Wie man leicht nachweist ...
Alexander Huber
Gegeben ist folgende Funktion: m_p(x,y) = ((x^p+y^p)/2)^(1/p)
Fuer p=0 ergibt diese Funktion das "geometrische Mittel", fuer p=-1
ergibt sie das "harmonische Mittel". Anscheinend ist es nun "leicht",
nachzuweisen, dass die Funktion fuer p -> +oo max(x,y) und fuer p ->
-oo min(x,y) ergibt. Tja, ich hab eine Weile rumprobiert, doch ohne
nennenswerten Erfolg.
Kann mir bitte jemand zeigen, wie total "leicht" das ist.
Danke,
Alexander.
Axel Reichert
> Gegeben ist folgende Funktion: m_p(x,y) = ((x^p+y^p)/2)^(1/p)
>
> Fuer p=0 ergibt diese Funktion das "geometrische Mittel"
Falsch. Fuer p = 0 ist 1/p nicht definiert.
Tschoe!
--
Axel Reichert -- http://mt.mpie-duesseldorf.mpg.de/people/reich/
David Kastrup
> Gegeben ist folgende Funktion: m_p(x,y) = ((x^p+y^p)/2)^(1/p)
>
> Fuer p=0 ergibt diese Funktion das "geometrische Mittel", fuer p=-1
> ergibt sie das "harmonische Mittel". Anscheinend ist es nun "leicht",
> nachzuweisen, dass die Funktion fuer p -> +oo max(x,y) und fuer p ->
> -oo min(x,y) ergibt. Tja, ich hab eine Weile rumprobiert, doch ohne
> nennenswerten Erfolg.
>
> Kann mir bitte jemand zeigen, wie total "leicht" das ist.
Für p=1 gibt sie das arithmetische Mittel, nicht für p=0.
Mach Fallunterscheidung:
x=y -> m_p = x
|x|<|y|:
y ((1+(x/y)^p)/2)^(1/p)
Für p->+oo geht das gegen y (rechte Seite wird ((1+0)/2)^0 = 1
Ebenso für |x|>|y| und p->-oo
Die beiden anderen Fälle ergeben sich entsprechend anders rum.
In die Hose geht das Verfahren bei |x|=|y| und x /= y, etwa x=-1 und
y=1. Aber falls x und y nicht beide positiv reell sind, gibt es eh
Ärger mit mehrdeutigen Potenzen.
--
David Kastrup Phone: +49-234-700-5570
Email: d...@neuroinformatik.ruhr-uni-bochum.de Fax: +49-234-709-4209
Institut für Neuroinformatik, Universitätsstr. 150, 44780 Bochum, Germany
Alexander Huber
> > Gegeben ist folgende Funktion: m_p(x,y) = ((x^p+y^p)/2)^(1/p)
> >
> > Fuer p=0 ergibt diese Funktion das "geometrische Mittel", fuer p=-1
> > ergibt sie das "harmonische Mittel". Anscheinend ist es nun "leicht",
> > nachzuweisen, dass die Funktion fuer p -> +oo max(x,y) und fuer p ->
> > -oo min(x,y) ergibt. Tja, ich hab eine Weile rumprobiert, doch ohne
> > nennenswerten Erfolg.
> >
> > Kann mir bitte jemand zeigen, wie total "leicht" das ist.
>
> Für p=1 gibt sie das arithmetische Mittel, nicht für p=0.
Scheinbar handelt es sich bei p=0 um einen Grenzfall, der als
(x*y)^1/2 identifiziert werden kann, was dem geometrischen Mittel
entspricht.
Danke jedenfalls fuer deinen Hinweis, wie obige Behauptung gezeigt
werden kann ...
Alexander
Torsten Roensch
> Scheinbar handelt es sich bei p=0 um einen Grenzfall, der als
> (x*y)^1/2 identifiziert werden kann, was dem geometrischen Mittel
> entspricht.
Fuer sehr kleines positives p (z.B. p=0.001) liegen x^p und y^p
beide sehr nahe an 1 und ihre Differenz deshalb sehr nahe an 0.
Das _Quadrat_ ihrer Differenz ist noch einmal um eine Groessenordnung
kleiner und kann deshalb vernachlaessigt werden:
x^(2p) - 2(xy)^p + y^(2p) = (x^p - y^p)^2 =:= 0,
also x^(2p) + y^(2p) =:= 2(xy)^p. (*)
("=:=" steht hier fuer das gewellte "=", also "ungefaehr gleich".)
Nun ist (m_p(x,y))^2 = ( ((x^p + y^p)/2)^(1/p) )^2
= ( ((x^p + y^p)/2)^2 )^(1/p)
= ( (x^(2p) + 2(xy)^p + y^(2p))/4 )^(1/p)
=:=( (2(xy)^p + 2(xy)^p)/4 )^(1/p) wegen (*)
= ( (4(xy)^p)/4 )^(1/p)
= ( (xy)^p )^(1/p)
= xy
und folglich m_p(x,y)=(xy)^(1/2).
