Varianten der Variationen
Peter Luschny
in OEIS sinnvoll zu gestalten.
Das Thema läuft seit einigen Tagen unter dem Titel
Kombinationen: Sum[Product[i,{i,n,x}],{n,1,x}]=e*Gamma[x,1]?
Meine Beteiligung liegt auch daran, dass ich von OEIS-Fans
bedroht wurde:
Meine beruechtigte Drohung: "Wenn Du das nicht machst,
dann stelle ich das [gemeint die Folge V2(n)] in die OEIS .."
naja, beinahe bedroht, denn es ging weiter: "..spar ich
mir vorerst mal". Also die Androhung einer Drohung :)
Das einzige was dagegen spricht: Es droht in Arbeit auszuarten :(
Deshalb diese Bitte um Hilfe.
Auf der anderen Seite finde ich, sollte so ein Eintrag
inhaltlich genügend abgesichert sein.
Hier findet ihr eine vorläufige Zusammenfassung:
http://www.luschny.de/math/temp/variationen.html
Teil (I) ist eine abgemagerte Variante des entsprechenden
Eintrags auf OEIS, (II) und (III) sind die nach diesem
Schema zusammengefassten Beiträge bezüglich der Folgen
V2(n) und L(n) (die übrigens bereits gültige OEIS Nummern
haben).
Einträge, Ergänzungen und Kommentare zu irgendeinem der
28 Punkte bitte in der Form II.n bzw. III.n referenzieren,
damit ich sie effizient updaten kann.
Wolfgang, wie kann ich deine Bemerkung "all das erkennt man
sehr leicht an den beiden quadratischen nxn Schemata [...]
deren Zeilenproduktsummen V2(n) bzw. L(n) ergeben" hier
am besten in dieser konzentrierten Form einbauen?
OEIS und die Welt wird es euch danken. Jeder einzelne Beitrag,
der darin eigenständig ausgewiesen wird, wird auch
selbstverständlich mit dem Namen des Posters versehen.
Gruss Peter
Gottfried Helms
> Varianten der Variationen - bitte helft mir zwei Einträge
> in OEIS sinnvoll zu gestalten.
> Hier findet ihr eine vorläufige Zusammenfassung:
> http://www.luschny.de/math/temp/variationen.html
>
> Teil (I) ist eine abgemagerte Variante des entsprechenden
> Eintrags auf OEIS, (II) und (III) sind die nach diesem
> Schema zusammengefassten Beiträge bezüglich der Folgen
> V2(n) und L(n) (die übrigens bereits gültige OEIS Nummern
> haben).
>
> Einträge, Ergänzungen und Kommentare zu irgendeinem der
> 28 Punkte bitte in der Form II.n bzw. III.n referenzieren,
> damit ich sie effizient updaten kann.
Zu III - du ziehst ja offensichtlich lediglich den
2^n-term , der bei
(II) a(n) = (2n+1)*(a(n-1) + 2^n), a(0) = 0.
*in* der Klammer steht, in
(III) a(n+1) = (2*n+1)*a(n) + 2^n (a(0)=0)
nach draußen. In die Klammer zurückgeschrieben wäre das
(III).1 a(n+1) = (2*n+1)*(a(n) + 2^n/(2n+1)) (a(0)=0)
und die closed-form wäre dann eine kleine Modifikation der
closed-form von II.
---
Du hast im vorigen Posting nach weiteren Vereinfachungen
gesucht. Hier nur eine Idee, sehe in keiner Weise ob es
wirklich eine Vereinfachung gibt.
Da in den Funktionen die erf-Funktion auftaucht, habe ich
in meinem Gauss-matrix-artikel noch mal nachgesehen, wo ich
ja für die erf-Funktion (Integral der Gaussschen N-Funktion)
eine Reihenentwicklung gegeben habe, die diese n!! enthält.
Die Reihenentwicklungen für die höheren Integrale enthalten
nun simpel binomiale Kofaktoren, d.h. Gamma-ausdrückbare
Koeffizienten. Eventuell gibt dieser Blickwinkel noch was
her mit dem Ziel der Vereinfachung/Systematisierung.
Ich hatte mal in meinem Sandkasten zu diesem Thema die
erf-Darstellung in eine Summe aus Gamma-Koeffizienten
umgeschrieben - wie gesagt: vielleicht bringt das noch was.
(wenn interessant, stelle ich die Gaussmatrix-sandbox
gerne temporär ins Netz)
Gruß -
Gottfried
http://go.helms-net.de/math/binomial/04_1_gaussmatrix.pdf
(gerade noch geupdated im Integrale-Abschnitt)
Peter Luschny
> Am 18.02.2007 17:24 schrieb Peter Luschny:
>> Varianten der Variationen - bitte helft mir zwei Einträge
>> in OEIS sinnvoll zu gestalten.
Hallo Gottfried,
auch wenn ich nicht sofort auf alles antworten kann,
ich habe alles registriert und im to-do-batchfile.
Vielen Dank jedenfalls für deine tolle Mithilfe.
> Da in den Funktionen die erf-Funktion auftaucht, habe ich
> in meinem Gauss-matrix-artikel noch mal nachgesehen, wo ich
> ja für die erf-Funktion (Integral der Gaussschen N-Funktion)
> eine Reihenentwicklung gegeben habe, die diese n!! enthält.
Jo, da ist noch Luft drin, bei dieser Entdeckungsreise :)
Allerdings habe ich meinen Ausflug zur erf-Funktion (und
den Chancen zur Verallgemeinerung, die sich da ergeben)
ganz nach hinten gelegt, da ich zuerst den kombinatorischen
Teil einfangen will.
Ich habe gerade eine extrem einfache asymptotische
Relation für die V2(n) gefunden. Betrachte dazu
http://peter.luschny.googlepages.com/variationonhalf
Mit diesem Grenzwert
w = 2.85488783585099451789761657842291990
erhalten wir
V2asy(n) = 2^(n+1)*GAMMA(n+3/2)*w;
Beispiel:
Bei n=10 statt 69573667065 approx.
