Dreiecke mit ganzzahligem Inkreisradius und ganzzahligen Seitenlängen
Ulrich Diez
Man hat mir dort empfohlen, es auch bei de.sci.math einzustellen.
(Die dortige Empfehlung nehme ich als Indikator dafür, dass ich
mich ob meiner Frage nicht allzusehr schämen muss.)
Hallo!
Geometrie ist bei mir schon eine Weile her.
Wie finde ich zu einem vorgegebenen ganzzahligen Inkreisradius alle Dreiecke
mit ganzzahligen Seitenlängen?
Sind da immer auch nicht-rechtwinklige Dreiecke dabei?
Ulrich
Wolfgang Kirschenhofer
"Ulrich Diez" <eu_an...@web.de.invalid> schrieb im Newsbeitrag
news:e66r16$4en$1...@ulysses.news.tiscali.de...
Hallo Ulrich!
Heron'sche Dreiecke sind Dreiecke, deren Seitenlängen a,b,c und deren
Flächeninhalt F ganze Zahlen sind. (a,b,c) wird dann auch Heron'sches
Tripel genannt.
Für den Inkreisradius rho eines Dreiecks gilt stets die Gleichung
rho=F/s, wobei s:=(a+b+c)/2 ist (1)
Wenn nun (a,b,c) ein Heron'sches Tripel ist, dann ist der Inkreisradius
rho sicher eine rationale Zahl. Sei nun rho=p/q mit ggT(p,q)=1 nach (1)
ermittelt, dann ist
(a*q, b*q, c*q) wieder ein Heron'sches Tripel mit dem neuen
Inkreisradius rho_1=p.
Jetzt ist rho_1 eine ganze Zahl.
Ein Beispiel dazu:
(10,17,21) ist ein Heron'sches Tripel, denn:
s=(10+17+21)/2=24 und nach der Heron'schen Flächenformel gilt:
F=sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c)) = sqrt(24*14*7*3)=84.
Es ist daher rho=84/24=7/2 , d.h. p=7 und q=2
Das Dreieck mit den Seiten a_1=10*2=20, b_1=17*2=34, c_1=21*2=42 hat
daher den Flächeninhalt F_1=84*4=336 und den Inkreisradius rho_1=7 .
Da es nun unendlich viele Heron'sche Dreiecke gibt, gibt es auch
unendlich viele Heron'sche Dreiecke in denen der Inkreisradius rho eine
ganze Zahl ist, denn ist (a,b,c) ein Heron'sches Tripel dann auch
(a*t,b*t,c*t), falls t ganzzahlig ist.
Damit ist deine eigentliche Frage natürlich nicht beantwortet, denn du
wolltest ja umgekehrt zu vorgebenem ganzzahligen rho alle Dreiecke mit
ganzzahligen Seitenlängen finden. Diese Aufgabe ist vermutlich
schwierig.
Für rechtwinklige Dreiecke ist sie vermutlich leichter lösbar, denn
es gilt dann rho=a*b/(a+b+sqrt(a^2+b^2); man hat dann noch eine
quadratische diophantische Gleichung zu lösen. a,b:Katheten des
rechtwinkligen Dreiecks.
Jedenfalls gibt es unendlich viele nicht-rechtwinklige Dreiecke mit
ganzzahligen Seiten und ganzzahligem Inkreisradius.
Grüße,
Wolfgang Kirschenhofer
Ken Pledger
Kirschenhofer <ki...@kstp.at>:
> ....
> Für den Inkreisradius rho eines Dreiecks gilt ....
>
> Für rechtwinklige Dreiecke ist sie vermutlich leichter lösbar, denn
> es gilt dann rho=a*b/(a+b+sqrt(a^2+b^2) ....
oder rho = (a + b - c)/2.
Ken Pledger (echter "kiwi" :-)
Ulrich Diez
...
> Für rechtwinklige Dreiecke ist sie vermutlich leichter lösbar, denn
> es gilt dann rho=a*b/(a+b+sqrt(a^2+b^2); man hat dann noch eine
> quadratische diophantische Gleichung zu lösen. a,b:Katheten des
> rechtwinkligen Dreiecks.
Ken Pledger schrieb:
...
> oder rho = (a + b - c)/2.
Hallo und vielen Dank für die Antworten!
Sie haben einen "Kreativitätsschub" verursacht, der dazu führt,
dass ich das Problem ungelöst ad acta lege:
Ihr mich dazu gebracht, zunächst das Problem auf das Finden nur
von rechtwinkligen Dreiecken einzugrenzen:
Ein rechtwinkliges Dreieck kann man immer finden:
Das rechtwinklige 3-4-5-Dreieck hat mit obigen Formeln den Inkreisradius 1.
Mit Hilfe zentrischer Streckung um den Faktor \rho kann man also aus
dem 3-4-5 Dreieck ein rechtwinkliges Dreieck für jeden ganzzahligen
Inkreisradius erzeugen. Es gibt also zu jedem ganzzahligen
Inkreisradius mindestens 1 (rechtwinkliges) Dreieck mit ganzzahligen
Seitenlängen.
Wie könnte man jetzt alle rechtwinkligen Dreiecke finden:
Für rechtwinklige ganzzahlige Dreiecke mit den Seiten a,b,c sind die
Seitenlängen pythagoräische Tripel und bei geeigneter Wahl von
k,s,t aus N kann man für diese Seitenlängen folglich setzen:
a = k2st
b = k(s^2 -t^2)
c = k(s^2+t^2)
\rho = kt(s-t) [->\rho = a*b/(a+b+sqrt(a^2+b^2) = (a + b - c)/2 ]
Das heisst also, um alle geeigneten rechtwinkligen Dreiecke zu finden,
müsste man den gegebenen Inkreisradius auf alle möglichen Arten in
drei ganzzahlige Faktoren aufspalten, um aus den Faktoren k, t und s zu
gewinnen.
