Solera infinita
Antonio González
etiquetados como '1', '2', etc. Cada año, el 1 de Enero, se trasvasa 1/8
del contenido de cada barril al barril siguiente. El barril '1' se
rellena con vino nuevo (de 0 años). El procedimiento lleva en
funcionamiento muchos años.
¿Cuánto es la edad media del vino de cada barril justo tras el trasvase?
2) Supongamos ahora que la gente de Sanlucar desea emplear el mismo
procedimiento, así que coloca un conjunto de barriles, que inicialmente
se llena con vino de 0 años. Se pone en marcha entonces el procedimiento
de trasvases. ¿Cómo varía la edad media del vino de cada barril con el
paso de los años?
3) Supongamos que en lugar de partir de infinitos barriles llenos de
vino nuevo, se parte de infinitos barriles vacíos. Como antes, cada 1 de
Enero, 1/8 del contenido de cada barril se pasa al barril siguiente, y
el barril número 1 se llena con 1/8 de su capacidad de vino nuevo.
¿Cómo varía la cantidad de vino de cada barril con los años? ¿Y la edad
del vino de cada barril?
--
Antonio
Marko Riedel
> 1) Se tiene un conjunto de infinitos barriles de vino de Jerez,
> etiquetados como '1', '2', etc. Cada año, el 1 de Enero, se trasvasa
> 1/8 del contenido de cada barril al barril siguiente. El barril '1' se
> rellena con vino nuevo (de 0 años). El procedimiento lleva en
> funcionamiento muchos años.
>
>
> ¿Cuánto es la edad media del vino de cada barril justo tras el trasvase?
>
A ver si he entendido el enunciado correctamente. Sea f(z, y, t) la
funcion generatriz siguiente:
[z^n y^m t^k] f(z, y, t) =
"la proporcion de vino de m años en el barril numero n
despues de k años."
Entonces
f(z, y, t) = z/(1-z) + 1/8 z t/(1-t) +
+ 7/8 y t f(z, y, t)
+ 1/8 z y t f(z, y, t)
con lo cual
f(z, y, t) =
z (-8 + 7 t + z t)/(z - 1)/(-1 + t)/(-8 + 7 y t + z y t)
y la funcion generatriz de la edad media es
d/dy f(z, y, t) |_{y=1} =
-z/(-8 + 7 t + z t)/(z - 1)/(-1 + t) (7 t + z t).
Además vemos que [z^n] [t^k] f(z, 1, t) = 1, y así debe ser.
Está bien hasta aquí?
Un saludo.
--
+------------------------------------------------------------+
| Marko Riedel, EDV Neue Arbeit gGmbH, mri...@neuearbeit.de |
| http://www.geocities.com/markoriedelde/index.html |
+------------------------------------------------------------+
Antonio González
> Antonio González <gonf...@gmail.com> writes:
>
>> 1) Se tiene un conjunto de infinitos barriles de vino de Jerez,
>> etiquetados como '1', '2', etc. Cada año, el 1 de Enero, se trasvasa
>> 1/8 del contenido de cada barril al barril siguiente. El barril '1' se
>> rellena con vino nuevo (de 0 años). El procedimiento lleva en
>> funcionamiento muchos años.
>>
>>
>> ¿Cuánto es la edad media del vino de cada barril justo tras el trasvase?
>>
>
> A ver si he entendido el enunciado correctamente. Sea f(z, y, t) la
> funcion generatriz siguiente:
>
> [z^n y^m t^k] f(z, y, t) =
>
> "la proporcion de vino de m años en el barril numero n
> despues de k años."
>
> Entonces
>
> f(z, y, t) = z/(1-z) + 1/8 z t/(1-t) +
>
> + 7/8 y t f(z, y, t)
>
> + 1/8 z y t f(z, y, t)
>
> con lo cual
>
> f(z, y, t) =
>
> z (-8 + 7 t + z t)/(z - 1)/(-1 + t)/(-8 + 7 y t + z y t)
>
> y la funcion generatriz de la edad media es
>
> d/dy f(z, y, t) |_{y=1} =
>
> -z/(-8 + 7 t + z t)/(z - 1)/(-1 + t) (7 t + z t).