69573669306
Bei n=20 statt 66354194462262066931070375 approx.
66354194462262066933269596
Also bereits bei n=20 fast 20 genaue Dezimalstellen.
Gruss Peter
Hugo Pfoertner
>
> Varianten der Variationen - bitte helft mir zwei Einträge
> in OEIS sinnvoll zu gestalten.
>
> Das Thema läuft seit einigen Tagen unter dem Titel
> Kombinationen: Sum[Product[i,{i,n,x}],{n,1,x}]=e*Gamma[x,1]?
>
> Meine Beteiligung liegt auch daran, dass ich von OEIS-Fans
> bedroht wurde:
OEIS-Fans? Wer waren die anderen? Bisher bin ich davon ausgegangen, dass
es sich bei dem Drohungs-Ankuendiger um einen Folgen-schwer
fanatisierten Einzeltaeter handeln koennte, der auch schon unter dem
Pseudonym "HP" aufgetreten ist.
>
> Meine beruechtigte Drohung: "Wenn Du das nicht machst,
> dann stelle ich das [gemeint die Folge V2(n)] in die OEIS .."
>
> naja, beinahe bedroht, denn es ging weiter: "..spar ich
> mir vorerst mal". Also die Androhung einer Drohung :)
In aehnlicher Weise wurde Mitte 2003 David W. Cantrell bedroht, als es
um seine 2001 in der sci.math.num-analysis vorgestellte
Kettenbruchentwicklung der Gammafunktion ging. Die Drohung wirkte dann
prompt, naemlich im Mai 2006:
http://www.research.att.com/~njas/sequences/A119422
http://www.research.att.com/~njas/sequences/A119423
>
> Das einzige was dagegen spricht: Es droht in Arbeit auszuarten :(
> Deshalb diese Bitte um Hilfe.
>
> Auf der anderen Seite finde ich, sollte so ein Eintrag
> inhaltlich genügend abgesichert sein.
>
> Hier findet ihr eine vorläufige Zusammenfassung:
> http://www.luschny.de/math/temp/variationen.html
Sehr schoen!
Eine Frage zur Verwendung des Wortes "schema" im Englischen: Ich hab das
sonst so noch nicht gesehen. Don Knuth verwendet in seinen TAOCP-Baenden
immer nur den Begriff "scheme".
Leider hab ich zum Thema nichts beizutragen, ausser vielleicht der
Bitte, dass anlaesslich einer Ueberarbeitung der
http://www.research.att.com/~njas/sequences/A007526
auch die angegebenen Web-Verweise entweder aktualisiert oder sonst
entfernt werden. Der erste (Bernoulli) fuehrt immerhin nach einigem
Weiterklicken auf einen Seitenbereich 116 bis 135 mit der
Kapitelueberschrift "Brief ueber das Ballspiel (Jeu de Paume)."
Der mit "page 124" betitelte Verweis
http://www.hti.umich.edu/t/text/gifcvtdir/abz9501.0001.001/00000307.tifs.gif
fuehrt auf "Document Not Found"
Vielleicht kann mir bei der Gelegenheit mal jemand genau erklaeren, auf
welcher Seite der Uebersetzung der "ars conjectandi" denn genau die
zutreffende Verbindung zur A007526 stehen soll. Ich seh's in meiner
Blindheit leider nicht.
Und auch der Verweis auf das INRIA Algorithms Project, ... 165 traegt
mit dem Ergebnis "Sorry, no result in the encyclopedia database" nicht
besonders zur weiteren Erleuchtung bei. Alles leider mal wieder ein
ernuechternder Schnappschuss zum Thema: Wie geht's mit dem Web weiter,
wenn die erste Enthusiasten-Generation durch die cleveren Produzenten
von bunt 3-d animierten Null-Inhalten abgeloest worden ist :((
>
> Teil (I) ist eine abgemagerte Variante des entsprechenden
> Eintrags auf OEIS, (II) und (III) sind die nach diesem
> Schema zusammengefassten Beiträge bezüglich der Folgen
> V2(n) und L(n) (die übrigens bereits gültige OEIS Nummern
> haben).
>
> Einträge, Ergänzungen und Kommentare zu irgendeinem der
> 28 Punkte bitte in der Form II.n bzw. III.n referenzieren,
> damit ich sie effizient updaten kann.
II.8 Im Englischen heisst es sicher nicht "dgl"
>
> Wolfgang, wie kann ich deine Bemerkung "all das erkennt man
> sehr leicht an den beiden quadratischen nxn Schemata [...]
> deren Zeilenproduktsummen V2(n) bzw. L(n) ergeben" hier
> am besten in dieser konzentrierten Form einbauen?
>
> OEIS und die Welt wird es euch danken. Jeder einzelne Beitrag,
> der darin eigenständig ausgewiesen wird, wird auch
> selbstverständlich mit dem Namen des Posters versehen.
Die OEIS selbst wird sich wohl in zahlenreiches Schweigen huellen, aber
als Drohungs-verantwortlicher SeqFan sage ich ganz laut:
DANKE !
Hugo
>
> Gruss Peter
Peter Luschny
> Peter Luschny schrieb:
>> Varianten der Variationen - bitte helft mir zwei Einträge
>> in OEIS sinnvoll zu gestalten.
> OEIS-Fans? Wer waren die anderen?
Ich versuchte die Anonymität der Person zu wahren.
> In aehnlicher Weise wurde Mitte 2003 David W. Cantrell bedroht, als es
Serientäter bekommen bekanntlich keine Bewährung!
>> Hier findet ihr eine vorläufige Zusammenfassung:
>> http://www.luschny.de/math/temp/variationen.html
> Eine Frage zur Verwendung des Wortes "schema" im Englischen: Ich hab das
> sonst so noch nicht gesehen. Don Knuth verwendet in seinen TAOCP-Baenden
> immer nur den Begriff "scheme".
Ja, das muss ich mal korrigieren. Den ersten Entwurf tippe ich
immer schneller ein als ich denken kann und die TAOCPs trage ich
auch nicht immer unterm Arm (meistens natürlich schon).
