Hi Hugo! Hi alle anderen! ;-)
In <news:1150108808.633241.292110@c74g2000cwc.googlegroups.com>
schrieb HP <yae9...@netscape.net>:

... und daraufhin die neue Folge A120062 ins Leben gerufen. ;-)
Das war eigentlich das, worauf meine "Frage" abzielte:

Apropos A120062 - waere es nicht an der Zeit, Deinen Eintrag
von gestern auf den neuesten Stand zu bringen? Ich bin eher ein
O.E.I.S.-Laie; da waere es schoen, wenn Du vielleicht so gut waerst,
die Folgen, die wir hier diskutieren, einzutragen.  

Apropos Laie: Besten Dank auch fuer den Hinweis auf "Superseeker". -
Liefert der bei den noch offenen Folgen (cmin etc.) brauchbare Ergebnisse?

[ ... ]

Das kapiere ich nicht ganz. - Mir hat Maple innerhalb einer knappen
Dreiviertelstunde saemtliche Daten bis Inkreisradius rho = 100 ausgespuckt.

Zur Zusammenfassung:

Fuer gegebenes rho in {1,2,3,...} haben wir die Mengen

        U(rho) := { (a,b,c) | es gibt ein Dreieck
                              mit ganzzahligen Seiten
                              a,b,c und Inkreisradius rho }

        S(rho) := { (a,b,c) in U(rho) |  a <= b <= c }

Man kann zeigen, dass zu (a,b,c) in U(rho) stets
positive ganze Zahlen x,y,z existieren, so dass gilt

        a = y + z,      b = z + x,      c = x + y;  

und die Bedingung an (a,b,c) laesst sich in (x,y,z) aequivalent
ausdruecken als

        x y z = rho^2 (x + y + z).

Die Bedingung a <= b <= c ist aequivalent zu z <= y <= x.

Jetzt kann man folgende Folgen bilden:

[1.] # U(rho):  Die ersten 42 Glieder der Folge lauten

        6, 30, 75, 105, 90, 267, 144, 267, 303, 309,
        156, 825, 186, 480, 654, 531, 198, 1101, 204, 864,
        1104, 618, 252, 1857, 390, 576, 837, 1347, 216, 2265,
        276, 1011, 1263, 696, 1035, 2976, 228, 738, 1257, 1959,
        264, 3351.

Die Folge ist nicht im O.E.I.S.

[2.] d := # S(rho):  Die ersten 100 Glieder der Folge lauten

        1, 5, 13, 18, 15, 45, 24, 45, 51, 52,
        26, 139, 31, 80, 110, 89, 33, 184, 34, 145,
        185, 103, 42, 312, 65, 96, 140, 225, 36, 379,
        46, 169, 211, 116, 173, 498, 38, 123, 210, 328,
        44, 560, 60, 280, 382, 134, 64, 592, 116, 228,
        230, 271, 47, 452, 229, 510, 276, 134, 54, 1036,
        44, 144, 611, 280, 181, 639, 51, 339, 264, 597,
        50, 1119, 68, 139, 470, 354, 334, 635, 51, 648,
        323, 162, 75, 1486, 198, 169, 258, 594, 64, 1215,
        331, 354, 313, 186, 255, 1066, 51, 369, 753, 622.

Man sollte dort nachtragen, dass die Glieder mit geradem Index
die Folge A007237 bilden. In der dort zitierten AMM-Aufgabe E3408
wird bewiesen, dass fuer gerades  rho = 2k  gilt  
        d(2k) < 8k^2 log(13k),
und VERMUTET, dass d(rho) sogar O(rho^2) ist.

[3.] min( a | (a,b,c) in S(rho) }:

Ist klar: In *jedem* Dreieck gilt  a > 2*rho.
Der Wert a = 2*rho wird z.B. angenommen im rechtwinkligen Dreieck mit  

        x = rho,   y = rho + 1,   z = rho*(2*rho + 1)

aber nicht (immer) nur fuer diese Dreiecke.

[4.] max( a | (a,b,c) in S(rho) }:

VERMUTUNG:

max(a) wird wahrscheinlich nur im Dreieck mit

        x = 1,   y = 2*rho^2,   z = 2*rho^2 + 1

angenommen.

[5.] min( b | (a,b,c) in S(rho) }:

Die ersten 100 Gleider lauten:

        4, 8, 10, 14, 20, 20, 28, 28, 30, 39,
        44, 40, 52, 56, 50, 56, 68, 60, 76, 70,
        70, 87, 92, 80, 100, 100, 90, 97, 116, 100,
        124, 112, 110, 136, 120, 120, 148, 152, 130, 140,
        164, 140, 172, 154, 150, 184, 188, 160, 196, 174,
        170, 182, 212, 180, 196, 189, 190, 232, 236, 200,
        244, 248, 210, 224, 225, 220, 268, 238, 230, 240,
        284, 240, 292, 296, 250, 266, 260, 260, 316, 269,
        270, 328, 332, 280, 292, 344, 290, 300, 356, 300,
        312, 322, 310, 376, 333, 320, 388, 392, 330, 348.