>
> Además vemos que [z^n] [t^k] f(z, 1, t) = 1, y así debe ser.
>
> Está bien hasta aquí?
>
Ummm, espera que lo piense un poco...
En cualquier caso, es más facil trabajar directamente con las edades
medias de los vinos de cada botella, sin tener en cuenta las
proporciones individuales. (De hecho, así es como se le da solera a los
vinos, mezclando de distintas edades, de forma que lo que resulta es una
mezcla, con componentes inseparables).
--
Antonio
Marko Riedel
> Marko Riedel escribió:
> > Antonio González <gonf...@gmail.com> writes:
> >
>
> >> 1) Se tiene un conjunto de infinitos barriles de vino de Jerez,
> >> etiquetados como '1', '2', etc. Cada año, el 1 de Enero, se trasvasa
> >> 1/8 del contenido de cada barril al barril siguiente. El barril '1' se
> >> rellena con vino nuevo (de 0 años). El procedimiento lleva en
> >> funcionamiento muchos años.
> >>
> >>
> >> ¿Cuánto es la edad media del vino de cada barril justo tras el trasvase?
> >>
> > A ver si he entendido el enunciado correctamente. Sea f(z, y, t) la
>
> > funcion generatriz siguiente:
> > [z^n y^m t^k] f(z, y, t) = "la proporcion de vino de m años en
> > el barril numero n despues de k años."
>
> > Entonces
>
> > f(z, y, t) = z/(1-z) + 1/8 z t/(1-t) +
>
> > + 7/8 y t f(z, y, t) + 1/8 z y t f(z, y, t)
>
[...]
>
>
> Ummm, espera que lo piense un poco...
>
> En cualquier caso, es más facil trabajar directamente con las edades
> medias de los vinos de cada botella, sin tener en cuenta las
> proporciones individuales.
Cuando aparecera tu solucion voy a compararla con los coeficientes de
la funcion generatriz para ver si ella al menos era correcta. El
significado de los terminos es:
1. z/(1-z): Al principio, es decir, t=0, cada barril esta lleno de
vino nuevo: y=0.
2. 1/8 z t/(1-t): cada año (es decir, t + t^2 + t^3 + ...) un 1/8 de
la capacidad del barril "1" (es decir, z) se llena con vino nuevo
3. 7/8 y t f(z, y, t): siete octavos de cada barril se quedan en este,
mientras avanza el tiempo (t) y la edad del vino (y)
y finalmente,
4. 1/8 z y t f(z, y, t): un octavo de cada barril se trasvase al
proximo barril (z), mientras avanza el tiempo (t) y la edad del
vino (y).
Marko Riedel
> Antonio González <gonf...@gmail.com> writes:
>
> > Marko Riedel escribió:
> > > Antonio González <gonf...@gmail.com> writes:
> > >
> >
> > >> 1) Se tiene un conjunto de infinitos barriles de vino de Jerez,
> > >> etiquetados como '1', '2', etc. Cada año, el 1 de Enero, se trasvasa
> > >> 1/8 del contenido de cada barril al barril siguiente. El barril '1' se
> > >> rellena con vino nuevo (de 0 años). El procedimiento lleva en
> > >> funcionamiento muchos años.
> > >>
> > >>
[...]
> Cuando aparecera tu solucion voy a compararla con los coeficientes de
> la funcion generatriz para ver si ella al menos era correcta. El
> significado de los terminos es:
>
> 1. z/(1-z): Al principio, es decir, t=0, cada barril esta lleno de
> vino nuevo: y=0.
La ultima linea no está bien: hay que remplazar t=0 por t^0 y y=0 por
y^0.
Antonio González
>
> Cuando aparecera tu solucion voy a compararla con los coeficientes de
> la funcion generatriz para ver si ella al menos era correcta. El
> significado de los terminos es:
>
Veamos.