Danach könnte man damit dann mit Hilfe von k,s und t ein
pythagoräisches Tripel/ Dreieck mit dem gewünschten Inkreisradius basteln.
(Für manche Radien dürfte die Faktorisierung kein Problem sein, für
andere wohl schon.)
Wenn mir jetzt jemand meine anfängliche Frage tatsächlich beantworten und
sagen würde, wie man eventuell auf andere Art nicht nur die rechtwinkligen,
sondern alle ganzzahligen Dreiecke mit dem gewünschten Inkreis findet,
könnte man aus der Menge dieser Dreiecke die rechtwinkligen
"herausfischen" und mit Hilfe derer Seitenlängen recht einfach die zugehörigen
k,s,t bestimmen und damit r faktorisieren und hätte somit eventuell ein
neuartiges Faktorisierungsverfahren gefunden.
Die Sache mit dem Faktorisierungsverfahren schreckt mich so enorm
ab, dass ich die Sache lieber begrabe und das ganze Problem durch
welches sie aufgeworfen wurde, lieber umgehe statt es lösen zu wollen.
Ob meiner wieder einmal zur Schau gestellten Torheit bitte ich um
Nachsicht.
Beste Grüsse und nochmals Danke.
Ulrich
Wolfgang Kirschenhofer
"Ken Pledger" <ken.p...@mcs.vuw.ac.nz> schrieb im Newsbeitrag
news:ken.pledger-F58D...@bats.mcs.vuw.ac.nz...
> Im Newsbeitrag <11497026...@news.aic.at> schrieb Wolfgang
> Kirschenhofer <ki...@kstp.at>:
>
> > ....
> > Für den Inkreisradius rho eines Dreiecks gilt ....
> >
> > Für rechtwinklige Dreiecke ist sie vermutlich leichter lösbar, denn
>
>
> oder rho = (a + b - c)/2. (**)
>
> Ken Pledger (echter "kiwi" :-)
Hallo Ken!
Danke "echter Kiwi". Es freut mich, wieder einmal von Dir zu hören.
Die quadratische diophantische Gleichung, welche man aus der
einfacheren Gleichung (**) erhält, ist die gleiche wie die, welche man
aus (*)
erhält, nachdem man durch a*b dividiert hat.
Für diejenigen aus der NG dsm., die ihr Schulwissen zur
Elementargeometrie bereits auffrischen müssen, nun die Begründung von
(**):
a)Legt man von einem Punkt P außerhalb eines Kreises k die Tangenten an
k, dann sind die Tangentenabschnitte von P zu den Berührungspunkten
gleich lang.
b)Im rechtwinkligen Dreieck ABC, sei der Winkel bei C gleich 90° und k
der Inkreis von ABC. Von C aus haben dann nach a) die
Tangentenabschnitte an k die Länge rho und daher die von A bzw. B aus
die Längen a-rho bzw. b-rho.
es gilt daher weiter nach a), daß c=a+b-2*rho ist.
Wir haben damit (**) mit dem Zusatz c=sqrt(a^2+b^2).
Grüße,
Wolfgang Kirschenhofer
Wolfgang Kirschenhofer
"Ulrich Diez" <eu_an...@web.de.invalid> schrieb im Newsbeitrag
> Wolfgang Kirschenhofer schrieb:
> ...
> > Für rechtwinklige Dreiecke ist sie vermutlich leichter lösbar, denn
> > es gilt dann rho=a*b/(a+b+sqrt(a^2+b^2); man hat dann noch eine
> > quadratische diophantische Gleichung zu lösen. a,b:Katheten des
> > rechtwinkligen Dreiecks.
>
> Ken Pledger schrieb:
> ...
> > oder rho = (a + b - c)/2.
>
> Hallo und vielen Dank für die Antworten!
>
> Sie haben einen "Kreativitätsschub" verursacht, der dazu führt,
> dass ich das Problem ungelöst ad acta lege:
>
> Ihr mich dazu gebracht, zunächst das Problem auf das Finden nur
> von rechtwinkligen Dreiecken einzugrenzen:
>
> Ein rechtwinkliges Dreieck kann man immer finden:
>
[......................................................................
...]
> Ob meiner wieder einmal zur Schau gestellten Torheit bitte ich um
> Nachsicht.
>
> Beste Grüsse und nochmals Danke.
>
> Ulrich
>
Hallo Ulrich!
Deine Bescheidenheit ehrt Dich, doch von "Torheit" kann bei Dir keine
Rede sein.
Im Gegenteil, Du hast die Schwierigkeiten Deiner Aufgabenstellung voll
erkannt.
Das ist bei so manchem Teilnehmer in der Diskussionsrunde leider nicht
immer der Fall.
Beste Grüsse,
Wolfgang
>
Ulrich Diez
Als ich es jetzt nochmal lesen wollte, hat mir mein Newsreader erklärt, es
stünde auf dem Server nicht mehr zur Verfügung. Also schicke ich es
jetzt nochmal. Falls es jetzt zweimal da ist, bitte ich um Entschuldigung.
Ist zwar OT, aber trotzdem würde mich interessieren, woran das liegen
kann.
Ulrich ]
Wolfgang Kirschenhofer schrieb:
...
> Für rechtwinklige Dreiecke ist sie vermutlich leichter lösbar, denn
> es gilt dann rho=a*b/(a+b+sqrt(a^2+b^2); man hat dann noch eine
> quadratische diophantische Gleichung zu lösen. a,b:Katheten des
> rechtwinkligen Dreiecks.
Ken Pledger schrieb:
...
