Distancia media entre los puntos de un cuadrado
Ignacio Larrosa Cañestro
el mensaje de noticias
81pl29$a0g$1...@diana.bcn.ttd.net...
> ¿Cual es la distáncia media entre dos puntos escogidos aleatoriamente
dentro
> de un cuadrado de lado uno?
El problema puede resolverse mediante la integral cuádruple de la distancia
entre dos puntos del cuadrado:
dm=Int(Int(Int(Int(Sqrt((x-a)^2+(y-b)^2),x,0,1),y,0,1),a,0,1),b,0,1)
Pero estas integrales son bastante más complicadas de lo que pueda parecer.
Entre DERIVE y yo, conseguimos realizar 3 de las cuatro integraciones,
quedando la monstruosidad:
dm=INT(LN((Sqrt(x^2 + 1) + x)·(Sqrt(x^2 - 2·x + 2) - x + 1))/12 +
x^3·LN((Sqrt(x^2 + 1) + 1)/x)/3 + (x - 1)^3·LN(Sqrt(x^2 - 2·x + 2) - 1)/3 -
(x^3 - 3·x^2 + 3·x - 1)·LN(1 - x)/3 + Sqrt(x^2 - 2·x + 2)·(2·x^3 - 6·x^2 +
3·x + 1)/12 - x·Sqrt(x^2 + 1)·(2·x^2 - 3)/12 + x^4/3 - 2·x^3/3 + x^2 - 2·x/3
+ 1/6, x, 0, 1)
que ya no conseguimos integrar analíticamente.
Integrando numéricamente esta expresión, obtuve dm=0.521405433164719..,
valor compatible con LN(1 + Sqrt(2))/3 + (2 +
Sqrt(2))/15~=0.52140543316472067833...,
que fue la solución apuntada por QTQ en un mensaje posterior, en el que
prometía publicar posteriormente la forma de obtenerla con un ingenioso
razonamiento o algo así ...
¿Te animas a contarnoslo, QTQ?
Un saludo,
Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilar...@lander.es
QTQ
Ignacio Larrosa Cañestro escribió en mensaje
<83h58t$dil$1...@diana.bcn.ttd.net>...
Hola que tal.
A continuación va el desarrollo para llegar al resultado de marras. Debo
advertir que no soy matemático y que, por tanto, no domino el lenguage
matemático y es posible que algunos pasos dejen que desear en lo que a
formalidad se refiere... Dado que, al parecer, el resultado teórico coincide
con el resultado calculado numéricamente, es de suponer que es esencialmente
correcto (almenos lo es la idea en que se basa).
Tampoco ayuda mucho el no poder hacer dibujitos, pero bueno... Espero que
esto sea calificable como "ingenioso razonamiento" o al menos como "algo
así" :)
Primero de todo voy a establecer las siguientes igualdades, que no he
demostrado y en las que me baso para hacer todo el desarrollo...
(1)
Sea S una superfície cualquiera y d la distancia media entre dos puntos
escogidos aleatoriamente dentro de S. Si dividimos S arbitrariamente en dos
partes S1 i S2, se da que:
S^2·d = S1^2·d11 + S2^2·d22 + 2·S1·S2·d12
... dónde dij es el promedio de las distancias entre un punto escogido
aleatoriamente de Si y otro de Sj.
(2)
Sea S una superfície cualquiera y d la distancia media entre dos puntos
escogidos aleatoriamente dentro de S. Si S’ es una figura semejante a S con
una relación de proporcionalidad a (por tanto, S’=a^2·S), entonces d’=a·d,
dónde d’ es la distancia media entre dos puntos escogidos aleatoriamente
dentro de S’.
Establecidas estas igualdades, que me he sacado impunemente de la manga,
pasamos a atacar el problema.
Llamaré dA a la solución del problema del cuadrado. Dividiré el cuadrado en
cuatro partes, cortándolo con dos segmentos perpendiculares cada uno de
ellos paralelo a dos de los lados (sin poder dibujar, esto es muy jodido de
contar). Cada uno de estos segmentos está a una distancia h a uno de los
lados. Con ello las partes que obtengo del cuadrado son:
*) Un cuadrado de lado h (C1)
*) Un cuadrado de lado 1-h (C2)
*) Dos rectángulos de lados h y 1-h (R1 y R2)
Si aplico (1), obtengo una expresión larguísima de dA en función de las
distáncias medias de las cuatro figuras obtenidas y sus superfícies. En esta
expresión, hago tender la h a cero y me quedo con el infinitésimo de primer
órden. El resultado que obtengo es el siguiente:
dA=(1-4h)dC2 + 2·h·dC2R1 + 2·h·dC2R2
La distancia media C2-R1 y C2-R2 será la misma, por simetría.
