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sin límites ni cotas

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Marko Riedel

unread,
Jan 10, 2008, 6:41:54 PM1/10/08
to

Hallar

Pi
----
2
/
| 1
| ----------- dx
| 2
/ 1 + sin(x)
0

Puede solucionarse por métodos de variable compleja. Hay otros?

Se pide algo más que el valor.

Un saludo.

--
+-------------------------------------------------------------+
| Marko Riedel, EDV Neue Arbeit gGmbH, markor...@yahoo.de |
| http://www.geocities.com/markoriedelde/index.html |
+-------------------------------------------------------------+

Ignacio Larrosa Cañestro

unread,
Jan 10, 2008, 8:35:06 PM1/10/08
to
Marko Riedel wrote:
> Hallar
>
> Pi
> ----
> 2
> /
> | 1
> | ----------- dx
> | 2
> / 1 + sin(x)
> 0
>
> Puede solucionarse por métodos de variable compleja. Hay otros?
>
> Se pide algo más que el valor.
>
> Un saludo.
>
Podemos simplemente hallar una primitiva y aplicar la regla de Barrow. Como
el integrando no cambia al cambiar sen(x) con -sen(x) y cos(x) con -cos(x),
podemos hacer el cambio

tg(x) = t ===> dt = (1 + t^2) dx

1/sen^2(x) = 1 +1/ t^2 ===> 1 + sen^2(x) = (1 + 2t^2)/(1 + t^2)

I(x) = Int(1/(1 + sen^2(x), x) = Int(((1 + t^2)/(1 + 2t^2))(1/(1 + t^2)), t)

= Int(1/(1 + 2t^2), t) = (1/rq(2))arctg(rq(2)t) + C

(1/rq(2))arctg(rq(2)tg(x)) + C

I(pi/2) - I(0) = rq(2)pi/4 - 0

Bien es verdad, que el valor para I(pi/2) lo he calculado como el límite de
I(x) cuando x ---> pi/2 ...


--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUIT...@mundo-r.com


Luis

unread,
Jan 10, 2008, 9:50:27 PM1/10/08
to
Pues vamos ahora con la variable compleja :

Consideramos el camino "gamma" : [ 0,2*Pi ] ----> C
x ------>
gamma(x) = e^(ix) = z

es decir, la circunferencia de radio unidad centrada en el origen.
Y la orientamos positivamente ( en sentido contrario a las agujas del
reloj )

Con esta parametrización, sen(x) = (z^2 - 1)/2iz , dx = dz / iz

Luego,

Int( 1/(sen(x))^2, x = 0..Pi/2 ) = (1/4) Int( 1/(sen(x))^2, x = 0..2Pi ) =

= (1/4) Int ( 1 / ( 1 + [(z^2 - 1)/2iz]^2 ) (dz/iz) , sobre gamma ) =

= ( 1/ i ) Int ( z / ( 6z^2 - z^4 -1 ) dz, sobre gamma )


6z^2 - z^4 -1 = - (z+1-sqrt(2))(z+1+sqrt(2) )(z-1-sqrt(2))(z-1+sqrt(2) )

y las únicas raíces que están dentro de "gamma" son -1+sqrt(2) y 1-sqrt(2).

Los residuos de f(z) = z /( 6z^2 - z^4 -1) en ambos polos simples
valen -sqrt(2)/16.

Finalmente, por el Teorema de los residuos :

( 1/ i ) Int ( z / ( 6z^2 - z^4 -1 ) dz, sobre gamma ) =

= (-1/i)(2Pi*i)(-2sqrt(2)/16) = sqrt(2)Pi/4.

Saludos,


"Marko Riedel" <markor...@yahoo.de> escribió en el mensaje
news:m3zlvdt...@professional.local...

Antonio González

unread,
Jan 11, 2008, 3:46:01 AM1/11/08
to
Marko Riedel escribió:

> Hallar
>
> Pi
> ----
> 2
> /
> | 1
> | ----------- dx
> | 2
> / 1 + sin(x)
> 0
>
> Puede solucionarse por métodos de variable compleja. Hay otros?
>
> Se pide algo más que el valor.
>

Por poner métodos, puede hacerse por un desarrollo en serie.

Como sen(x) <=1

I = sum_n (-1)^n int_0^(pi/2) sen(x)^(2n) dx

Y ahora tenemos que

int_0^(pi/2) sen(x)^(2n) dx = (pi/2) C(2n,n)/4^n (#1)

por lo que

I = (pi/2) sum_n C(2n,n)(-1/4)^n

La función generatriz de los coeficientes binomiales centrales es

F(x) = sum_n C(2n,n) x^n = 1/rq(1-4x)

(como alguna vez hemos demostrado por aquí). Por tanto

I = (pi/2) 1/(rq(1-4(-1/4)) = rq(2)pi/4

Nota: El único problema es demostrar (#1). Podemos hacerlo por inducción

Sea

J(n) = int_0^(pi/2) sen(x)^(2n) dx

J(0) = pi/2

Podemos transformarla en

J(n) = int sen(x)^(2(n-1)) dx - int sen(x)^(2(n-1)) cos(x)^2 dx =

= J(n-1) - int sen(x)^(2n-1) cos(x)^2 dx

Esta última la hacemos por partes

u = cos(x) du = -sen(x) dx

dv = sen(x)^(2(n-1)) cos(x) dx v = sen(x)^(2n-1)/(2n-1)


J(n) = J(n-1) + sen(x)^(2n-1)cos(x)/(2n-1) - int sen(x)^(2n)/(2n-1)dx =

= J(n-1) - J(n)/(2n-1) (n!=0)

De donde llegamos a la recurrencia

J(n) = (2n-1)/(2n)J(n-1) J(0) = pi/2

y de aquí es inmediato llegar a (#1) usando los semifactoriales y los
factoriales, como indicaba Javier el otro día.

