Supuesto polinómico
Leon-Sotelo.
todo x real para los que estan definidos ambos lados de la
ecuación.Encontrar P(-1).
Saludos.
León-Sotelo.
Antonio Gonzalez
> Sea P(x) un polinómio tal que P(1)=1 y P(2x)/P(x+1)=8-(56/(x+7))para
> todo x real para los que estan definidos ambos lados de la
> ecuación.Encontrar P(-1).
>
A ver, esto me parece que es matar moscas a cañonazos, pero es
lo primero que se me ocurre:
La igualdad es qeuivalente a
(x+7) P(2x) = 8x P(x+1)
o, lo que es lo mismo
(x-1 + 8) P(2(x-1)+2) = 8((x-1)+1) P(x-1+2)
haciendo s = x-1 y Q(s) = P(s+2) queda
(s+8) Q(2s) = 8(1+s) Q(s)
con Q(s) un polinómio, que verifica Q(-1) = 1. Se trata de
hallar Q(-3).
Q(s) admite el desarrollo
Q(s) = sum_1^N q_n s^n
sustituyendo queda
(s+8) sum_1^N q_n 2^n s^n = (8+8s) sum_1^N q_n s^n
Igualando potencias del mismo grado queda
q_n 2^n +8·2^(n+1) q_(n+1) = 8 q_(n+1) + 8 q_n
lo que nos da la relación de recurrencia
q_(n+1) = q_n (8 - 2^n)/8(2^(n+1)-1)
Si q_0 =/= 0 vemos que q_1, q_2 y q_3 son distintos de
cero, pero q_4 y todos los siguientes son nulos. Por tanto,
se trata de un polinomio de tercer grado cuyos coeficientes
verifican
q_1 = 7 q_0/8
q_2 = (7q_0/8)(6/24) = 7q_0/32
q_3 = (7q_0/32)(4/56) = q0/64
q_4 = 0
q_n = 0 n > 4
El polinomio es entonces
Q(s) = q0 + (7q_0/8) s + (7q_0/32) s^2 + (q0/64) s^3
El valor de q0 lo sacamos de que Q(-1) = 1
1 = q0 (1-7/8 + 7/32 -1/64) = 21 q0/64
con lo que q0 = 64/21, y
Q(s) = (64 + 56 s + 14 s^2 + s^3)/21 = (8+s)(4+2)(2+s)/21
Sustituyendo ahora s = -3 queda
P(-1) = Q(-3) = -5/21
Saludos
Antonio
Ignacio Larrosa Cañestro
"Antonio Gonzalez" <gonfer...@esi.us.es> escribió en el mensaje
news:bfiq1c$f7ca0$1...@ID-39038.news.uni-berlin.de...
> Leon-Sotelo. wrote:
> > Sea P(x) un polinómio tal que P(1)=1 y P(2x)/P(x+1)=8-(56/(x+7))para
> > todo x real para los que estan definidos ambos lados de la
> > ecuación.Encontrar P(-1).
> >
>
> A ver, esto me parece que es matar moscas a cañonazos, pero es
> lo primero que se me ocurre:
Yo creo que si. Esto es un poco más simple:
Escribiendo la condición como:
(x + 7)P(2x) = 8xP(x + 1) (#1)
y sustituyendo
x = 0 ==> P(0) = 0 (puesto que P(1) = 1 =/= 0)
x = -1 ==> P(-2) = 0
x = -3 ==> P(-6) = 0
Luego P(x) = x(x + 2)(x + 6)Q(x)
Por otro lado, si el coeficiente del término de mayor grado de P(x) es a
(=/= 0 claro), y este grado es n, comparando los términos de mayor grado en
#1, tenemos
a*2^n*x^(n+1) = 8*a*x^(n+1) ==> 2^n = 8 ==> n = 3 ==> Q(x) = a
P(x) = a*x(x + 2)(x + 6)
Como p(1) = 1,
1 = a*21 ==> a = 1/21 ==> P(x) = x(x + 2)(x + 6)/21 ==> P(-1) = -5/21
Por cierto, con el 'QuoteFix' activado veía la ecuación como
P(2x)"P(x+1)=8-(56"(x+7))
sin las comillas y con lo que esta entre ellas en cursiva ... Con lo que
resultaba incomprensible. Antonio, ¿tiene remedio?
--
Saludos,
Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUIT...@mundo-r.com
Antonio Gonzalez
>
> sin las comillas y con lo que esta entre ellas en cursiva ... Con lo
> que resultaba incomprensible. Antonio, ¿tiene remedio?