> oder rho = (a + b - c)/2.
Hallo und vielen Dank für die Antworten!
Sie haben einen "Kreativitätsschub" verursacht, der dazu führt,
dass ich das Problem ungelöst ad acta lege:
Ihr mich dazu gebracht, zunächst das Problem auf das Finden nur
von rechtwinkligen Dreiecken einzugrenzen:
Ein rechtwinkliges Dreieck kann man immer finden:
Ob meiner wieder einmal zur Schau gestellten Torheit bitte ich um
Rainer Rosenthal
> Die Sache mit dem Faktorisierungsverfahren schreckt mich so enorm
> ab, dass ich die Sache lieber begrabe und das ganze Problem durch
> welches sie aufgeworfen wurde, lieber umgehe statt es lösen zu wollen.
Oho, heisst das, dass hinter der Ursprungsfrage ein
spannendes Anwendungsproblem liegt? Bitte schreibe doch
darüber. Vielleicht lässt sich der Ansatz zur Lösung
verbessern?
Gruss,
Rainer R.
Ken Pledger
Kirschenhofer <ki...@kstp.at>:
> Ken Pledger <ken.p...@mcs.vuw.ac.nz> schrieb im Newsbeitrag
> news:ken.pledger-F58D...@bats.mcs.vuw.ac.nz...
> > Im Newsbeitrag <11497026...@news.aic.at> schrieb Wolfgang
> > Kirschenhofer <ki...@kstp.at>:
> >
> > > ....
> > > Für den Inkreisradius rho eines Dreiecks gilt ....
> > >
> > > Für rechtwinklige Dreiecke ist sie vermutlich leichter lösbar, denn
> > > es gilt dann rho=a*b/(a+b+sqrt(a^2+b^2) .... (*)
> >
> >
> > oder rho = (a + b - c)/2. (**)
> >
> Elementargeometrie bereits auffrischen müssen, nun die Begründung von
> (**):
> a)Legt man von einem Punkt P außerhalb eines Kreises k die Tangenten an
> k, dann sind die Tangentenabschnitte von P zu den Berührungspunkten
> gleich lang.
> b)Im rechtwinkligen Dreieck ABC, sei der Winkel bei C gleich 90° und k
> der Inkreis von ABC. Von C aus haben dann nach a) die
> Tangentenabschnitte an k die Länge rho und daher die von A bzw. B aus
> die Längen a-rho bzw. b-rho.
Die antiken chinesischen Mathematiker kannten die Gleichung (**).
Ken Pledger.
HP
Um eine Idee zu bekommen, hab ich mal einen Rechner alle Dreiecke mit
ganzzahligen Seitenlaengen bis 5000 durchprobieren lassen (und uebers
Wochenende dann bis 10000). Als erstes findet man mal wieder eine nette
"Aha"-Beziehung in die OEIS:
http://www.research.att.com/~njas/sequences/A078644
%I A078644
%S A078644
1,2,3,3,3,6,3,4,5,6,3,9,3,6,9,5,3,10,3,9,9,6,3,12,5,6,7,9,3,18,3,6,9,6,
%T A078644
9,15,3,6,9,12,3,18,3,9,15,6,3,15,5,10,9,9,3,14,9,12,9,6,3,27,3,6,15,7,
%U A078644
9,18,3,9,9,18,3,20,3,6,15,9,9,18,3,15,9,6,3,27,9,6,9,12,3,30,9,9,9,6,9
%N A078644 a(n) = tau(2*n^2)/2.
und dort auch den Kommentar:
a(n) is the number of Pythagorean triangles with radius of the
inscribed circle equal to n. - Ant King, mathstutoring(AT)ntlworld.com,
Mar 06 2006. For number of primitive Pythagorean triangles having
inradius n, see A068068(n).
Nach den weiteren Ergebnissen vermute ich, dass es zu einem gegebenen
ganzzahligen Inkreisradius jenseits einer bestimmten Laenge der
kuerzesten Seite keine Dreiecke mit ganzzahligen Inkreisradien mehr
gibt. Die entsprechende huebsche Folge "Zahl voneinander verschiedener
Dreiecke mit ganzzahligen Seitenlaengen a<=b<c mit ganzzahligem
Inkreisradius" hab ich auf Anhieb nicht in der OEIS gefunden. Die
Tabelle fuer die ersten Inkreisradien Rho schaut so aus:
Rho
Zahl aller Dreiecke
davon rechtwinklig
1 1 1
2 5 2
3 13 3
4 18 3
5 15 3
6 45 6
Hier noch die Liste aller? moeglichen Dreiecke mit Inkreisradien <=5:
a b c Rho
3 4 5 1
5 12 13 2
6 8 10 2
6 25 29 2
7 15 20 2
7 24 25 3
7 65 68 3
8 15 17 3
8 26 30 3
9 10 17 2
9 12 15 3
9 40 41 4
9 75 78 4
10 10 12 3
10 24 26 4
10 35 39 4
11 13 20 3
11 25 30 4
11 60 61 5
11 90 97 4
11 100 109 3
12 16 20 4
12 35 37 5
12 50 58 4
12 55 65 3
12 153 159 5
13 14 15 4
13 40 51 3
13 68 75 5
14 30 40 4
15 15 24 4
15 20 25 5
15 26 37 4
15 28 41 3
15 377 388 5
16 25 39 3
17 28 39 5
17 87 100 5
18 20 34 4
18 289 305 4
19 20 37 3
19 153 170 4
21 85 104 4
25 51 74 4
27 29 52 5
27 676 701 5
28 351 377 5
31 156 185 5
33 34 65 4
36 91 125 5
39 76 113 5
51 52 101 5
Daraus kann man dann weitere Folgen konstruieren, wie "minimal
moegliche Laenge der laengsten Seite c eines der moeglichen Dreiecke
mit ganzzahligen Seitenlaengen und gegebenem ganzzahligem Inkreisradius
n" bzw. analog "maximal moegliche Laenge ...."