1) Vamos primero con el estado estacionario. Si el sistema lleva muchos
años en marcha, la edad media de cada barril no debe cambiar de un
trasvase al siguiente. Por tanto se verifica, para n = 1
T(1) = 7(T(1)+1)/8
y para n > 1
T(n) = (7(T(n)+1)+(T(n-1)+1))/8 = 7 T(n)/8 + T(n-1)/8 + 1
De la primera resulta
T(1) = 7
y de la segunda
T(n) = T(n-1) + 8
por lo que
T(n) = 8n - 1
Esto es a lo que tiende cada barril tras infinitos trasvases.
2) Consideremos ahora el estado transitorio. Sea T(n,k) la edad del
barril n tras k trasvases. La condición inicial es
T(n,0) = 0
y la relación de recurrencia, para n =1
T(1,k) = 7(T(1,k-1) + 1)/8
y para n > 1
T(n,k) = 7T(n,k-1)/8 + T(n-1,k-1)/8 + 1
Construimos las funciones generatrices
F(n,x) = sum_(k=0) x^k T(n,k)
lo que nos da las relaciones
F(1,x) = 7x F(1,x)/8 + 7x/(8(1-x))
F(n,x) = 7x F(n,x)/8 + x F(n-1,x)/8 + x/(1-x)
Construimos ahora la superfunción generatriz
G(x,y) = sum_(n=1) y^n F(n,x)
que verifica
G = 7 x G/8 + xy G/8 + 7 xy/(8(1-x)) + xy^2/(1-x)(1-y)
y vale
G = ((xy(7 + y))/((1 - x)(1 - y)(8 - 7x - xy)))
--
Antonio
Antonio González
Por completar. Separando G en fracciones simples
G = 1/(1-x) + x/((1-x)^2(1-y)) - (8-7x)/((1-x)^2(8-7x-xy)) =
= 1/(1-x) + x/((1-x)^2(1-y)) - 1/((1-x)^2(1-xy/(8-7x)))
de donde
F(n) = x/(1-x)^2 - x^n/((1-x)^2(8-7x)^n) =
= x/(1-x)^2 - (1/8)^n(x^n/((1-x)^2(1-7x/8)^n)
Esto nos da, para los primeros valores
F(1) = 7/(1-x) - 56/(8-7x)
F(2) = 15/(1-x) - 112/(8-7x) - 64/(8-7x)^2
F(3) = 23/(1-x) - 168/(8-7x) - 832/(7(8-7x)^2) - 512/(7(8-7x)^3)
....
y de aquí
T(1,k) = 7 - 7(7/8)^k
T(2,k) = 15 -(15+k)(7/8)^k
T(3,k) = 23 - (21 + 13(k+1)/7 + (k+1)(k+2)/14)(7/8)^k
....
--
Antonio
Marko Riedel
> Marko Riedel escribió:
>
> > Cuando aparecera tu solucion voy a compararla con los coeficientes de
>
> > la funcion generatriz para ver si ella al menos era correcta. El
> > significado de los terminos es:
> >
>
>
> Veamos.
>
[...]
>
> 2) Consideremos ahora el estado transitorio. Sea T(n,k) la edad del
> barril n tras k trasvases. La condición inicial es
>
>
[...]
> G(x,y) = sum_(n=1) y^n F(n,x)
>
> que verifica
>
> G = 7 x G/8 + xy G/8 + 7 xy/(8(1-x)) + xy^2/(1-x)(1-y)
>
> y vale
>
> G = ((xy(7 + y))/((1 - x)(1 - y)(8 - 7x - xy)))
>
Bueno, parece que todo está bien. En mi primer mensaje de ayer habia
escrito que
"la funcion generatriz de la edad media es
d/dy f(z, y, t) |_{y=1} =
-z/(-8 + 7 t + z t)/(z - 1)/(-1 + t) (7 t + z t)."
y evidentemente se trata de la misma funcion, la tuya, aunque para
facilitar su lectura, hubiera sido mejor escribirla de la siguiente
manera:
-z (7 t + z t)/(-8 + 7 t + z t)/(z - 1)/(-1 + t).
Esto pasa a veces al copiar terminos de una sesión de Maple.