Pi
----
2
/
| 1
| ----------- dx
| 2
/ 1 + sin(x)
0
Puede solucionarse por métodos de variable compleja. Hay otros?
Se pide algo más que el valor.
Un saludo.
--
+-------------------------------------------------------------+
| Marko Riedel, EDV Neue Arbeit gGmbH, markor...@yahoo.de |
| http://www.geocities.com/markoriedelde/index.html |
+-------------------------------------------------------------+
tg(x) = t ===> dt = (1 + t^2) dx
1/sen^2(x) = 1 +1/ t^2 ===> 1 + sen^2(x) = (1 + 2t^2)/(1 + t^2)
I(x) = Int(1/(1 + sen^2(x), x) = Int(((1 + t^2)/(1 + 2t^2))(1/(1 + t^2)), t)
= Int(1/(1 + 2t^2), t) = (1/rq(2))arctg(rq(2)t) + C
(1/rq(2))arctg(rq(2)tg(x)) + C
I(pi/2) - I(0) = rq(2)pi/4 - 0
Bien es verdad, que el valor para I(pi/2) lo he calculado como el límite de
I(x) cuando x ---> pi/2 ...
--
Saludos,
Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUIT...@mundo-r.com
Consideramos el camino "gamma" : [ 0,2*Pi ] ----> C
x ------>
gamma(x) = e^(ix) = z
es decir, la circunferencia de radio unidad centrada en el origen.
Y la orientamos positivamente ( en sentido contrario a las agujas del
reloj )
Con esta parametrización, sen(x) = (z^2 - 1)/2iz , dx = dz / iz
Luego,
Int( 1/(sen(x))^2, x = 0..Pi/2 ) = (1/4) Int( 1/(sen(x))^2, x = 0..2Pi ) =
= (1/4) Int ( 1 / ( 1 + [(z^2 - 1)/2iz]^2 ) (dz/iz) , sobre gamma ) =
= ( 1/ i ) Int ( z / ( 6z^2 - z^4 -1 ) dz, sobre gamma )
6z^2 - z^4 -1 = - (z+1-sqrt(2))(z+1+sqrt(2) )(z-1-sqrt(2))(z-1+sqrt(2) )
y las únicas raíces que están dentro de "gamma" son -1+sqrt(2) y 1-sqrt(2).
Los residuos de f(z) = z /( 6z^2 - z^4 -1) en ambos polos simples
valen -sqrt(2)/16.
Finalmente, por el Teorema de los residuos :
( 1/ i ) Int ( z / ( 6z^2 - z^4 -1 ) dz, sobre gamma ) =
= (-1/i)(2Pi*i)(-2sqrt(2)/16) = sqrt(2)Pi/4.
Saludos,
"Marko Riedel" <markor...@yahoo.de> escribió en el mensaje
news:m3zlvdt...@professional.local...
Por poner métodos, puede hacerse por un desarrollo en serie.
Como sen(x) <=1
I = sum_n (-1)^n int_0^(pi/2) sen(x)^(2n) dx
Y ahora tenemos que
int_0^(pi/2) sen(x)^(2n) dx = (pi/2) C(2n,n)/4^n (#1)
por lo que
I = (pi/2) sum_n C(2n,n)(-1/4)^n
La función generatriz de los coeficientes binomiales centrales es
F(x) = sum_n C(2n,n) x^n = 1/rq(1-4x)
(como alguna vez hemos demostrado por aquí). Por tanto
I = (pi/2) 1/(rq(1-4(-1/4)) = rq(2)pi/4
Nota: El único problema es demostrar (#1). Podemos hacerlo por inducción
Sea
J(n) = int_0^(pi/2) sen(x)^(2n) dx
J(0) = pi/2
Podemos transformarla en
J(n) = int sen(x)^(2(n-1)) dx - int sen(x)^(2(n-1)) cos(x)^2 dx =
= J(n-1) - int sen(x)^(2n-1) cos(x)^2 dx
Esta última la hacemos por partes
u = cos(x) du = -sen(x) dx
dv = sen(x)^(2(n-1)) cos(x) dx v = sen(x)^(2n-1)/(2n-1)
J(n) = J(n-1) + sen(x)^(2n-1)cos(x)/(2n-1) - int sen(x)^(2n)/(2n-1)dx =
= J(n-1) - J(n)/(2n-1) (n!=0)
De donde llegamos a la recurrencia
J(n) = (2n-1)/(2n)J(n-1) J(0) = pi/2
y de aquí es inmediato llegar a (#1) usando los semifactoriales y los
factoriales, como indicaba Javier el otro día.
--
Antonio
> Pues vamos ahora con la variable compleja :
>
> Consideramos el camino "gamma" : [ 0,2*Pi ] ----> C
> x ------>
> gamma(x) = e^(ix) = z
>
> es decir, la circunferencia de radio unidad centrada en el origen.
> Y la orientamos positivamente ( en sentido contrario a las agujas del
> reloj )
>
> Con esta parametrización, sen(x) = (z^2 - 1)/2iz , dx = dz / iz
>
> Luego,
>
> Int( 1/(sen(x))^2, x = 0..Pi/2 ) = (1/4) Int( 1/(sen(x))^2, x = 0..2Pi ) =
>
Hola de nuevo,
esto es lo que tenía en mente. Quedan algunos pequeños errores en la primera
línea. Muy bonito.
> Hallar
>
> Pi
> ----
> 2
> /
> | 1
> | ----------- dx
> | 2
> / 1 + sin(x)
> 0
>
> Puede solucionarse por métodos de variable compleja. Hay otros?
>
Muy bonito tambien lo de Antonio y de Ignacio. Hablando de métodos diferentes
para solucionar un mismo problema, les aconsejo el trabajo de Robin Chapman
sobre el llamado problema de Basel (hallar sum_{n>=1} 1/n^2), del que propone
catorce soluciones diferentes.
El vínculo es éste: http://en.wikipedia.org/wiki/Basel_problem (sección
"Enlaces externos").
Int( 1/(1 + sen(x)^2), x = 0..Pi/2 ) =
(1/4) Int( 1/(1 + sen(x)^2), x = 0..2Pi ).
Pues tienes toda la razón del Mundo.
Haciendo el cambio de variable t = 4x, queda :
Int( 1/(1 + sen(x)^2), x = 0..Pi/2 ) = (1/4) Int( 1/(1 + (sen(t/4))^2), x =
0..2Pi ).
Ahora consideramos la parametrización gamma : [0,2Pi] ---> C
s -----> gamma(s) = e^(it/4) = z
Luego, sen(t/4) = (z^2 - 1)/2iz y dz = (i/4)zdt
Así que
Int( 1/(1 + (sen(t/4))^2), x = 0..2Pi ) = (16/i)Int( z / (6z^2-z^4-1), sobre
gamma )
Los únicos polos de f(z) = z / (6z^2-z^4-1) en el interior de gamma son
1-sqrt(2) y sqrt(2)-1 y Res(f(z);1-sqrt(2) ) = Res(f(z); sqrt(2)-1) =
sqrt(2)/16
Luego,
Int( 1/(1 + sen(x)^2), x = 0..Pi/2 ) = (1/4) Int( 1/(1 + (sen(t/4))^2), x =
0..2Pi ) =
= (1/4)*(16/i)*2*Pi*i*(2sqrt(2)/16) = Pi*sqrt(2)
Todo muy bonito, lo que pasa es que ahora no me da el resultado correcto,
que es Pi*sqrt(2) / 4. ¿ Dónde está el fallo ahora, Marko ?
Esta integral tuya me está volviendo loco....
Saludos,