--

Antonio

Marko Riedel

unread,
Jan 11, 2008, 5:02:47 PM1/11/08
to
"Luis" <la...@hotmail.com> writes:

> Pues vamos ahora con la variable compleja :
>
> Consideramos el camino "gamma" : [ 0,2*Pi ] ----> C
> x ------>
> gamma(x) = e^(ix) = z
>
> es decir, la circunferencia de radio unidad centrada en el origen.
> Y la orientamos positivamente ( en sentido contrario a las agujas del
> reloj )
>
> Con esta parametrización, sen(x) = (z^2 - 1)/2iz , dx = dz / iz
>
> Luego,
>
> Int( 1/(sen(x))^2, x = 0..Pi/2 ) = (1/4) Int( 1/(sen(x))^2, x = 0..2Pi ) =
>

Hola de nuevo,

esto es lo que tenía en mente. Quedan algunos pequeños errores en la primera
línea. Muy bonito.

Marko Riedel

unread,
Jan 11, 2008, 5:16:51 PM1/11/08
to
Marko Riedel <markor...@yahoo.de> writes:

> Hallar
>
> Pi
> ----
> 2
> /
> | 1
> | ----------- dx
> | 2
> / 1 + sin(x)
> 0
>
> Puede solucionarse por métodos de variable compleja. Hay otros?
>

Muy bonito tambien lo de Antonio y de Ignacio. Hablando de métodos diferentes
para solucionar un mismo problema, les aconsejo el trabajo de Robin Chapman
sobre el llamado problema de Basel (hallar sum_{n>=1} 1/n^2), del que propone
catorce soluciones diferentes.

El vínculo es éste: http://en.wikipedia.org/wiki/Basel_problem (sección
"Enlaces externos").

Luis

unread,
Jan 11, 2008, 7:05:39 PM1/11/08
to

>> Pues vamos ahora con la variable compleja :
>>
>> Consideramos el camino "gamma" : [ 0,2*Pi ] ----> C
>> x ------>
>> gamma(x) = e^(ix) = z
>>
>> es decir, la circunferencia de radio unidad centrada en el origen.
>> Y la orientamos positivamente ( en sentido contrario a las agujas del
>> reloj )
>>
>> Con esta parametrización, sen(x) = (z^2 - 1)/2iz , dx = dz / iz
>>
>> Luego,
>>
>> Int( 1/(sen(x))^2, x = 0..Pi/2 ) = (1/4) Int( 1/(sen(x))^2, x = 0..2Pi )
>> =
>>
>
> Hola de nuevo,
>
> esto es lo que tenía en mente. Quedan algunos pequeños errores en la
> primera
> línea. Muy bonito.
>
> Un saludo.
>
¿ A qué errores te refieres, Marko ?


Marko Riedel

unread,
Jan 12, 2008, 6:41:04 PM1/12/08
to
"Luis" <la...@hotmail.com> writes:

Int( 1/(1 + sen(x)^2), x = 0..Pi/2 ) =
(1/4) Int( 1/(1 + sen(x)^2), x = 0..2Pi ).

Luis

unread,
Jan 12, 2008, 9:58:33 PM1/12/08
to
>> ¿ A qué errores te refieres, Marko ?
>>
>>
>
> Int( 1/(1 + sen(x)^2), x = 0..Pi/2 ) =
> (1/4) Int( 1/(1 + sen(x)^2), x = 0..2Pi ).
>
> --
> +-------------------------------------------------------------+
> | Marko Riedel, EDV Neue Arbeit gGmbH, markor...@yahoo.de |
> | http://www.geocities.com/markoriedelde/index.html |
> +-------------------------------------------------------------+


Pues tienes toda la razón del Mundo.

Haciendo el cambio de variable t = 4x, queda :

Int( 1/(1 + sen(x)^2), x = 0..Pi/2 ) = (1/4) Int( 1/(1 + (sen(t/4))^2), x =
0..2Pi ).

Ahora consideramos la parametrización gamma : [0,2Pi] ---> C

s -----> gamma(s) = e^(it/4) = z

Luego, sen(t/4) = (z^2 - 1)/2iz y dz = (i/4)zdt

Así que

Int( 1/(1 + (sen(t/4))^2), x = 0..2Pi ) = (16/i)Int( z / (6z^2-z^4-1), sobre
gamma )


Los únicos polos de f(z) = z / (6z^2-z^4-1) en el interior de gamma son
1-sqrt(2) y sqrt(2)-1 y Res(f(z);1-sqrt(2) ) = Res(f(z); sqrt(2)-1) =
sqrt(2)/16


Luego,

Int( 1/(1 + sen(x)^2), x = 0..Pi/2 ) = (1/4) Int( 1/(1 + (sen(t/4))^2), x =
0..2Pi ) =

= (1/4)*(16/i)*2*Pi*i*(2sqrt(2)/16) = Pi*sqrt(2)

Todo muy bonito, lo que pasa es que ahora no me da el resultado correcto,
que es Pi*sqrt(2) / 4. ¿ Dónde está el fallo ahora, Marko ?

Esta integral tuya me está volviendo loco....

Saludos,


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