^n/b^n
>
> >> lo que es absurdo puesto que mcd(a, b) = 1 ===> mcd(a^n, b^n) = 1, y
>
> >> Es mucho más general, y tan simple o más, que la que
> >> tradicionalmente se expone para mostrar la irracionalidad de rq(2),
>
> >> --
> >> Saludos,
>> > A mí me gusta más la demostración utilizando el polinomio p(x) = x^n -
> > m.Que m^(1/n) implicaría que el polinomio tiene una raiz racional que
> > forzosamente debe de ser entera.Con lo que m debe de ser la potencia
>
> Si, es otra posibilidad interesante. La quería para utilizar en 1º de
> Bachillerato. Tiene el inonveniente de que los alumnos no tienen muy claro
> término independiente, aunque es un buen pretexto para insistir en ello.
>
> Pero la otra tiene el atractivo de ser puramente aritmética, y es bastante
> más simple y general que la clásica. Claro que está última tiene el interés
> indudable de ser muy próxima a lo que en su día se supone que hicieron los
> clásicos.
>
> --
> Saludos,
>
> Ignacio Larrosa Cañestro
> A Coruña (España)
>
> - Mostrar texto de la cita -
Si estás muy interesado Ignacio te busco una demostración puramente
aritmética que leí el otro día y que tampoco es la clásica usada para
demostrar la irracionalidad de rq(2).
Saludos.
jhn
<ilarrosaQUITARMAYUSCU...@mundo-r.com> wrote:
> No es ningún problema, solo una duda. ¿Tiene alguna pega la siguiente
> demostración de irracionalidad?
>
> Sea m un entero positivo tal que no existe otro entero positivo k, de manera
> que k^n = m, con n entero positivo. Entonces, m^(1/n) es irracional.
>
> Dem. Supongamos que m^(1/n) es racional:
>
> m^(1/n) = a/b
>
> con a y b enteros, tales que mcd(a, b) = 1, Entonces
>
> m = a^n/b^n
>
> lo que es absurdo puesto que mcd(a, b) = 1 ===> mcd(a^n, b^n) = 1, y el
>
> Es mucho más general, y tan simple o más, que la que tradicionalmente se
> expone para mostrar la irracionalidad de rq(2), rq(3) o la raíz cuadrada de
> cualquier otro primo.
>
> --
> Saludos,
>
Es correcta, sólo que en el enunciado deberías sustituir "entero
positivo" (que aparece tres veces) por "entero > 1", y tal vez al
final, después de "nunca podría ser un entero", agregar "a menos que
sea b=1, pero en ese caso m sería una potencia n-sima". La prueba es
conocida, y se remonta al menos a Lagrange. Lo que no me parece es que
sea "tan simple o más" que la prueba más común de la irracionalidad de
rq(2), pues ésta requiere conocer el teorema fundamental de la
aritmética, o al menos el lema de Euclides.
jhn
Ignacio Larrosa Ca�estro
> On 19 oct, 18:29, "Ignacio Larrosa Ca�estro"
> <ilarrosaQUITARMAYUSCU...@mundo-r.com> wrote:
>> No es ning�n problema, solo una duda. �Tiene alguna pega la siguiente
>> demostraci�n de irracionalidad?
>>
>> Sea m un entero positivo tal que no existe otro entero positivo k,
>> de manera que k^n = m, con n entero positivo. Entonces, m^(1/n) es
>> irracional.
>>
>> Dem. Supongamos que m^(1/n) es racional:
>>
>> m^(1/n) = a/b
>>
>> con a y b enteros, tales que mcd(a, b) = 1, Entonces
>>
>> m = a^n/b^n
>>
>> lo que es absurdo puesto que mcd(a, b) = 1 ===> mcd(a^n, b^n) = 1, y
>>
>> Es mucho m�s general, y tan simple o m�s, que la que
>> tradicionalmente se expone para mostrar la irracionalidad de rq(2),
>>
>> --
>> Saludos,
>>
>> Ignacio Larrosa Ca�estro
>> A Coru�a (Espa�a)
>
> Es correcta, s�lo que en el enunciado deber�as sustituir "entero
> positivo" (que aparece tres veces) por "entero > 1",
Desde luego ...
> y tal vez al
> final, despu�s de "nunca podr�a ser un entero", agregar "a menos que
> sea b=1, pero en ese caso m ser�a una potencia n-sima".
Esto creo que queda cubierto al decir que m no es una potencia n-sima en el
enunciado. Para que quede m�s claro, podr�a decirse
"con a y b enteros, tales que mcd(a, b) = 1 y b > 1"
> La prueba es
> conocida, y se remonta al menos a Lagrange.