Rho cmin cmax
1 5 5
2 10 29
3 12 109
4 15 305
5 25 701
Preisfrage: Ist die Spalte mit den maximal moeglichen Laengen gleich
http://www.research.att.com/~njas/sequences/A057721
und wenn ja, warum?
Hugo Pfoertner
Thomas Mautsch
schrieb HP <yae...@netscape.net>:
>> "Ulrich Diez" <eu_an...@web.de.invalid> schrieb im Newsbeitrag
>> news:e66r16$4en$1...@ulysses.news.tiscali.de...
>> > Dreiecke mit ganzzahligen Seitenlängen?
[ ... ]
> Nach den weiteren Ergebnissen vermute ich, dass es zu einem gegebenen
> ganzzahligen Inkreisradius jenseits einer bestimmten Laenge der
> kuerzesten Seite keine Dreiecke mit ganzzahligen Inkreisradien mehr
> gibt. Die entsprechende huebsche Folge "Zahl voneinander verschiedener
> Dreiecke mit ganzzahligen Seitenlaengen a<=b<c mit ganzzahligem
> Inkreisradius" hab ich auf Anhieb nicht in der OEIS gefunden. Die
> Tabelle fuer die ersten Inkreisradien Rho schaut so aus:
>
> Rho
> Zahl aller Dreiecke
> davon rechtwinklig
> 1 1 1
> 2 5 2
> 3 13 3
> 4 18 3
> 5 15 3
> 6 45 6
>
> Hier noch die Liste aller? moeglichen Dreiecke mit Inkreisradien <=5:
[ ... ]
Sagt uns die Folge
1, 5, 13, 18, 15, 45, 24, 45, 51, 52, 26, 139, ...
etwas??
> Daraus kann man dann weitere Folgen konstruieren, wie "minimal
> moegliche Laenge der laengsten Seite c eines der moeglichen Dreiecke
> mit ganzzahligen Seitenlaengen und gegebenem ganzzahligem Inkreisradius
> n" bzw. analog "maximal moegliche Laenge ...."
>
> Rho cmin cmax
> 1 5 5
> 2 10 29
> 3 12 109
> 4 15 305
> 5 25 701
>
> Preisfrage: Ist die Spalte mit den maximal moeglichen Laengen gleich
> http://www.research.att.com/~njas/sequences/A057721
> und wenn ja, warum?
Hi Hugo! Hast Du eine Antwort auf Deine Preisfrage?
Rein heuristisch ist mir die Antwort klar:
Bezeichne mit a,b,c, die Seiten des Dreiecks,
mit rho den Inkreisradius; setze
X := -a + b + c
Y := a - b + c
Z := a + b - c.
Dann muessen X,Y,Z positive sein und
entweder alle gerade oder alle ungerade und
die Gleichung
X Y Z = 8 rho^2 (X + Y + Z)
erfuellen.
Daraus folgt sofort, dass X,Y,Z alle gerade sein,
X = 2x, Y = 2y, Z = 2z,
und x,y,z die Gleichung
x y z = rho^2 (x + y + z)
erfuellen muessen.
Wie aus der Geometrie bekannt, entsprechen die Groessen x,y,z
den Teilen der Strecken, in die die Beruehrungspunkte
des Inkreises die Dreiecksseiten teilen.
Die Seite c zu maximieren, heisst (x + y) zu maximieren;
und heuristisch sollte das bei gegebenem rho der Fall sein,
wenn z minimal, d.h. z = 1, wird.
Daraus erhaelt man die Bedingung
(x - rho^2) (y - rho^2) = rho^4 + rho^2;
Die Summe (x + y) wird unter dieser Bedingung maximal,
wenn man die rechte Seite in ein Produkt
aus einer moeglichst kleinen und einer moeglichst grossen Zahl zerlegt;
also:
x = rho^2 + 1
y = rho^2 + rho^4 + rho^2
(a,b,c) = ( (rho^2 + 1)^2, rho^2 + 2, rho^4 + 3 rho^2 + 1 );
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
Und da ist sie schon - die Folge A057721, (rho^4 + 3 rho^2 + 1),
also
5, 29, 109, 305, 701, 1405, ...
Kein Beweis, aber immerhin...
Die kuerzestmoeglichen Dreiecksseiten bei gegebenem Inkreisradius
scheinen uebrigens die durchaus bekannte Folge
3, 5, 7, 9, 11, 13, ...
zu bilden - realisiert unter anderem durch rechtwinklige Dreiecke...
Hugo Pfoertner
Mir nicht auf den ersten Blick; aber dafuer gibt es ein maechtiges
Werkzeug namens "Superseeker":
Betreff: Reply from superseeker
Datum: Sun, 11 Jun 2006 18:34:43 -0400 (EDT)
Von: superse...@research.att.com
An: not...@abouthugo.de
Report on [ 15,45,24,45,51,52,26,139]:
Many tests are carried out, but only potentially useful information
(if any) is reported here.
Even though there are a large number of sequences in the table, at
least one of yours is not there! Please send it to me using
the submission form on the sequence web page
http://www.research.att.com/~njas/sequences/Submit.html
and I will (probably) add it! Include a brief description. Thanks!
TEST: APPLY VARIOUS TRANSFORMATIONS TO SEQUENCE AND LOOK IT
UP IN THE ENCYCLOPEDIA AGAIN
SUCCESS
(limited to 40 matches):
Transformation T007 gave a match with:
%I A007237 M3878
%S A007237 5,18,45,45,52,139,80,89,184,145,103,312,96,225,379
%N A007237 Number of triangles with integer sides and area = n times
perimeter.