> Leider hab ich zum Thema nichts beizutragen, ausser vielleicht der
> Bitte, dass anlaesslich einer Ueberarbeitung der
> http://www.research.att.com/~njas/sequences/A007526
Das hatte ich gar nicht vor :-) Das hatte mir nur als eine Art
Blaupause gedient um den Stoff meiner drei Einträge zu gliedern.
> auch die angegebenen Web-Verweise entweder aktualisiert oder sonst
> entfernt werden.
Das stimmt. Also wird es in einem Aufwasch mitgemacht.
> Der erste (Bernoulli) fuehrt immerhin nach einigem
> Weiterklicken auf einen Seitenbereich 116 bis 135 mit der
> Kapitelueberschrift "Brief ueber das Ballspiel (Jeu de Paume)."
> Der mit "page 124" betitelte Verweis
> http://www.hti.umich.edu/t/text/gifcvtdir/abz9501.0001.001/00000307.tifs.gif
> fuehrt auf "Document Not Found"
> Vielleicht kann mir bei der Gelegenheit mal jemand genau erklaeren, auf
> welcher Seite der Uebersetzung der "ars conjectandi" denn genau die
> zutreffende Verbindung zur A007526 stehen soll. Ich seh's in meiner
> Blindheit leider nicht.
Ja, da geht einiges durcheinander, Abschnitte und Seitenummern und
was weiß ich. Richtig ist:
[124] Kapitel VII. Variationen ohne Wiederholung. (Seite 121)
> Und auch der Verweis auf das INRIA Algorithms Project, ... 165 traegt
> mit dem Ergebnis "Sorry, no result in the encyclopedia database" nicht
> besonders zur weiteren Erleuchtung bei.
Ja, schade. Aber seit Philippe Flajolet nicht mehr Regie führt...
"Please contact Virginie Collette."
> Die OEIS selbst wird sich wohl in zahlenreiches Schweigen huellen, aber
Leider nur zu wahr. Meine Idee war, den Link zum 'Incubator'
den SeqFans vor Veröffentlichung zugänglich zu machen um Kritk,
Ergänzungen etc. im Vorfeld zu ermöglichen.
Also hatte ich mich angemeldet:
Votre demande d'abonnement (ou de désabonnement) a été
envoyée aux propriétaires de la liste pour examen.
Vous recevrez une notification lorsque ceux-ci vous
auront abonné (ou désabonné) à la liste.
Offenbar habe ich aber das 'examen' nicht bestanden :)
Kannst du das vielleicht machen? Einfach die Seite auf
der Liste bekannt geben. Wenn jemand noch etwas beitragen
will kann er mich anschreiben. Ich lass das noch 14 Tage
stehen bevor ich es abschicke.
Und es gäbe noch viel zu tun:
Die GFs von Var2 (A128195) und von (A128197) fehlen noch,
eine Rekursion (A128197) fehlt (Zeilberger's Algorithmus
http://en.wikipedia.org/wiki/Doron_Zeilberger
scheint zu scheitern), und natürlich die kombinatorische
Interpretation, obwohl diese offenbar bereits gesichtet
wurde ...
>> Wolfgang, wie kann ich deine Bemerkung "all das erkennt man
>> sehr leicht an den beiden quadratischen nxn Schemata [...]
>> deren Zeilenproduktsummen V2(n) bzw. L(n) ergeben" hier
>> am besten in dieser konzentrierten Form einbauen?
Daher erneuere ich diese Frage gerne noch einmal.
Gruss Peter
Peter Luschny
> Varianten der Variationen
> Hier findet ihr eine vorläufige Zusammenfassung:
> http://www.luschny.de/math/temp/variationen.html
> Einträge, Ergänzungen und Kommentare ?
Progress :)
'Variations on half' /(2*n+1) ist die Summe
der n-ten Zeile im folgenden Dreieck:
1,
1, 2
3, 6, 4
15, 30, 20, 8
105, 210, 140, 56, 16
945, 1890, 1260, 504, 144, 32
10395, 20790, 13860, 5544, 1584, 352, 64
135135, 270270, 180180, 72072, 20592, 4576, 832, 128
2027025, 4054050, 2702700, 1081080, 308880, 68640, 12480, 1920, 256
Ist es nicht hübsch, dieses Dreieck? In der ersten Spalte
steht die Doppelfakultät (ich werde einen 2*Fünfbänder über
die Doppelfakultät schreiben, yeah) und in der Diagonal 2^n.
Wenn es sonst keiner für sich reklamiert, werde ich es
äh.. Luschny Dreieck nennen. Warum nicht? Blaise hatte
eins, warum soll Peter keins haben?
Ich denke das könnte der Durchbruch zur kombinatorischen
Interpretation sein. Wer sieht sie?
Gruss Peter
Gottfried Helms
> Peter Luschny schrieb:
>
>> Varianten der Variationen
>> Hier findet ihr eine vorläufige Zusammenfassung:
>> http://www.luschny.de/math/temp/variationen.html
>> Einträge, Ergänzungen und Kommentare ?
>
> Progress :)
>
> 'Variations on half' /(2*n+1) ist die Summe
> der n-ten Zeile im folgenden Dreieck:
>
> 1,
> 1, 2
> 3, 6, 4
> 15, 30, 20, 8
> 105, 210, 140, 56, 16
> 945, 1890, 1260, 504, 144, 32
> 10395, 20790, 13860, 5544, 1584, 352, 64
> 135135, 270270, 180180, 72072, 20592, 4576, 832, 128
> 2027025, 4054050, 2702700, 1081080, 308880, 68640, 12480, 1920, 256
>
Hmm, eine kleine Systematisierung:
1,
1, 1
3, 3, 1
15, 15, 5, 1
105, 105, 35, 7, 1
945, 945, 315, 63, 9, 1
10395, 10395, 3465, 693, 99, 11, 1 * diag(1,2,4,8,...)
und dann kann man noch den Quotienten zwischen den Einträgen
jeder Spalte betrachten:
a0 . . .
a1 a1/1 . .
a2 a2/1 a2/(1*3) .
a3 a3/1 a3/(1*3) a3/(1*3*5)
oder, was womöglich sinnvoller ist:
1 . . .
