Lidt kinky potensopgave

Kert Rats

unread,

Apr 26, 2013, 10:31:14 PM4/26/13

to

Jeg kom til at lure p� l�sninger til denne ligning:

x^y = y^x, hvor ^ betyder potensopl�ftning, og x og y er naturlige tal.

Triviall�sningen er talpar x,y, hvor x=y

En ikke-triviall�sning er x,y = (2,4) eller (4,2)

Men er der andre l�sninger?

Venligst

Kert Rats

Bertel Lund Hansen

unread,

Apr 27, 2013, 5:26:13 AM4/27/13

to

Kert Rats skrev:

Nej, men jeg kan ikke bevise det. Kun sandsynligg�re det.

Potensen betyder mere end grundtallet medmindre der er tale om
sm� tal.

3^5 = 243
5^3 = 125

Jo st�rre tal, jo mere vil den h�je potens l�be fra den lave. Det
er dog ikke tilf�ldet for sm� tal.

3^2 = 9
2^3 = 8

Men n�r vi har passeret (4,4), s� er der ingen grund til at
unders�ge l�ngere.

--
Bertel
http://bertel.lundhansen.dk/ http://fiduso.dk/

Andreas Andersen

unread,

Apr 27, 2013, 10:00:49 AM4/27/13

to

Nej. Der er et simpelt bevis nederst p� siden her
http://mathforum.org/library/drmath/view/66166.html - det svar der er
markeret 12/15/2004.

--
Andreas

Martin Larsen

unread,

Apr 27, 2013, 11:12:27 AM4/27/13

to

Hvis det m� v�re reelle tal s� er eg

1.77677504009705469747973^4.93370458320894502548262 =
4.93370458320894502548262^1.77677504009705469747973

Martin Larsen

unread,

Apr 27, 2013, 1:08:03 PM4/27/13

to

Den her er lidt sjovere:

sqrt(3) ^ sqrt(3^3) =
sqrt(3^3)^ sqrt(3)

Dieter Britz

unread,

Apr 28, 2013, 11:12:40 AM4/28/13

to

On Sat, 27 Apr 2013 19:08:03 +0200, Martin Larsen wrote:

> Den 04/27/2013 05:12 PM, Martin Larsen skrev:
>> Den 04/27/2013 04:31 AM, Kert Rats skrev:

>>> Jeg kom til at lure på løsninger til denne ligning:
>>>
>>> x^y = y^x, hvor ^ betyder potensopløftning, og x og y er naturlige
>>> tal.
[...]
>> Hvis det må være reelle tal så er eg
>>
>> 1.77677504009705469747973^4.93370458320894502548262 =
>> 4.93370458320894502548262^1.77677504009705469747973

Hvis reelle tal er tilladt (men de er ikke naturlige)
så er der uendeligt mange løsninger. Hvis man nemlig
tegner funktionen log(x)/x, så kan man finde mange
løsningerne ved at "tegne" en vandret linje og aflæse
de to løsninger, hvor linjen rammer kurven to steder.

--
Dieter Britz

Martin Larsen

unread,

Apr 28, 2013, 1:34:10 PM4/28/13

to

Den 04/28/2013 05:12 PM, Dieter Britz skrev:
> On Sat, 27 Apr 2013 19:08:03 +0200, Martin Larsen wrote:
>
>> Den 04/27/2013 05:12 PM, Martin Larsen skrev:
>>> Den 04/27/2013 04:31 AM, Kert Rats skrev:

>>>> Jeg kom til at lure p� l�sninger til denne ligning:
>>>>
>>>> x^y = y^x, hvor ^ betyder potensopl�ftning, og x og y er naturlige
>>>> tal.
> [...]
>>> Hvis det m� v�re reelle tal s� er eg

>>>
>>> 1.77677504009705469747973^4.93370458320894502548262 =
>>> 4.93370458320894502548262^1.77677504009705469747973
>
> Hvis reelle tal er tilladt (men de er ikke naturlige)

> s� er der uendeligt mange l�sninger. Hvis man nemlig
> tegner funktionen log(x)/x, s� kan man finde mange
> l�sningerne ved at "tegne" en vandret linje og afl�se
> de to l�sninger, hvor linjen rammer kurven to steder.

Du tilf�jer egentlig intet som ikke har v�ret i denne tr�d.
Jeg skulle m�ske lige sige at eksemplet ovenfor er l�sningen til
(a^a^a)^a = a^(a^a^a). a er, tror jeg, transcendent.