%D A007237 Problem E3408, Amer. Math. Monthly, 99 (1992), 175-176.
%Y A007237 Sequence in context: A056640 A101105 A037140 this_sequence
A000339 A081435 A109363
%Y A007237 Adjacent sequences: A007234 A007235 A007236 this_sequence
A007238 A007239 A007240
%K A007237 nonn
%O A007237 1,1
%A A007237 Simon Plouffe (plouffe(AT)math.uqam.ca)
List of transformations used:
T007 elements of even index in the sequence
In Bayern sagt man da: "Gell, da schaugst"
Hugo
[...]
HP
Inzwischen hab ich Ergebnisse bis Inkreisradius 10, wofuer man dann mit
den Seiten bis 10^4+3*10^2+1=10301 rechnen muss; allerdings nicht fuer
die kuerzeste Seite. Die folgende Tabelle enthaelt die Zahl d der
gefundenen Dreiecke sowie die unter allen zu einem gegebenen
Inkreisradius moeglichen Dreiecken gefunden Minimal- und Maximalwerte
der Seitenlaengen a<=b<c:
Rho d amin amax bmin bmax cmin cmax
(n)
1 1 3 3 4 4 5 5
2 5 5 9 8 25 10 29
3 13 7 19 10 100 12 109
4 18 9 33 14 289 15 305
5 15 11 51 20 676 25 701
6 45 13 73 20 1369 24 1405
7 24 15 99 28 2500 35 2549
8 45 17 129 28 4225 30 4289
9 51 19 163 30 6724 36 6805
10 52 21 201 39 10201 39 10301
d ist die neue OEIS-Folge A120062, amin ist 2*n+1; amax schaut ganz
stark nach 2*n^2+1 (OEIS A058331) aus. bmin ist neu und noch
erklaerungsbeduerftig. bmax ist offensichtlich n^4+2*n^2+1 (OEIS
A082044). cmin ist neu und zu erklaeren, cmax ist wie von Joseph Myers
bewiesen n^4+3*n^2+1 (OEIS A057721).
Fazit: Der Tipp in schule.mathe, mal in unsere Gruppe rueberzuposten,
war doch gar nicht so uebel ;-)
Hugo Pfoertner
Thomas Mautsch
In news:<1150108808.6...@c74g2000cwc.googlegroups.com>
schrieb HP <yae...@netscape.net>:
> Thomas Mautsch wrote:
>> HP schrieb:
>> >> "Ulrich Diez" <eu_an...@web.de.invalid> schrieb:
>> >> > Wie finde ich zu einem vorgegebenen ganzzahligen Inkreisradius alle
>> >> > Dreiecke mit ganzzahligen Seitenlängen?
>>
>> [ ... ]
>> > Die entsprechende huebsche Folge "Zahl voneinander verschiedener
>> > Dreiecke mit ganzzahligen Seitenlaengen a<=b<c mit ganzzahligem
>> > Inkreisradius" hab ich auf Anhieb nicht in der OEIS gefunden.
... und daraufhin die neue Folge A120062 ins Leben gerufen. ;-)
Das war eigentlich das, worauf meine "Frage" abzielte:
>> Sagt uns die Folge
>>
>> 1, 5, 13, 18, 15, 45, 24, 45, 51, 52, 26, 139, ...
>>
>> etwas??
Apropos A120062 - waere es nicht an der Zeit, Deinen Eintrag
von gestern auf den neuesten Stand zu bringen? Ich bin eher ein
O.E.I.S.-Laie; da waere es schoen, wenn Du vielleicht so gut waerst,
die Folgen, die wir hier diskutieren, einzutragen.
Apropos Laie: Besten Dank auch fuer den Hinweis auf "Superseeker". -
Liefert der bei den noch offenen Folgen (cmin etc.) brauchbare Ergebnisse?
>> > Daraus kann man dann weitere Folgen konstruieren, wie "minimal
>> > moegliche Laenge der laengsten Seite c eines der moeglichen Dreiecke
>> > mit ganzzahligen Seitenlaengen und gegebenem ganzzahligem Inkreisradius
>> > n" bzw. analog "maximal moegliche Laenge ...."
[ ... ]
> Inzwischen hab ich Ergebnisse bis Inkreisradius 10,
[ ... ]
Das kapiere ich nicht ganz. - Mir hat Maple innerhalb einer knappen
Dreiviertelstunde saemtliche Daten bis Inkreisradius rho = 100 ausgespuckt.
Zur Zusammenfassung:
Fuer gegebenes rho in {1,2,3,...} haben wir die Mengen
U(rho) := { (a,b,c) | es gibt ein Dreieck
mit ganzzahligen Seiten
a,b,c und Inkreisradius rho }
S(rho) := { (a,b,c) in U(rho) | a <= b <= c }
Man kann zeigen, dass zu (a,b,c) in U(rho) stets
positive ganze Zahlen x,y,z existieren, so dass gilt
a = y + z, b = z + x, c = x + y;
und die Bedingung an (a,b,c) laesst sich in (x,y,z) aequivalent
ausdruecken als
x y z = rho^2 (x + y + z).
Die Bedingung a <= b <= c ist aequivalent zu z <= y <= x.
Jetzt kann man folgende Folgen bilden:
[1.] # U(rho): Die ersten 42 Glieder der Folge lauten
6, 30, 75, 105, 90, 267, 144, 267, 303, 309,
156, 825, 186, 480, 654, 531, 198, 1101, 204, 864,
1104, 618, 252, 1857, 390, 576, 837, 1347, 216, 2265,
276, 1011, 1263, 696, 1035, 2976, 228, 738, 1257, 1959,
264, 3351.