En esencia es lo mismo que dec�a Javier con el polinomio x^n - m = 0
> Lo que no me parece es que
> sea "tan simple o m�s" que la prueba m�s com�n de la irracionalidad de
> rq(2), pues �sta requiere conocer el teorema fundamental de la
> aritm�tica, o al menos el lema de Euclides.
Si, lo que pasa es que lo de simple significa cosas distintas en contextos
distintos. Para alumnos de 1� de Bachillerato, si tiene menos pasos es "m�s
simple". Y lo que es indudable es que es bastante m�s general.
Gracias a ambos por los comentarios.
www.euroestan.com/clases.htm
La irracionalidad de raiz de 2 ocupa 2 lineas
supongamos que m^2/n^2 =2 de aqui se sigue que m^2=2n^2 y esto es
imposible porque el exponente del primo 2 en la izquierda es par y el
de la derecha impar y esto está en contradicion con la factorizacion
unica(Z es un D.F.U)
Julian
En mi opinión, la prueba de irracionalidad de rq(2) se simplifica
mucho si se usa la siguiente observación, que no necesita de la
unicidad de descomposición en factores primos: si n^2 es par, entonces
n también es par (o lo que es lo mismo, si n es impar, entonces n^2 es
impar). Y se puede empezar la demostración con : supongamos 2=(m/n)^2
con m y n enteros que no son los dos pares, ni siquiera haciendo
mención a que sean primos entre sí.
Julián
www.euroestan.com/clases.htm
En la demostracion anterior no impongo que m y n cumplan alguna
propiedad, o sea que demostracion mas corta, imposible
aunque en realidad los racionales son un conjunto cociente, es decir
tendriamos que ver si m^2/n^2 puede ser equivalente a 2a/a para algun
a distinto de 0 de Z
Es decir ver si am^2= 2an^2 Pero la a se puede cancelar por ser
distinta de 0 y queda lo que puse en la anterior demostracion m^2=
2n^2
www.euroestan.com/clases.htm
Rectifico, basta con ver si para algun m/n m^2/n^2 es equivalente a:
2/1
pues si nunca m^2/n^2 es equivalente a 2/1 no lo sera tampoco a 2a/a
(esto es por la transitividad)
Lo que he querido dar a entender es que en cojuntos cocientes las
demostraciones tienen que ser mas minuciosas
Antonio González
> No es ningún problema, solo una duda. ¿Tiene alguna pega la siguiente
> demostración de irracionalidad?
>
> Sea m un entero positivo tal que no existe otro entero positivo k, de manera
> que k^n = m, con n entero positivo. Entonces, m^(1/n) es irracional.
>
> Dem. Supongamos que m^(1/n) es racional:
>
> m^(1/n) = a/b
>
> con a y b enteros, tales que mcd(a, b) = 1, Entonces
>
> m = a^n/b^n
>
> lo que es absurdo puesto que mcd(a, b) = 1 ===> mcd(a^n, b^n) = 1, y el
>
> Es mucho más general, y tan simple o más, que la que tradicionalmente se
> expone para mostrar la irracionalidad de rq(2), rq(3) o la raíz cuadrada de
> cualquier otro primo.
>
>
Recupero esto, porque he leído recientemente en el libro de Conway "The
Book of Numbers" otra prueba de la irracionalidad de rq(2), que igual
vale para Bachillerato.
Se basa simplemente en doblar una hoja de papel.
Supongamos que rq(2) fuera un número racional irreducible. Por ejemplo,
41/29, que se le aproxima mucho.
Recortamos entonces un cuadrado de papel de lado 29 unidades, cuya
diagonal valdrá, por hipótesis, 41 unidades.
Sea ABCD el cuadrado y AC una diagonal. Doblamos el papel por B hasta
hacer coincidir el lado AB con la diagonal AC. Sea E el punto de la
diagonal al que va a parar B, y F el punto del lado BC en el que se
produce el doblez.
Tenemos que el pliegue forma una escuadra de catetos FE y EC, de la
misma longitud, e hipotenusa FC.
Por otro lado, por ser trozos de borde correspondientes, se tiene que BF
= FE.
El cateto EC mide la diagonal menos el lado: 41-29 = 12, mientras que la
hipotenusa mide BC - BF = 29 - 12 = 17
pero eso quiere decir que rq(2) = 17/12, que es una fracción con menor
numerador y denominador que la anterior.
Repitiendo el proceso con un cuadrado de lado 12 obtenemos que rq(2) =
7/5 y con uno de lado 5 llegamos a rq(2) = 3/2 y de aquí a rq(2) = 1, lo
cual es absurdo.
Más en general, se supone que
rq(2) = p/q
y por la construcción anterior se llega a que
rq(2) = (2q-p) /(p-q)
y con este descenso se llega a un absurdo.
--
Antonio