1!! 1!!/1!! . .
3!! 3!!/1!! 3!!/3!! .
5!! 5!!/1!! 5!!/3!! 5!!/5!!
also zusammen
(definiere:
V(2) = diag([1,2,4,8,....]
DF = diag ( [1,1!!,3!!,5!!,...]
Drei= [1 0 0 0 ...]
1 1 0 0 ...
1 1 1 0 ...
)
Luschny =
PL = DF * Drei * DF^-1 * V(2)
Die Inverse ist dann
(definiere noch
J = diag(1,-1,1,-1,1,-1...)
I0 = diag(1,1,1,1,...)
I1 = subdiag(1;I0)
)
PL = DF * Drei * DF^-1 * V(2)
PL^-1 = V(1/2) * DF * Drei^-1 * DF^-1
= V(1/2) * DF * (I0-I1) * DF^-1
= V(1/2) - V(1/2) * DF *I1* DF^-1
( diagonale) ( 1. subdiagonale )
und ist dann
PL^-1=
1 . . . . . . .
-3/2 1/2 . . . . . .
0 -5/4 1/4 . . . . .
0 0 -7/8 1/8 . . . .
0 0 0 -9/16 1/16 . . .
0 0 0 0 -11/32 1/32 . .
0 0 0 0 0 -13/64 1/64 .
0 0 0 0 0 0 -15/128 1/128
Eigenmatrix PL_ew =
1 . . . . . . .
-3 1 . . . . . .
5 -5 1 . . . . .
-5 35/3 -7 1 . . . .
3 -15 21 -9 1 . . .
-33/31 11 -33 33 -11 1 . .
143/651 -143/31 143/5 -429/7 143/3 -13 1 .
-715/27559 715/651 -429/31 429/7 -715/7 65 -15 1
so daß
PL = PL_ew * V(2) * PL_ew^-1
mit der bemerkenswerten Komposition der Spalten:
Spalte 0 Komposition
1
3 3 / 1
5 5*3 / 3
5 . 7*5*3 / 7*3
3 9*7*5*3 / 15*7*3
33/31 11*9*7*5*3 / 31*15*7*3
143/651 13*11*9*7*5*3 / 63*31*15*7*3.
715/27559 15*13*11*9*7*5*3 /127*63*31*15*7*3
Spalte 1 Komposition
0 0 / 3
1 3 / 3
5 5*3 / 1 *3
35/3 7*5*3 / 3*1 *3
15 9*7*5*3 / 7*3*1 *3
11 11*9*7*5*3 / 15*7*3*1 *3
143/31 13*11*9*7*5*3 / 31*15*7*3*1 *3
715/651 15*13*11*9*7*5*3 /63*31*15*7*3*1 *3
>
> Wenn es sonst keiner für sich reklamiert, werde ich es
> äh.. Luschny Dreieck nennen. Warum nicht? Blaise hatte
> eins, warum soll Peter keins haben?
>
Nur zu.
P.s. Wäre ein nettes Übungfeld für Generating functions.
Was wäre die GF oder EGF z.B. für die erste Spalte von PL?
Gruß -
Gottfried
Hugo Pfoertner
>
[...]
> Leider nur zu wahr. Meine Idee war, den Link zum 'Incubator'
> den SeqFans vor Veröffentlichung zugänglich zu machen um Kritk,
> Ergänzungen etc. im Vorfeld zu ermöglichen.
>
> Also hatte ich mich angemeldet:
>
> Votre demande d'abonnement (ou de désabonnement) a été
> envoyée aux propriétaires de la liste pour examen.
> Vous recevrez une notification lorsque ceux-ci vous
> auront abonné (ou désabonné) à la liste.
>
> Offenbar habe ich aber das 'examen' nicht bestanden :)
Wenn Du tatsaechlich in den Haufen reinwillst, schreibst Du am besten
persoenlich an den Olivier Gérard; Adresse steht auf
http://www.seqfan.net/
>
> Kannst du das vielleicht machen? Einfach die Seite auf
> der Liste bekannt geben. Wenn jemand noch etwas beitragen
> will kann er mich anschreiben. Ich lass das noch 14 Tage
> stehen bevor ich es abschicke.
Ist erledigt; bisher allerdings ohne Reaktion.
Hugo
[...]
Peter Luschny
>> Peter Luschny schrieb:
>> 'Variations on half' /(2*n+1) ist die Summe
>> der n-ten Zeile im folgenden Dreieck:
>> 1,
>> 1, 2
>> 3, 6, 4
>> 15, 30, 20, 8
>> 105, 210, 140, 56, 16
>> 945, 1890, 1260, 504, 144, 32
>> 10395, 20790, 13860, 5544, 1584, 352, 64
>> 135135, 270270, 180180, 72072, 20592, 4576, 832, 128
>> 2027025, 4054050, 2702700, 1081080, 308880, 68640, 12480, 1920, 256
> Hmm, eine kleine Systematisierung:
> 1,
> 1, 1
> 3, 3, 1
> 15, 15, 5, 1
> 105, 105, 35, 7, 1
> 945, 945, 315, 63, 9, 1
> 10395, 10395, 3465, 693, 99, 11, 1 * diag(1,2,4,8,...)
Yes.
> 1 . . .
> 1!! 1!!/1!! . .
> 3!! 3!!/1!! 3!!/3!! .
> 5!! 5!!/1!! 5!!/3!! 5!!/5!!
Yes.
> also zusammen
> (definiere:
> V(2) = diag([1,2,4,8,....]
> DF = diag ( [1,1!!,3!!,5!!,...]
> Drei= [1 0 0 0 ...]
> 1 1 0 0 ...
> 1 1 1 0 ...
> )
> Luschny =
> PL = DF * Drei * DF^-1 * V(2)
Ach, dass ich das noch erleben darf! Die Peter-Matrix!
> Die Inverse ist dann
> PL^-1=
> 1 . . . . . . .
> -3/2 1/2 . . . . . .