Die Folge ist nicht im O.E.I.S.
[2.] d := # S(rho): Die ersten 100 Glieder der Folge lauten
1, 5, 13, 18, 15, 45, 24, 45, 51, 52,
26, 139, 31, 80, 110, 89, 33, 184, 34, 145,
185, 103, 42, 312, 65, 96, 140, 225, 36, 379,
46, 169, 211, 116, 173, 498, 38, 123, 210, 328,
44, 560, 60, 280, 382, 134, 64, 592, 116, 228,
230, 271, 47, 452, 229, 510, 276, 134, 54, 1036,
44, 144, 611, 280, 181, 639, 51, 339, 264, 597,
50, 1119, 68, 139, 470, 354, 334, 635, 51, 648,
323, 162, 75, 1486, 198, 169, 258, 594, 64, 1215,
331, 354, 313, 186, 255, 1066, 51, 369, 753, 622.
> d ist die neue OEIS-Folge A120062,
Man sollte dort nachtragen, dass die Glieder mit geradem Index
die Folge A007237 bilden. In der dort zitierten AMM-Aufgabe E3408
wird bewiesen, dass fuer gerades rho = 2k gilt
d(2k) < 8k^2 log(13k),
und VERMUTET, dass d(rho) sogar O(rho^2) ist.
[3.] min( a | (a,b,c) in S(rho) }:
> amin ist 2*rho+1
>> realisiert unter anderem durch rechtwinklige Dreiecke...
Ist klar: In *jedem* Dreieck gilt a > 2*rho.
Der Wert a = 2*rho wird z.B. angenommen im rechtwinkligen Dreieck mit
x = rho, y = rho + 1, z = rho*(2*rho + 1)
aber nicht (immer) nur fuer diese Dreiecke.
[4.] max( a | (a,b,c) in S(rho) }:
VERMUTUNG:
> amax schaut ganz stark nach 2*rho^2+1 (OEIS A058331) aus.
max(a) wird wahrscheinlich nur im Dreieck mit
x = 1, y = 2*rho^2, z = 2*rho^2 + 1
angenommen.
[5.] min( b | (a,b,c) in S(rho) }:
> bmin ist neu und noch erklaerungsbeduerftig.
Die ersten 100 Gleider lauten:
4, 8, 10, 14, 20, 20, 28, 28, 30, 39,
44, 40, 52, 56, 50, 56, 68, 60, 76, 70,
70, 87, 92, 80, 100, 100, 90, 97, 116, 100,
124, 112, 110, 136, 120, 120, 148, 152, 130, 140,
164, 140, 172, 154, 150, 184, 188, 160, 196, 174,
170, 182, 212, 180, 196, 189, 190, 232, 236, 200,
244, 248, 210, 224, 225, 220, 268, 238, 230, 240,
284, 240, 292, 296, 250, 266, 260, 260, 316, 269,
270, 328, 332, 280, 292, 344, 290, 300, 356, 300,
312, 322, 310, 376, 333, 320, 388, 392, 330, 348.
Ueber die Dreiecke, in denen b minimal wird, kann ich nicht viel sagen:
Vielleicht versuchen die Dreieck "moeglichst gleichseitig" zu sein. -
Keine Ahnung!
Ein paar Beispiele im Format
"rho, [[[z,y,x],[c,b,a]]]":
1, [[[1, 2, 3], [5, 4, 3]]]
2, [[[2, 4, 6], [10, 8, 6]]]
3, [[[4, 6, 6], [12, 10, 10]]]
4, [[[6, 7, 8], [15, 14, 13]]]
5, [[[5, 10, 15], [25, 20, 15]]]
6, [[[8, 12, 12], [24, 20, 20]]]
7, [[[7, 14, 21], [35, 28, 21]]]
8, [[[12, 14, 16], [30, 28, 26]]]
9, [[[12, 18, 18], [36, 30, 30]]]
10, [[[15, 15, 24], [39, 39, 30]]]
11, [[[11, 22, 33], [55, 44, 33]]]
12, [[[16, 24, 24], [48, 40, 40]]]
[6.] max( b | (a,b,c) in S(rho) }:
VERMUTUNG ODER OFFENSICHTLICH(?):
> bmax ist offensichtlich (rho^2+1)^2 (OEIS A082044).
Gleichheitsfaelle sollten die gleichen Dreiecke sein,
die auch c maximieren - siehe [8.].
[7.] min( c | (a,b,c) in S(rho) }:
> cmin ist neu und zu erklaeren,
Wieder eine mehr zahlentheoretische Folge:
5, 10, 12, 15, 25, 24, 35, 30, 36, 39,
55, 45, 65, 63, 53, 60, 85, 68, 95, 75,
77, 88, 115, 85, 125, 130, 108, 105, 145, 106,
155, 120, 132, 170, 137, 135, 185, 190, 156, 150,
205, 154, 215, 165, 159, 230, 235, 170, 245, 195,
204, 195, 265, 204, 200, 195, 228, 290, 295, 212,
305, 310, 231, 240, 247, 264, 335, 255, 276, 267,
355, 255, 365, 370, 265, 285, 281, 295, 395, 289,
324, 410, 415, 299, 357, 430, 348, 330, 445, 318,
327, 345, 372, 470, 371, 340, 485, 441, 396, 375, ...
Wenn die Einschraenkung auf ganze Zahlen nicht waere,
wuerde das Minimum im gleichseitigen Dreieck mit
a = b = c = rho * 2/sqrt(3)
angenommen werden.
Die Dreiecke, in denen min(c) angenommen wird, sind also
"ganzzahlige Versionen von gleichseitigen Dreiecken
mit Inkreisradius rho."