Gruss
Torsten
Uwe van Treek
>
>Fuer p=0 ergibt diese Funktion das "geometrische Mittel", fuer p=-1
>ergibt sie das "harmonische Mittel".
p=-1 -> harmonisches Mittel (einfach)
p=1 -> arithmetisches Mittel (einfach)
p=0 -> geometrisches Mittel Beweis:
Es ist in der Form 0^oo -> also L'Hospital vorbereiten, dafür braucht man
einen Ausdruck 0/0:
m_p = exp( 1/p ln( 1/2(x^p +y^p ) ) ) = exp( ln( 1/2(x^p + y^p)) / p ) =
exp( 0 / 0 )
Auf 0/0 L'Hospital => d/dp( ln( 1/2 (x^p + y^p) )) = 1/( 1/2(x^p+y^p) ) *
1/2 (x^p ln(x) + y^p ln(y)) )
Für p=0 -> 1/( 1/2( x^0+y^0)) * 1/2( x^0 ln(x) +y^0 ln(y) ) = 1/1 *
/2( ln(x) + ln(y) ) = 1/2 ( ln(x) + ln(y) )
Das ist der 0/0 - Ausdruck von oben
Einsetzen in exp(0/0): exp( 1/2 (ln(x) + ln(y) ) = sqrt( exp(ln(x)) *
exp(ln(y) ) = sqrt( x * y )
Also m_0(x,y) = sqrt( x y ) q.e.d.
(wollte ich auch nur mal für mich so beweisen... )
> Anscheinend ist es nun "leicht",
>nachzuweisen, dass die Funktion fuer p -> +oo max(x,y) und fuer p ->
>-oo min(x,y) ergibt. Tja, ich hab eine Weile rumprobiert, doch ohne
>nennenswerten Erfolg.
Umformung: 1/2 vor die Wurzel ziehen, Wurzel durch x teilen
m_p = 1 / 2^p * x * ( 1 + (y/x)^p ) ^ (1/p)
Fallunterscheidungen: y < oder > x -> Wurzelargument -> 1+0 = 1 oder 1+oo
= (y/x) ^p
Ergibt dann als Wurzelergebnis y/x oder 1, also mal x: y, bzw. x
DAS stimmt schon
ABER: was ist mit dem 1/2^p? das stimmt doch nicht!
AUSSERDEM: bei negativen x,y geht das mit dem max/min auch nicht richtig,
von den Schwierigkeiten beim Potenzieren von negativen Zahlen mal ganz
abgesehen
Dasselbe gilt für p -> -oo
Korrektur: m_p(x,y) = (x^p+y^p)^(1/p) für x,y >=0 (ausserdem reel), ergibt
für p->oo max(x,y) und für p->-oo min(x,y)
Dr. Peter Kittel
>
>Gegeben ist folgende Funktion: m_p(x,y) = ((x^p+y^p)/2)^(1/p)
>
>Fuer p=0 ergibt diese Funktion das "geometrische Mittel", fuer p=-1
>nachzuweisen, dass die Funktion fuer p -> +oo max(x,y) und fuer p ->
>-oo min(x,y) ergibt. Tja, ich hab eine Weile rumprobiert, doch ohne
>nennenswerten Erfolg.
>
Ersetze bei x>y (x^p+y^p) durch (x^p*(1+(y/x)^p) bzw. im anderen
Fall andersherum ausklammern. Dann wird das zweite Glied der inneren
Klammer bei steigendem p zu einer Nullfolge. Bei negativem p
andersrum verfahren.
--
Best Regards, Dr. Peter Kittel // E-Mail:
Private Site in Frankfurt, Germany \X/ peterk @ combo.ganesha.com
Torsten Roensch
> >Gegeben ist folgende Funktion: m_p(x,y) = ((x^p+y^p)/2)^(1/p)
> >Anscheinend ist es nun "leicht",
> >nachzuweisen, dass die Funktion fuer p -> +oo max(x,y) und fuer p ->
> >-oo min(x,y) ergibt. Tja, ich hab eine Weile rumprobiert, doch ohne
> >nennenswerten Erfolg.
>
> Umformung: 1/2 vor die Wurzel ziehen, Wurzel durch x teilen
> m_p = 1 / 2^p * x * ( 1 + (y/x)^p ) ^ (1/p)
>
> Fallunterscheidungen: y < oder > x -> Wurzelargument -> 1+0 = 1 oder 1+oo
> = (y/x) ^p
> Ergibt dann als Wurzelergebnis y/x oder 1, also mal x: y, bzw. x
> DAS stimmt schon
> ABER: was ist mit dem 1/2^p? das stimmt doch nicht!
_Das_ stimmt wirklich nicht; es muss natuerlich (1/2)^(1/p) heissen.
Und (1/2)^(1/p) = 1/(2^(1/p)) geht ja wohl gegen 1 fuer p -> oo.
Gruss
Torsten