Un problema de solera
Antonio González
Simplificando muchísimo el proceso, la preparación de
un vino de Jerez con solera consiste en mezclar vino
joven con vino viejo ("la madre") para que este le dé
sabor al joven.
Como esquema del proceso, supongamos que tenemos tres
barriles A, B y C, de la misma capacidad. Cada año, 1/3
del barril C se embotella para el consumo, 1/3 del B se
pasa al C, 1/3 del A va al B y el 1/3 vacante del A se
llena con vino del año. Suponiendo que esto se lleva
haciendo desde hace muchos años, ¿cuál es la edad media del
vino recién embotellado?
Antonio
PS: Este problema está sacado de "Concrete Mathematics"
de Knuth, que tiene cientos de problemas por el estilo.
Ya pondré otros.
Manuel
tendrá un año (el que se añadió nuevo el año anterior) (1/3)*(2/3) tendrá
dos años; (1/3)*(2/3)^2 tendrá tres años;...(1/3)*(2/3)^n tendrá (n+1) años.
Por tanto la edad media del vino A en el momento de añadirlo a B será,
siendo n infinito, de:
1*1/3+2*(1/3)*(2/3)+3*(1/3)*(2/3)^2+....+(n+1)*(1/3)*(2/3)^n
Serie que soy incapaz de sumar, pero que con ayuda de una calculadora
programable he calculado que tiende a tres años.
Para calcular la edad media del vino de B en el momento de añadirlo a C
hacemos el mismo cálculo, pero teniendo en cuenta que ahora el vino "nuevo"
de B tiene tres años (cuatro al añadirlo a C), por tanto:
4*1/3+5*(1/3)*(2/3)+6*(1/3)*(2/3)^2+....+(n+4)*(1/3)*(2/3)^n
Que, de nuevo con la calculadora, resulta que tiende a seis.
Ahora sólo falta calcular la edad media de C en el momento de embotellarlo;
puesto que el vino "nuevo" de C tiene seis años (siete al embotellarlo)
resultará:
7*1/3+8*(1/3)*(2/3)+9*(1/3)*(2/3)^2+....+(n+7)*(1/3)*(2/3)^n
Que resulta ser de NUEVE AÑOS.
Por cierto:
¿Alguien sabe la forma de sumar la serie Sum(n=0,infinito,n*(r^n)) / 0<r<1
?
Hace muchos años que estudié series y no tengo práctica y mirando apuntes
viejos no he visto nada que se le parezca. Sin embargo sé que la suma es un
número entero para r=2/3, por lo que me extrañaría que no hubiera un modo
sencillo de calcularla.
--
Manuel Diego
manue...@inicia.es
Antonio González <gon...@esi.us.es> escribió en el mensaje de noticias
914o9p$2sanh$1...@ID-39038.news.dfncis.de...
Antonio González
"Manuel" <manue...@inicia.es> escribió en el mensaje
news:9160g3$98...@gratil.proel...
> Por cierto:
> ¿Alguien sabe la forma de sumar la serie Sum(n=0,infinito,n*(r^n)) /
0<r<1
> ?
Esta es una serie de las aritmético-geométricas. Sin recurrir
a funciones generatrices, puedes observar que
S=r+2 r^2+3 r^3+4 r^4+...
multiplicando por r
rS=r^2+2r^3+3r^4+...
Restando, queda
S(1-r)=r+r^2+r^3+r^4+...
La diferencia es la serie geométrica, con suma
r+r^2+r^3+r^4+....=r/(1-r)
de forma que
S=r/(1-r)^2
Antonio
PS: El problema de solera puede resolverse, sin necesidad
de escribir cada término de la serie, empleando trucos
como este mismo.
Antonio González
> ?
> Hace muchos años que estudié series y no tengo práctica y mirando apuntes
> viejos no he visto nada que se le parezca.
Otra forma de sumar series de este tipo es empleando series de Taylor
de funciones conocidas.
Sea la función
S[r]=r+2r^2+3r^3+....
Si dividimos por r
S/r=1+2r+3r^2+...
y ahora integramos
int(S/r dr)=r+r^2+r^3+...
ahora hemos llegado a una serie conocida, de suma r/(1-r)
int(S/r dr)=r/(1-r)
Ahora deshacemos lo hecho. Primero derivamos
S/r=(r/(1-r))'=1/(1-r)^2
y luego multiplicamos por r
S=r/(1-r)^2
Como ejercicio, prueba a hallar Sum[n^2 r^n,{n,0,Infinity}]
y Sum[r^n/n^2,{n,0,Infinity}]
Antonio
PS: Por supuesto, hacer estas cosas bien requiere una serie
de teoremas sobre convergencia y sobre la posibilidad de
integrar y derivar término a término (claro que los físicos
siempre suponemos que se puede. Si no se puede, ya nos
daremos cuenta más adelante)
Leon-Sotelo
cada año V/9 litros de vino fresco y se le sacan al final del año V/9
litros de antiguedad A (la antiguedad media del barril en un año dado)
y hacemos un "balance de antiguedades":
Entran V/9 litros con antiguedad 0 pero teniendo en cuenta que van a
permanecer un año en el barril tendremos que la antiguedad que "entra"
en un año en el barril es V/8*1.Salen V/9 litros de antigudad A,es
decir "sale" una antiguedad deV/8*A al año.Nos queda en el interior
del barril un volumen V-V/9=8V/9 con antiguedad A =>8V/9*A es la
antiguedad total de esos 8V/9 litros,por los que tambien ha de pasar un
año antes de que se vuelva a sacar mas vino por lo que tenemos:
V/9*1 + 8V/9*(A+1)=V/9*(9+8A)
Si comenzamos desde el año 1 entonces A=A(1)=1
A(2)=(9+8A(1))/9 y en general A(n)=1/9*(9+A(N-1))siendo el limite para
esta serie recurrente para n tendiendo a infinito precisamente nuestra
solucion de los 9 años.
Mi pregunta ahora es como seria este problema si de discreto lo
convertimos en continuo y cual seria la ecuacion diferencial que nos
resolviera el problema que quedaria enunciado asi:
En un barril que inicialmente esta lleno de vino de antiguedad 1
año, y capacidad V litros comienza a entrar de forma continua a una
velocidad de V/9 litros/año el vino fresco que se mezcla
instantananeamente con el que existe en el barril saliendo la mezcla a
la misma velocidad con la que entra el vino fresco.¿Cual es la
antiguedad del vino del barril en funcion del tiempo?
Leon-Sotelo
Sent via Deja.com
http://www.deja.com/