Wieder ein paar Beispiele fuer Gleichheitsfaelle:
rho, [[[z,y,x],[c,b,a]]]
1, [[[1, 2, 3], [5, 4, 3]]]
2, [[[2, 4, 6], [10, 8, 6]]]
3, [[[4, 6, 6], [12, 10, 10]]]
4, [[[6, 7, 8], [15, 14, 13]]]
5, [[[5, 10, 15], [25, 20, 15]]]
6, [[[8, 12, 12], [24, 20, 20]]]
7, [[[7, 14, 21], [35, 28, 21]]]
8, [[[12, 14, 16], [30, 28, 26]]]
9, [[[12, 18, 18], [36, 30, 30]]]
10, [[[15, 15, 24], [39, 39, 30]]]
11, [[[11, 22, 33], [55, 44, 33]]]
12, [[[18, 21, 24], [45, 42, 39]]]
Man kann beweisen, dass, *wenn rho gleich 1 oder eine Primzahl ist*
(aber nicht nur in diesen Faellen), das optimale Dreieck
das (rechtwinklige(!)) "gleichseitige Dreieck fuer Arme"
(a,b,c) = (rho*3, rho*4, rho*5)
ist und min(c) = 5*rho.
[8.] max( c | (a,b,c) in S(rho) }:
> cmax ist wie von Joseph Myers bewiesen hat rho^4+3*rho^2+1 (OEIS A057721).
Danke, dass Du mir den Beweis gemailt hast! - Mir ist aufgefallen,
dass ich meine Heuristik auch zu einem Beweis ausbauen kann:
Zuerst einmal bemerkt man, dass z zwischen 1 und rho*sqrt(3) liegen muss,
letzteres wegen
z = rho / tan(gamma/2) <= rho / tan(Pi/6),
da gamma der groesste Winkel im Dreieck ist.
Aus der Gleichung
xyz = rho^2 (x + y + z)
folgt
(zx - rho^2) ( zy - rho^2) = rho^2 z^2 + rho^4;
und daraus, sofern (zx - rho^2) nicht negativ ist:
(zx - rho^2) + (zy - rho^2)
<= (zx - rho^2) ( zy - rho^2) + 1
= rho^2 z^2 + rho^4 + 1,
also
c = x + y <= rho^2 z + ( rho^4 + 2 rho^2 + 1)/z.
Die rechte Seite dieser Ungleichung wird maximal
an einer der Extremstellen fuer z, also fuer z = 1
oder fuer z "=" rho*sqrt(3):
c <= max( rho^2 + ( rho^4 + 2 rho^2 + 1),
rho^3*sqrt(3) + ( rho^3 + 2 rho + 1/rho)/sqrt(3) )
Fuer rho > 1/sqrt(3), also *immer*,
ist der erste Term groesser als der zweite.
Falls dagegen (zy - rho^2) und (zx - rho^2) negativ sind,
folgt
c = x + y < 2 rho^2 / z <= 2 rho^2
und damit erst recht:
+--------------------------+
| c <= rho^4 + 3 rho^2 + 1 |
+--------------------------+
mit Gleichheit genau dann, wenn
z = 1, zy - rho^2 = 1, zx - rho^2 = rho^2 z^2 + rho^4.
>> x = rho^2 + 1
>> y = rho^2 + rho^4 + rho^2
>>
>> (a,b,c) = ( (rho^2 + 1)^2, rho^2 + 2, rho^4 + 3 rho^2 + 1 )
q.e.d.
[9.]-[12.] min bzw. max von x, y bzw. z ueber S(rho)
...
> Fazit: Der Tipp in schule.mathe, mal in unsere Gruppe rueberzuposten,
> war doch gar nicht so uebel ;-)
Fuer uns schon, ;-) aber fuer Ulrich weniger,
wenn er, wie ich vermute, eigentlich an der vollstaendigen
Loesungsmenge interessiert war.
Noch einen schoenen Abend
Thomas
Hugo Pfoertner
>
> Hi Hugo! Hi alle anderen! ;-)
> In news:<1150108808.6...@c74g2000cwc.googlegroups.com>
> schrieb HP <yae...@netscape.net>:
> > Thomas Mautsch wrote:
> >> HP schrieb:
> >> >> "Ulrich Diez" <eu_an...@web.de.invalid> schrieb:
>
> >> >> > Wie finde ich zu einem vorgegebenen ganzzahligen Inkreisradius alle
> >> >> > Dreiecke mit ganzzahligen Seitenlängen?
> >>
> >> [ ... ]
> >> > Die entsprechende huebsche Folge "Zahl voneinander verschiedener
> >> > Dreiecke mit ganzzahligen Seitenlaengen a<=b<c mit ganzzahligem
> >> > Inkreisradius" hab ich auf Anhieb nicht in der OEIS gefunden.
>
> ... und daraufhin die neue Folge A120062 ins Leben gerufen. ;-)
> Das war eigentlich das, worauf meine "Frage" abzielte:
>
> >> Sagt uns die Folge
> >>
> >> 1, 5, 13, 18, 15, 45, 24, 45, 51, 52, 26, 139, ...
> >>
> >> etwas??
>
> Apropos A120062 - waere es nicht an der Zeit, Deinen Eintrag
> von gestern auf den neuesten Stand zu bringen? Ich bin eher ein
> O.E.I.S.-Laie; da waere es schoen, wenn Du vielleicht so gut waerst,
> die Folgen, die wir hier diskutieren, einzutragen.
Selber eintragen kann ich gar nichts; neue Folgen uebernimmt Neil Sloane
meist relativ schnell (nach ca. 1-3 Tagen). Kommentare zu existierenden
Folgen brauchen manchmal 2-3 Wochen. Ab naechste Woche ist aber eine
4-woechige Pause angekuendigt.