> 0 -5/4 1/4 . . . . .
> 0 0 -7/8 1/8 . . . .
> 0 0 0 -9/16 1/16 . . .
> 0 0 0 0 -11/32 1/32 . .
> 0 0 0 0 0 -13/64 1/64 .
> 0 0 0 0 0 0 -15/128 1/128
Yes.
> mit der bemerkenswerten Komposition der Spalten:
> Spalte 0 Komposition
> 1
> 3 3 / 1
> 5 5*3 / 3
> 5 . 7*5*3 / 7*3
> 3 9*7*5*3 / 15*7*3
> 33/31 11*9*7*5*3 / 31*15*7*3
> 143/651 13*11*9*7*5*3 / 63*31*15*7*3.
> 715/27559 15*13*11*9*7*5*3 /127*63*31*15*7*3
> Spalte 1 Komposition
> 0 0 / 3
> 1 3 / 3
> 5 5*3 / 1 *3
> 35/3 7*5*3 / 3*1 *3
> 15 9*7*5*3 / 7*3*1 *3
> 11 11*9*7*5*3 / 15*7*3*1 *3
> 143/31 13*11*9*7*5*3 / 31*15*7*3*1 *3
> 715/651 15*13*11*9*7*5*3 /63*31*15*7*3*1 *3
Bravo Gottfried :-) Die Gräten des Fisches liegen abgenagt
da. Bleibt die Frage: Wie heißt der Fisch? Sprich: Was ist
nun die kombinatorische Bedeutung des Ganzen?
> P.s. Wäre ein nettes Übungfeld für Generating functions.
> Was wäre die GF oder EGF z.B. für die erste Spalte von PL?
E.g.f.: 1/sqrt(1-2x). Von
http://www.research.att.com/~njas/sequences/A001147
Gruss Peter
Peter Luschny
Ist schon auf der Thread-begleitenden Seite registriert.
> 1
> 1!! 1!!/1!!
> 3!! 3!!/1!! 3!!/3!! .
> 5!! 5!!/1!! 5!!/3!! 5!!/5!!
Nur nebenbei: Nimmt man, und das ist üblich so, per definitionem
noch (-1)!! = 1 dazu, wird daraus
(-1)!!/(-1)!!
1!!/(-1)!! 1!!/1!!
3!!/(-1)!! 3!!/1!! 3!!/3!!
und wieder hast du es geschafft, wie in deinem anderen
aktuellen Thread, die -1 zum Eckpfeiler deiner Matrix-
Überlegungen zu machen :)
Peter Luschny
> Peter Luschny schrieb:
>> Offenbar habe ich aber das 'examen' nicht bestanden :)
> Wenn Du tatsaechlich in den Haufen reinwillst,
Das klingt nicht gerade ermunternd.. :-)
Eigentlich war ich nur mal neugierig zu sehen,
was für Reaktionen da kommen.
> Ist erledigt; bisher allerdings ohne Reaktion.
Merci
Thomas Mautsch
> Hugo Pfoertner schrieb:
>> Peter Luschny schrieb:
>>> Varianten der Variationen - bitte helft mir zwei Einträge
>>> in OEIS sinnvoll zu gestalten.
>>> Hier findet ihr eine vorläufige Zusammenfassung:
>>> http://www.luschny.de/math/temp/variationen.html
Ehrlich gesagt, verstehe ich Eure Begeisterung nicht.
Was Ihr da macht, sieht wie pure Numerologie aus:
Wem soll es nuetzen, Folgen wie "V2" und "L" in der OEIS zu haben? -
Ihr habt keine (kombinatorische) Bedeutung dieser Zahlen,
undes sind auch keine Werte, die einem beim Rechnen
mit Fakultaeten, Gammafunktionen, etc. einfach so begegnen werden,
ausser man loest _exakt_ die Rekursionsgleichung,
mit der Peter sie definiert hat.
Um es noch einmal anders auszudruecken:
Wenn z.B. "V2" in der OEIS steht, was haelt uns dann davon ab,
in einem Generalrundumschlag *saemtliche Folgen*,
die einer Rekursion der Form
a(n) = (ganzz.Polynom)(n) * a(n-1) + R(n),
erfuellen, auch mit aufzunehmen,
wobei P ein Polynom mit ganzzahligen Werten ist
und R eine beliebige Folge ganzer Zahlen ist,
die eine homogene lineare Rekursionsgleichung loest?
Auch jede solche Folge laesst sich prinzipiell
als Kombination aus Gamma-/hypergeometrischen Funktionen
schreiben (wenn man die Nullstellen von P ordentlich hinschreiben kann).
Niemand interessiert sich fuer diese Art von Folgen, ausser
sie haben zusaetzlich noch spezielle andere Eigenschaften,
die sie auszeichnen.
Auf Peters Seite sehe ich keine derartigen Eigenschaften,
nur relativ direkte Folgerungen aus der Rekursionsgleichung -
wie, z.B., mehr weniger einfache explizite Loesungsformeln,
Asymptotiken, erzeugende Funktionen und sogar noch
die "Binomialtransformation" dieser Folgen, die, wenn man
sie nicht als Zahlen, sondern in Formeln ausschreiben wuerde,
wohl *komplizierter* waere als die Formel fuer die Folge selbst.
(Beim letzten Punkt bin ich wegen des Auftretens des Faktors k^(n+1)
nicht ganz sicher. - Der koennte sich beim _mehrfachen_ Anwenden
der Binomialtransformation (k- oder (k+1)-mal?) eventuell vereinfachen.)
> Und es gäbe noch viel zu tun:
>
> Die GFs von Var2 (A128195) und von (A128197) fehlen noch,
> eine Rekursion (A128197) fehlt (Zeilberger's Algorithmus
> http://en.wikipedia.org/wiki/Doron_Zeilberger
> scheint zu scheitern),
Warum laesst Du die GFn und die linearen DGln 1. Ordnung,
denen sie genuegen, nicht von Maple ausrechnen?
