Otro arctag
Leon-Sotelo.
a)Demostrar que las tres son positivas
b)Hallar arctag(a)+arctag(b)+arctag(c)
¿(O.I.M. 1987)?
Saludos.
León-Sotelo.
Antonio González
> Si a,b,c son las raices de la ecuación x(x-2)(3x-7)=2
> a)Demostrar que las tres son positivas
Esto es fácil. Sea
f(x) = x(x-2)(3x-7) - 2 = 3x^3 - 13x^2 + 14x -2
Se verifica que
f(0) = -2
y que
f'(x) = 9x^2 - 26x + 14
es positiva para x < 0. Por tanto la función es siempre creciente para
x<0, y dado que f(0)=-2, no puede haber ninguna raiz negativa.
Para ver que las tres raíces son reales, observamos que
f(0) = -2
f(1) = 2
f(2) = -2
f(3) = 4
Aplicando Bolzano tres veces, ya está.
> b)Hallar arctag(a)+arctag(b)+arctag(c)
Vale 3pi/4, pero calculado por fuerza bruta. A ver si se me ocurre algo.
--
Antonio
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Antonio González
> Leon-Sotelo. wrote:
>
>> Si a,b,c son las raices de la ecuación x(x-2)(3x-7)=2
>> a)Demostrar que las tres son positivas
>
>
> Esto es fácil. Sea
>
> f(x) = x(x-2)(3x-7) - 2 = 3x^3 - 13x^2 + 14x -2
>
> Se verifica que
>
> f(0) = -2
>
> y que
>
> f'(x) = 9x^2 - 26x + 14
>
> es positiva para x < 0. Por tanto la función es siempre creciente para
> x<0, y dado que f(0)=-2, no puede haber ninguna raiz negativa.
>
> Para ver que las tres raíces son reales, observamos que
>
> f(0) = -2
>
> f(1) = 2
>
> f(2) = -2
>
> f(3) = 4
>
> Aplicando Bolzano tres veces, ya está.
>
>> b)Hallar arctag(a)+arctag(b)+arctag(c)
>
>
> Vale 3pi/4, pero calculado por fuerza bruta. A ver si se me ocurre algo.
>
Yastá. Si hallamos la tangente de esto tenemos
T = tg(arctg(a)+arctg(b)+arctg(c)) =
= ((a + b + c) - abc)/(1 - (ab + ac + bc))
Por Cardano-Vieta, si a, b y c son soluciones de la ecuación
x^3 + p x^2 + q x + r = 0
se cumple
T = tg(arctg(a)+arctg(b)+arctg(c)) = (r - p)/(1-q)
En nuestro caso, la ecuación es
x^3 -13/3 x^2 + 14/3 x -2/3 = 0
y
T = (-2/3 +13/3)/(1 - 14/3) = 11/(-11) = -1
y
arctg(-1) = 3 Pi/4
Ignacio Larrosa Cañestro
"Antonio González" <gonf...@esi.us.es> escribió en el mensaje
news:3985ccF...@individual.net...
Por usar el primer apartado, dado que a, b y c > 0, tenemos que
0 < arctg(a), arctg(b), arctg(c) < pi/2 ===>
0 < arctg(a) + arctg(b) + arctg(c) < 3pi/2
Y en (0, 3pi/2) el único ángulo cuya tangente es -1 es 3pi/4.
Por otra parte, la fórmula queda aún mejor, expresada en función de los
coeficientes de la ecuación. si esta es
ax^3 + bx^2 + cx + d = 0
y las raíces son p, q y r, tenemos que
T = tg(arctg(p) + arctg(q) + arctg(r)) = (d - b)/(a - c)
En este caso,
3x^3 - 13x^2 + 14x -2
T = (-2 + 13)/(3 - 14) = - 1
--
Saludos,
Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUIT...@mundo-r.com
Antonio González
>
> Por otra parte, la fórmula queda aún mejor, expresada en función de los
> coeficientes de la ecuación. si esta es
>
> ax^3 + bx^2 + cx + d = 0
>
> y las raíces son p, q y r, tenemos que
>
> T = tg(arctg(p) + arctg(q) + arctg(r)) = (d - b)/(a - c)
>
La verdad es que esta fórmula es curiosa y se puede extender. Así, para
la ecuación de 4º grado
ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0
se verifica
tg(sum_1^4 arctg(x_i)) = (d - b)/(a - c + e)
Para la de 5º
ax^5 + bx^4 + cx^3 + dx^2 + ex + f = 0
T = (b - d + f)/(a - c + e)
y así sucesivamente, colocando términos alternaamente términos arriba y
abajo, con signos alternados.
Obviamente, si se trata de tangentes hiperbólicas, igual, pero con
signos positivos.