>
> Apropos Laie: Besten Dank auch fuer den Hinweis auf "Superseeker". -
> Liefert der bei den noch offenen Folgen (cmin etc.) brauchbare Ergebnisse?
Bei cmin mit der Eingabe
lookup 12 15 25 24 35 30 36 39 55
absolute Fehlanzeige.
Jeder kann selbst Superseeker anschmeissen, aber bitte erst, nachdem er
ueber die normale Suchfunktion der OEIS keinen Erfolg hatte. Pro
E-mail-Adresse akzeptiert superseeker (at) research.att.com einmal pro
Stunde eine Einreichung.
Auch selbst eine OEIS-Folge einzureichen, ist kein Hexenwerk. Mit dem
dafuer vorgesehen Web-Formular und den mehr als 10^5 Beispielen, aus
denen man sich einfach die stilistisch schoensten als Vorlage raussuchen
kann (bzw. solche mit Autor "njas" ;-), geht das nach ein bisschen
Uebung ziemlich einfach.
>
> >> > Daraus kann man dann weitere Folgen konstruieren, wie "minimal
> >> > moegliche Laenge der laengsten Seite c eines der moeglichen Dreiecke
> >> > mit ganzzahligen Seitenlaengen und gegebenem ganzzahligem Inkreisradius
> >> > n" bzw. analog "maximal moegliche Laenge ...."
> [ ... ]
> > Inzwischen hab ich Ergebnisse bis Inkreisradius 10,
> [ ... ]
>
> Das kapiere ich nicht ganz. - Mir hat Maple innerhalb einer knappen
> Dreiviertelstunde saemtliche Daten bis Inkreisradius rho = 100 ausgespuckt.
Ich hab in der Mittagspause ein paar Zeilen Programm mit 3 Loops ueber
die Seiten in den Rechner gehackt, weil ich neugierig war. Da wird ganz
blindwuetig alles durchprobiert, bis ein ganzzahliges Rho gefunden wird.
Schnell ist dann nur die Hardware.
>
> Zur Zusammenfassung:
>
> Fuer gegebenes rho in {1,2,3,...} haben wir die Mengen
>
> U(rho) := { (a,b,c) | es gibt ein Dreieck
> mit ganzzahligen Seiten
> a,b,c und Inkreisradius rho }
>
> S(rho) := { (a,b,c) in U(rho) | a <= b <= c }
>
> Man kann zeigen, dass zu (a,b,c) in U(rho) stets
> positive ganze Zahlen x,y,z existieren, so dass gilt
>
> a = y + z, b = z + x, c = x + y;
>
> und die Bedingung an (a,b,c) laesst sich in (x,y,z) aequivalent
> ausdruecken als
>
> x y z = rho^2 (x + y + z).
>
> Die Bedingung a <= b <= c ist aequivalent zu z <= y <= x.
>
> Jetzt kann man folgende Folgen bilden:
>
> [1.] # U(rho): Die ersten 42 Glieder der Folge lauten
>
> 6, 30, 75, 105, 90, 267, 144, 267, 303, 309,
> 156, 825, 186, 480, 654, 531, 198, 1101, 204, 864,
> 1104, 618, 252, 1857, 390, 576, 837, 1347, 216, 2265,
> 276, 1011, 1263, 696, 1035, 2976, 228, 738, 1257, 1959,
> 264, 3351.
>
> Die Folge ist nicht im O.E.I.S.
Solltest Du eigentlich selber einreichen; ich geb gern Starthilfe.
Wenn ich das einreiche, kommst Du als Autor mit ins Boot.
Wie gesagt, Superseeker absolut ratlos; reich ich ein, mit a(10) ff von
Dir. Was ich brauche, ist eine (gueltige) E-mail-Adresse, in der Deine
Beitraege in der OEIS zitiert werden.
Hugo
Hugo Pfoertner
Ist jetzt in der Pipeline; immerhin hat inzwischen David W. Wilson von
den SeqFans die ersten 1000 Terme berechnet. Wenn man in
http://www.research.att.com/~njas/sequences/A120062
auf den kleinen Link "graph" am Ende der Zahlenreihe klickt, bekommt man
eine graphische Darstellung der langen Folge (oder direkt mit
http://www.research.att.com/~njas/sequences/table?a=120062&fmt=5 )
Zu dieser Folge waer's z.B. schoen, wenn Du in der "Program"-Rubrik Dein
Maple-Programm zur Verfuegung stellen koenntest.
Jetzt auf http://www.research.att.com/~njas/sequences/A120064
Jetzt http://www.research.att.com/~njas/sequences/A120063
Hugo Pfoertner
>
> Folgendes Posting habe ich bereits an schule.mathe geschickt.
> Man hat mir dort empfohlen, es auch bei de.sci.math einzustellen.
> mich ob meiner Frage nicht allzusehr schaemen muss.)
>
> Hallo!
>
> Geometrie ist bei mir schon eine Weile her.
>
> Wie finde ich zu einem vorgegebenen ganzzahligen Inkreisradius alle Dreiecke
> Sind da immer auch nicht-rechtwinklige Dreiecke dabei?
>
> Ulrich
Nach den Diskussionen, die wir hier in de.sci.mathematik und parallel
dazu in der Mailing-Liste der "Sequence Fanatics" gefuehrt haben, hat
jetzt Neil Sloane in der OEIS-Folge
http://www.research.att.com/~njas/sequences/A120062
eine Reihe von Links zu den mit dieser Fragestellung zusammenhaengenden
Zahlenfolgen zusammengefasst. Danke an alle, die mitgemacht haben, vor
allem an Thomas Mautsch.
Hugo