Zu Punkt (0):
VarScheme(k,n) = k^(n+1) * (
- exp(1) * GAMMA(n+1+k) * GAMMA(1/k,1) / GAMMA(1/k)
+ exp(1) * (n+1/k) * GAMMA(n+1/k,1)
+ GAMMA(n+1+k) / GAMMA(1/k)
)
Diese Formel ist aber auch nur ein Verstecken der
eigentlich einfacheren Summen aus der Loesungsformel
der Rekursion
VarScheme(k,n) = (n*k+1) * ( VarScheme(k,n-1) + k^n),
VarScheme(k,0) = 1,
d.h. aus
VarScheme(k,n) = (n*k+1) * k^n
+ (n*k+1) * (n*k-k+1) * k^(n-1)
+ (n*k+1) * (n*k-k+1) * (n*k-2*k-1) * k^(n-2)
+ ...
[insgesamt (n+1) Summanden aus jeweils (n+1) Faktoren],
in GAMMA(_,1)-Funktionen.
Dieser Formel entsprechend waere es vielleicht bedenkenswert,
in Punkt (II.5) etc. alle Vorkommen von "erfc(1)"
der konsistenteren Schreibweise halber durch "GAMMA(1/2,1)/GAMMA(1/2)"
zu ersetzen. Vielleicht...
Die k-ten Spalten von VarScheme(k,n) sind uebrigens,
wie man aus der Summenproduktformel oben ablesen kann,
Polynome vom Grad (k+1) in n, die durch den Faktor (n*k+1) teilbar sind:
VarScheme(1,n) = (n+2)^2
VarScheme(2,n) = (2*n+3)*(2*n^2+6*n+5)
VarScheme(3,n) = (3*n+4)*(5*n^3+21*n^2+31*n+16)
VarScheme(4,n) = (4*n+5)*(16*n^4+87*n^3+183*n^2+176*n+65)
VarScheme(5,n) = (5*n+6)*(65*n^5+433*n^4+1177*n^3+1629*n^2+1145*n+326)
etc...
*Hier* wuerde es sich unter Umstaenden "lohnen",
die Binomialtransformation hinzuschreiben -
unter Umstaenden aber auch nicht... ;-(
> und natürlich die kombinatorische
> Interpretation, obwohl diese offenbar bereits gesichtet
> wurde ...
Aber nicht von Wolfgang Thumser.
Ich wuerde mich wundern, wenn Ihr eine andere als
die unschoene "Hau-Drauf-direkte-kombinatorische-Interpretation
der Rekursionsformel"
V2(n) = (n*2+1) * ( V2(n-1) + 2^n),
V2(0) = 1,
fuer "V2" erhalten koenntet.
>>> Wolfgang, wie kann ich deine Bemerkung "all das erkennt man
>>> sehr leicht an den beiden quadratischen nxn Schemata (n=4)
97531
97532 7531
97522 bzw. 7521
97222 7221
92222 2221,
>>> deren Zeilenproduktsummen V2(n) bzw. L(n) ergeben" hier
>>> am besten in dieser konzentrierten Form einbauen?
>
> Daher erneuere ich diese Frage gerne noch einmal.
Vergleiche mit der Summenformel fuer VarScheme(k,n) von oben
und auch mit Deinem "Luschny-Dreieck", das dementsprechend
besser "Luschny-Thumser-Dreieck" heissen koennte. - Alles das selbe.
Und noch eine Sache zu den Rekursionen:
Es sind inhomogene lineare Differenzengleichungen vom Grad 1;
fuer die gibt es ein _Standardverfahren_ zur Loesung:
Erst die allgemeine Loesung der homogenen Gleichung ermitteln
und dann mittels Variation der Konstanten
eine partikulaere Loesung der inhomogenen Gleichung ausrechnen. -
Wenn man ueber "V2" in diesem Sinne nachdenkt, kann man auch
auf die Aufspaltung in (2n+1)!! und den Restterm ("L"?) kommen.
Dummerweise hat auch die "L"-Folge
keine von "V2" unabhaengige eigenstaendige Bedeutung...
Gottfried Helms
>
> http://www.luschny.de/math/temp/variationen.html
>
zwei Anmerkungen.
Unter (0) schreibst du:
> Var(x) = if x <= 1 then x else x+v(x-1)*x
> VarScheme(k,n) = k^(n+1)*v(n+1/k)
In der ersten Zeile müßte es wohl
v(x) = if x <= 1 then x else x+v(x-1)*x
-------^
lauten?
Unter (IV) fehlt die rekursive Form.
Hatten wir die noch nicht diskutiert?
Ansonsten:
1, 3, 13, 73, 527, 4775, 52589, 683785, 10257031,...
a(0) = 1
a(n) = (2n-1)*a(n-1) + 2^n
Gruß -
Gottfried
Peter Luschny
> Peter Luschny <ven...@luschny.de>:
> Ehrlich gesagt, verstehe ich Eure Begeisterung nicht.
> Was Ihr da macht, sieht wie pure Numerologie aus:
Sequenceologie?
> Wem soll es nuetzen, Folgen wie "V2" und "L" in der OEIS zu haben? -
Vielleicht sollte ich mal eine Bemerkung zu OEIS dazwischen schieben.
OEIS ist eine Datenbank. Nein, nicht die Folgen sind die Werte.
Das ist ein populärer Irrtum. Die Folgen sind die 'keys'.
Die 'values' sind die Kommentare, Literaturhinweise und Querverweise.
> Ihr habt keine (kombinatorische) Bedeutung dieser Zahlen,
Ja, aber genau darum geht es doch hier: Es ist zumindest mein
Hauptanliegen eine solche kombinatorische Bedeutung zu finden.
Ich habe dies mehrfach im Thread gesagt.
> und es sind auch keine Werte, die einem beim Rechnen
> mit Fakultaeten, Gammafunktionen, etc. einfach so begegnen werden,
Einspruch euer Ehren. Die zentrale Funktion im Hintergrund
ist die doppelte Fakultät und die taucht *sehr* häufig
in allen möglichen Bereichen und Beziehungen auf.