La distancia media C2-C2 (dC2) será igual a (1-h)·dA, según la igualdad (2).
Por lo que nos queda...
dA=(1-5h)dA + 4·h·dC2R1
La distancia dC2R1 es igual a la distancia media entre un punto escogido
aleatoriamente dentro de un cuadrado de lado uno y otro punto escogido
aleatoriamente de uno de sus lados, que llamaré dB. Aislando dA en la
ecuación anterior tenemos que:
dA = 4/5 dB
Por lo que hemos reducido el problema de la integral cuadruple a “sólo” una
integral triple.
Éste problema lo resuelvo de manera análoga dividiendo en cuatro partes de
igual manera que antes. Ésta vez uno de los rectángulos estará en uno de los
lados perpendiculares al que tiene uno de los puntos y el otro en el lado
opuesto. Se obtiene de manera análoga a la anterior que:
dB = (dC+dD+dE)/4
dónde:
dC es la distáncia media entre un punto escogido aleatoriamente en un
segmento de longitud uno y un punto escogido aleatoriamente en otro segmento
de longitud uno, situado perpendicularmente al anterior desde uno de sus
extremos (cagate, lorito).
dD es la distáncia media entre un punto escogido aleatoriamente dentro de un
cuadrado de lado uno y uno de sus vértices.
dE es la distáncia media entre un punto escogido aleatoriamente en un
segmento de longitud uno y un punto escogido en otro segmento de longitud
uno, situado paralelamente al primero, a una distancia uno.
dC y dD se pueden reducir (análogamente, bla, bla, bla) ambos a:
dC = dD = 2/3 dF
Siendo dF la distancia media entre un punto escogido aleatoriamente en un
segmento de longitud uno y un punto situado a una distancia uno
perpendicularmente sobre uno de sus extremos.
Recapitulando...
dA = 4/5 dB = (dC+dD+dE)/5 = 4/15 dF + 1/5 dE
Se puede hallar dF mediante una integral simple, y obtenemos el resultado:
dF = ln(1+sqrt(2))/2 + sqrt(2)/2
Para hallar dE necesitamos resolver una integral doble (no he podido reducir
este problema), pero se puede integrar simbólicamente:
dE = ln(1+sqrt(2)) + (2-sqrt(2))/3
Por lo tanto...
dA = ln(1+sqrt(2))/3 + (2+sqrt(2))/15
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Un saludo,
QUIM TESTAR.
Ignacio Larrosa Cañestro
> (1)
> Sea S una superfície cualquiera y d la distancia media entre dos puntos
> escogidos aleatoriamente dentro de S. Si dividimos S arbitrariamente en
dos
> partes S1 i S2, se da que:
> S^2·d = S1^2·d11 + S2^2·d22 + 2·S1·S2·d12
> ... dónde dij es el promedio de las distancias entre un punto escogido
> aleatoriamente de Si y otro de Sj.
Si lo escribes de la forma:
d=(S1/S)^2·d11 + (S2/S)^2·d22 + 2·(S1/S)·(S2/S)·d12, queda perfectamente
claro, pues Si/S es la probabilidad de que un punto se encuentre en Si, con
lo que d es simplemente la media ponderada de d1, d2 y d12.
> (2)
> Sea S una superfície cualquiera y d la distancia media entre dos puntos
> escogidos aleatoriamente dentro de S. Si S' es una figura semejante a S
con
> una relación de proporcionalidad a (por tanto, S'=a^2·S), entonces d'=a·d,
> dónde d' es la distancia media entre dos puntos escogidos aleatoriamente
> dentro de S'.
Esta segunda tampoco tiene dudas, si la razón de las áreas de dos figuras
semejantes es a^2, la razón de todas las distancias es a, incluida desde
luego la distancia media entre dos puntos cualesquiera.
Muy buena la idea de hacer tender h a cero. Has conseguido transformar el
problema de hallar la distancia entre dos puintos cualesquiera del cuadrado
a 'simplemente' calcular la distancia de un punto cualquiera del cuadrado a
un punto cualquiera de uno de sus lados.
El integrando de mi monstruosa expresión es la distancia media de cualquier
punto del cuadrado a cualquier punto de un segmento paralelo a un lado.
Haciendo que x tienda a 0 ó a 1, se obtiene dB=5ln(1+sqrt(2))/12 +
(2+sqrt(2))/12
que multiplicado por 4/5 da
>
> dA = ln(1+sqrt(2))/3 + (2+sqrt(2))/15
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Te felicito. Me ha encantado el problema y tu solución.