Sí. Pinchas en el iconillo que está junto al reloj (uno como el del OE
pero con las flechas en negro), y eliges "Show dialog". Ahora te
aparecen una serie de opciones. Una es "Font styles". Si la
desactivas, ya aparece todo como estaba en el mensaje original.
De todas formas, hay veces que conviene mantener los estilos de
fuentes, para que convierta *esto* en negrita. En ese caso, después
de desactivarlo, vuelves a activar "Font styles" y ahora te pregunta
si quieres que deje los símbolos originales (las / y los *). Le
dices que sí y ya está.
Antonio
Ignacio Larrosa Cañestro
¡Perfecto! Muchas gracias ...
Antonio Gonzalez
> "Antonio Gonzalez" <gonfer...@esi.us.es> escribió en el mensaje
> news:bfiq1c$f7ca0$1...@ID-39038.news.uni-berlin.de...
>> Leon-Sotelo. wrote:
>>> Sea P(x) un polinómio tal que P(1)=1 y P(2x)/P(x+1)=8-(56/(x+7))para
>>> todo x real para los que estan definidos ambos lados de la
>>> ecuación.Encontrar P(-1).
>>>
>>
>> A ver, esto me parece que es matar moscas a cañonazos, pero es
>> lo primero que se me ocurre:
>
> Yo creo que si. Esto es un poco más simple:
>
> Escribiendo la condición como:
>
> (x + 7)P(2x) = 8xP(x + 1) (#1)
>
> y sustituyendo
>
> x = 0 ==> P(0) = 0 (puesto que P(1) = 1 =/= 0)
>
> x = -1 ==> P(-2) = 0
>
> x = -3 ==> P(-6) = 0
>
> Luego P(x) = x(x + 2)(x + 6)Q(x)
>
Otra forma de hallar Q(x) aquí es sustituir y queda
(x+7)2x(2x+2)(2x+6)Q(2x) = 8x (x+1)(x+3)(x+7)Q(x+1)
simplificando
Q(2x) = Q(x+1)
para todo x, lo que implica que Q(x) es constante. Luego
ya se puede seguir igual.
Antonio
Antonio González
"Antonio Gonzalez" <gonfer...@esi.us.es> escribió en el mensaje
news:bfiq1c$f7ca0$1...@ID-39038.news.uni-berlin.de...
> > Sea P(x) un polinómio tal que P(1)=1 y P(2x)/P(x+1)=8-(56/(x+7))para
> > todo x real para los que estan definidos ambos lados de la
> > ecuación.Encontrar P(-1).
> >
>
> A ver, esto me parece que es matar moscas a cañonazos, pero es
> lo primero que se me ocurre:
>
Una forma aun más extravagante de hacer este problema.
La relación definitoria del polinomio puede escribirse como
P(2x) = 8x/(x+7) P(x+1)
o, lo que es lo mismo
P(x) = 8x/(x+14) P(1 + x/2)
supongamos que queremos hallar el valor de P(x_0), sustituyendo
resulta que precisamos conocer el valor de P(x) en
x_1 = 1 + x_0/2
y para P(x_1) el de un x_2, para este el de un x_3, etc. formando
una sucesión de puntos definida por
x_(n+1) = 1 + x_n/2
La solución de esta ecuación en diferencias es
x_n = 2 + (x_0-2)*2^(-n)
que tiende a x_oo = 2, el cual es un punto fijo de la relación
definitoria del polinomio. Esto quiere decir que
P(x_0) = ((8 x_0)/(x_0+14))(8x_1/(x_1+14)) .... P(2)
Sustituyendo los valores de x_n debemos hallar el productorio
S = Prod_0^oo 8(2 + (x_0-2)*2^(-n)/(16 + (x_0-2)*2^(-n)
dividiendo arriba y abajo por 16 queda
S = Prod_0^oo (1 + (x_0-2)*2^(-n-1)/(1 + (x_0-2)*2^(-n-4))
ahora bien, en este producto el denominador correspondiente a
n se cancela con el numerador de n+3, lo que deja solamente los
tres primeros factores
S = (1 + (x_0-2)/2)(1 + (x_0-2)/4)(1 + (x_0-2)/8) =
= x_0(x_0+2)(x_0+6)/64
por lo que
P(x) = x(x+2)(x+6)P(2)/64
P(2) lo sacamos del valor de P(1)
1 = 1·3·7 P(2)/64 --> P(2) = 64/21
y ´
P(x) = x(x+2)(x+6)/21
que es, curiosamente, el resultado que ya conocíamos :-)
Antonio