Ueber die Dreiecke, in denen b minimal wird, kann ich nicht viel sagen:  
Vielleicht versuchen die Dreieck "moeglichst gleichseitig" zu sein. -
Keine Ahnung!
Ein paar Beispiele im Format
        "rho, [[[z,y,x],[c,b,a]]]":

         1, [[[1, 2, 3], [5, 4, 3]]]
         2, [[[2, 4, 6], [10, 8, 6]]]
         3, [[[4, 6, 6], [12, 10, 10]]]
         4, [[[6, 7, 8], [15, 14, 13]]]
         5, [[[5, 10, 15], [25, 20, 15]]]
         6, [[[8, 12, 12], [24, 20, 20]]]
         7, [[[7, 14, 21], [35, 28, 21]]]
         8, [[[12, 14, 16], [30, 28, 26]]]
         9, [[[12, 18, 18], [36, 30, 30]]]
        10, [[[15, 15, 24], [39, 39, 30]]]
        11, [[[11, 22, 33], [55, 44, 33]]]
        12, [[[16, 24, 24], [48, 40, 40]]]

[6.] max( b | (a,b,c) in S(rho) }:

VERMUTUNG ODER OFFENSICHTLICH(?):

Gleichheitsfaelle sollten die gleichen Dreiecke sein,
die auch c maximieren - siehe [8.].

[7.] min( c | (a,b,c) in S(rho) }:

Wieder eine mehr zahlentheoretische Folge:

        5, 10, 12, 15, 25, 24, 35, 30, 36, 39,
        55, 45, 65, 63, 53, 60, 85, 68, 95, 75,
        77, 88, 115, 85, 125, 130, 108, 105, 145, 106,
        155, 120, 132, 170, 137, 135, 185, 190, 156, 150,
        205, 154, 215, 165, 159, 230, 235, 170, 245, 195,
        204, 195, 265, 204, 200, 195, 228, 290, 295, 212,
        305, 310, 231, 240, 247, 264, 335, 255, 276, 267,
        355, 255, 365, 370, 265, 285, 281, 295, 395, 289,
        324, 410, 415, 299, 357, 430, 348, 330, 445, 318,
        327, 345, 372, 470, 371, 340, 485, 441, 396, 375, ...

Wenn die Einschraenkung auf ganze Zahlen nicht waere,
wuerde das Minimum im gleichseitigen Dreieck mit
        a = b = c = rho * 2/sqrt(3)  
angenommen werden.
Die Dreiecke, in denen min(c) angenommen wird, sind also
"ganzzahlige Versionen von gleichseitigen Dreiecken
 mit Inkreisradius rho."

Wieder ein paar Beispiele fuer Gleichheitsfaelle:

        rho, [[[z,y,x],[c,b,a]]]

         1, [[[1, 2, 3], [5, 4, 3]]]
         2, [[[2, 4, 6], [10, 8, 6]]]
         3, [[[4, 6, 6], [12, 10, 10]]]
         4, [[[6, 7, 8], [15, 14, 13]]]
         5, [[[5, 10, 15], [25, 20, 15]]]
         6, [[[8, 12, 12], [24, 20, 20]]]
         7, [[[7, 14, 21], [35, 28, 21]]]
         8, [[[12, 14, 16], [30, 28, 26]]]
         9, [[[12, 18, 18], [36, 30, 30]]]
        10, [[[15, 15, 24], [39, 39, 30]]]
        11, [[[11, 22, 33], [55, 44, 33]]]
        12, [[[18, 21, 24], [45, 42, 39]]]

Man kann beweisen, dass, *wenn rho gleich 1 oder eine Primzahl ist*
(aber nicht nur in diesen Faellen), das optimale Dreieck
das (rechtwinklige(!)) "gleichseitige Dreieck fuer Arme"

        (a,b,c) = (rho*3, rho*4, rho*5)

ist  und  min(c) = 5*rho.

[8.] max( c | (a,b,c) in S(rho) }:

Danke, dass Du mir den Beweis gemailt hast! - Mir ist aufgefallen,
dass ich meine Heuristik auch zu einem Beweis ausbauen kann:

Zuerst einmal bemerkt man, dass z zwischen 1 und rho*sqrt(3) liegen muss,
letzteres wegen

        z = rho / tan(gamma/2) <= rho / tan(Pi/6),

da gamma der groesste Winkel im Dreieck ist.

Aus der Gleichung

        xyz = rho^2 (x + y + z)

folgt

        (zx - rho^2) ( zy - rho^2) = rho^2 z^2 + rho^4;

und daraus, sofern (zx - rho^2) nicht negativ ist:

        (zx - rho^2) + (zy - rho^2)
         <= (zx - rho^2) ( zy - rho^2) + 1
          =   rho^2 z^2 + rho^4 + 1,

also

        c = x + y <= rho^2 z + ( rho^4 + 2 rho^2 + 1)/z.

Die rechte Seite dieser Ungleichung wird maximal
an einer der Extremstellen fuer z, also fuer z = 1
oder fuer z "=" rho*sqrt(3):

        c <= max( rho^2 + ( rho^4 + 2 rho^2 + 1),
                  rho^3*sqrt(3) + ( rho^3 + 2 rho + 1/rho)/sqrt(3) )  

Fuer rho > 1/sqrt(3), also *immer*,  
ist der erste Term groesser als der zweite.

Falls dagegen  (zy - rho^2) und  (zx - rho^2)  negativ sind,
folgt
        c = x + y < 2 rho^2 / z <= 2 rho^2

und damit erst recht:  

        +--------------------------+
        | c <= rho^4 + 3 rho^2 + 1 |
        +--------------------------+

mit Gleichheit genau dann, wenn

        z = 1,   zy - rho^2 = 1,   zx - rho^2 = rho^2 z^2 + rho^4.

q.e.d.

[9.]-[12.] min bzw. max von x, y bzw. z ueber S(rho)

...

Fuer uns schon,  ;-)  aber fuer Ulrich weniger,
wenn er, wie ich vermute, eigentlich an der vollstaendigen
Loesungsmenge interessiert war.

Noch einen schoenen Abend
        Thomas