Das fängt an bei den Reihendarstellungen trigonometrischer
Funktionen und wird durch Legendres Verdoppelungsformel
quer durch die gesamte Theorie der Gammafunktion verbreitet.
Dies wird ein wenig verdeckt durch die verschiedenen Notationen
und Darstellungen, die man dabei verwendet.
Typische Anzeichen für ihr Wirken verbirgt sich hinter
Formeln mit n!!, Gamma(n+1/2) und (2*n)!/(n!*2^n).
Vielleicht begegnen einem nicht exakt die Zahlen V2(n)
und L(n), aber im Kontext von OEIS sind diese möglicherweise
nützliche Inseln über die man zu seinem Ziel springen kann.
> ausser man loest _exakt_ die Rekursionsgleichung,
> mit der Peter sie definiert hat.
> Um es noch einmal anders auszudruecken:
> Wenn z.B. "V2" in der OEIS steht, was haelt uns dann davon ab,
> in einem Generalrundumschlag *saemtliche Folgen*,
> die einer Rekursion der Form
>
> a(n) = (ganzz.Polynom)(n) * a(n-1) + R(n),
>
> erfuellen, auch mit aufzunehmen,
Nichts :-) Wenn du dir die Arbeit machen willst, nur zu!
> wobei P ein Polynom mit ganzzahligen Werten ist
> und R eine beliebige Folge ganzer Zahlen ist,
> die eine homogene lineare Rekursionsgleichung loest?
> Auch jede solche Folge laesst sich prinzipiell
> als Kombination aus Gamma-/hypergeometrischen Funktionen
> schreiben (wenn man die Nullstellen von P ordentlich hinschreiben kann).
> Niemand interessiert sich fuer diese Art von Folgen, ausser
> sie haben zusaetzlich noch spezielle andere Eigenschaften,
> die sie auszeichnen.
> Auf Peters Seite sehe ich keine derartigen Eigenschaften,
> nur relativ direkte Folgerungen aus der Rekursionsgleichung -
Ja mei, der OP hat, wenn ich ihn richtig verstanden habe, ja gerade
dazu aufgerufen, nach 'interessanten Eigenschaften' dieser Folgen
zu fahnden. Und selbst wenn wir sie in den nächsten Tagen hier
nicht finden werden, kann man noch immer hoffen, dass sie sich
im Laufe der Zeit auf OEIS ansammeln. Und wenn nicht, auch nicht
schlimm.
Aber ich bin da gar nicht so pessimistisch wie du. Ich betrachte
gerade die Folge 1,2,5,16,65,326,1957,13700,...
Kann sie jetzt aber nicht auf Anhieb identifizieren.
Nun, mit OEIS gelingt es mir. Und zwar mit einer Folgennummer
nahe der 500. Also zumindest vom Erfinder der Datenbank als
zum Kernbereich der interessanten Sequenzen gezählt.
Wie bin ich auf die Folge gekommen? Ich habe in diesem
Zahlendreieck die Zeilensumme berechnet
1
1, 1
1, 2, 2
1, 3, 6, 6
1, 4, 12, 24, 24
1, 5, 20, 60, 120, 120
1, 6, 30, 120, 360, 720, 720
1, 7, 42, 210, 840, 2520, 5040, 5040
Die Einträge im Dreieck sind einfach i!/(i-j)!. So, nun hat
Gottfried das Dreieck
(-1)!!/(-1)!!
1!!/(-1)!! 1!!/1!!
3!!/(-1)!! 3!!/1!! 3!!/3!!
5!!/(-1)!! 5!!/1!! 5!!/3!! 5!!/5!!
betrachtet. Ist ja nicht so unähnlich, formal gesehen. Und die
mit 2^k gewichtete Summe dieser Zeilen ist Folgen-Kandidat A128197.
Also geben wir der Folge mal eine Chance.
> wie, z.B., mehr weniger einfache explizite Loesungsformeln,
> Asymptotiken, erzeugende Funktionen und sogar noch
> die "Binomialtransformation" dieser Folgen, die, wenn man
> sie nicht als Zahlen, sondern in Formeln ausschreiben wuerde,
> wohl *komplizierter* waere als die Formel fuer die Folge selbst.
Ach du liebes bisschen ;) Ich schau mir halt zu einer Folge
gewohnheitsmäßig auch die Binomialtransformation dieser Folge
an, manchmal bringt es etwas, häufig nichts. Meine 'Seite' ist
ein Schmierblatt, da steht das dann halt. Ich habe nicht vor
das in OEIS einzutragen.
> (Beim letzten Punkt bin ich wegen des Auftretens des Faktors k^(n+1)
> nicht ganz sicher. - Der koennte sich beim _mehrfachen_ Anwenden
> der Binomialtransformation (k- oder (k+1)-mal?) eventuell vereinfachen.)
>> Und es gäbe noch viel zu tun:
>> Die GFs von Var2 (A128195) und von (A128197) fehlen noch,
>> eine Rekursion (A128197) fehlt (Zeilberger's Algorithmus
>> http://en.wikipedia.org/wiki/Doron_Zeilberger
>> scheint zu scheitern),
> Warum laesst Du die GFn und die linearen DGln 1. Ordnung,
> denen sie genuegen, nicht von Maple ausrechnen?
Sag sie uns, der OP wird sich freuen und hat einen Eintrag
mehr in seinem Datenblatt, den er, wie er erwähnte, dann auch
gern mit deinem Namen verziert.
> Zu Punkt (0):
> VarScheme(k,n) = k^(n+1) * (
> - exp(1) * GAMMA(n+1+k) * GAMMA(1/k,1) / GAMMA(1/k)
> + exp(1) * (n+1/k) * GAMMA(n+1/k,1)
> + GAMMA(n+1+k) / GAMMA(1/k)
> )
> Diese Formel ist aber auch nur ein Verstecken der
> eigentlich einfacheren Summen aus der Loesungsformel
> der Rekursion
> VarScheme(k,n) = (n*k+1) * ( VarScheme(k,n-1) + k^n),
> VarScheme(k,0) = 1,
Die angegeben Form ist die 'historische Form' aus einem altem
Thread, aus der man noch ablesen kann, wie es zu dieser 'Idee'
kam. Deine ist systematisch und ich habe sie ihr jetzt an die
Seite gestellt.
> d.h. aus
> VarScheme(k,n) = (n*k+1) * k^n
> + (n*k+1) * (n*k-k+1) * k^(n-1)
> + (n*k+1) * (n*k-k+1) * (n*k-2*k-1) * k^(n-2)
> + ...
> [insgesamt (n+1) Summanden aus jeweils (n+1) Faktoren],
> in GAMMA(_,1)-Funktionen.
> Dieser Formel entsprechend waere es vielleicht bedenkenswert,
> in Punkt (II.5) etc. alle Vorkommen von "erfc(1)"
> der konsistenteren Schreibweise halber durch "GAMMA(1/2,1)/GAMMA(1/2)"
> zu ersetzen. Vielleicht...
Ja, kann man machen. Ich bin da immer ein bisschen unschlüssig
bei der Bezeichnung von Konstanten. Gestern habe ich zum Beispiel
aus genau solch einer Überlegung an einer Stelle 1/sqrt(Pi) ersetzt
durch 1/Gamma(1/2). Den einen freut es, den anderen verwirrt es.
Aber konsistenter im Kontext ist es.
> Die k-ten Spalten von VarScheme(k,n) sind uebrigens,
> wie man aus der Summenproduktformel oben ablesen kann,
> Polynome vom Grad (k+1) in n, die durch den Faktor (n*k+1) teilbar sind:
> VarScheme(1,n) = (n+2)^2
> VarScheme(2,n) = (2*n+3)*(2*n^2+6*n+5)
> VarScheme(3,n) = (3*n+4)*(5*n^3+21*n^2+31*n+16)
> VarScheme(4,n) = (4*n+5)*(16*n^4+87*n^3+183*n^2+176*n+65)
> VarScheme(5,n) = (5*n+6)*(65*n^5+433*n^4+1177*n^3+1629*n^2+1145*n+326)
> etc...
> *Hier* wuerde es sich unter Umstaenden "lohnen",
> die Binomialtransformation hinzuschreiben -
> unter Umstaenden aber auch nicht... ;-(
Ja, eher nicht. Und VarScheme(k,n) war eigentlich auch
gar nicht zur Publikation gedacht. Au weja, jetzt bekomme
ich gleich wieder eine Drohung. Ist halt alles auch Arbeit.
>> und natürlich die kombinatorische
>> Interpretation, obwohl diese offenbar bereits gesichtet
>> wurde ...
> Aber nicht von Wolfgang Thumser.
Nicht? Es klang so in meinen Ohren.
> Ich wuerde mich wundern, wenn Ihr eine andere als
> die unschoene "Hau-Drauf-direkte-kombinatorische-Interpretation
> der Rekursionsformel"
> V2(n) = (n*2+1) * ( V2(n-1) + 2^n),
> V2(0) = 1,
> fuer "V2" erhalten koenntet.
Du erzählst uns die unschöne "Hau-Drauf-direkte-kombinatorische
-Interpretation der Rekursionsformel" aber bitte noch.
Wo sie jetzt doch so einen schönen Namen hat.
>>>> Wolfgang, wie kann ich deine Bemerkung "all das erkennt man
>>>> sehr leicht an den beiden quadratischen nxn Schemata (n=4)
> 97531
> 97532 7531
> 97522 bzw. 7521
> 97222 7221
> 92222 2221,
>>>> deren Zeilenproduktsummen V2(n) bzw. L(n) ergeben" hier
>>>> am besten in dieser konzentrierten Form einbauen?
>> Daher erneuere ich diese Frage gerne noch einmal.
> Vergleiche mit der Summenformel fuer VarScheme(k,n) von oben
> und auch mit Deinem "Luschny-Dreieck", das dementsprechend
> besser "Luschny-Thumser-Dreieck" heissen koennte. - Alles das selbe.
Nein, die Priorität gehört Gottfried. Es ist sein Dreieck.
Er hat es nur noch ein zweites Mal gefunden, nachdem ich es
numerologisch obfusciert hatte. Sorry Gottfried :) Aber dafür
hat sein Dreieck durch die !!-Notation natürlich an Attraktivität
gewonnen.
> Und noch eine Sache zu den Rekursionen:
> Es sind inhomogene lineare Differenzengleichungen vom Grad 1;
> fuer die gibt es ein _Standardverfahren_ zur Loesung:
> Erst die allgemeine Loesung der homogenen Gleichung ermitteln
> und dann mittels Variation der Konstanten
> eine partikulaere Loesung der inhomogenen Gleichung ausrechnen. -
Hast du es gemacht?
> Wenn man ueber "V2" in diesem Sinne nachdenkt, kann man auch
> auf die Aufspaltung in (2n+1)!! und den Restterm ("L"?) kommen.
> Dummerweise hat auch die "L"-Folge
> keine von "V2" unabhaengige eigenstaendige Bedeutung...
Ich bin mittlerweile ein großer Fan von Gottfrieds Dreieck
[n!!/k!!]*diag(2^k) und somit der Folge A128197.
Wer liefert uns dazu noch die
"Hau-Drauf-direkte-kombinatorische-Interpretation"?
Peter Luschny
> In der ersten Zeile müßte es wohl
> v(x) = if x <= 1 then x else x+v(x-1)*x
> -------^
> lauten?
> a(0) = 1
> a(n) = (2n-1)*a(n-1) + 2^n
Done. Merci Gottfried!
Peter
Peter Luschny
von Thomas folgend systematisiert auf Gamma(n+1/2,k).
Offen sind nach wie vor die GFs und die kombinatorische
Interpretation. Wer packt's an?
Dazu noch ein Bildchen zur Animation:
http://www.research.att.com/~njas/sequences/a002694.gif
> Hier findet ihr die vorläufige Zusammenfassung:
> http://www.luschny.de/math/temp/variationen.html
Gruss Peter
Gottfried Helms
> Auf zwei Einträge reduziert. Die Konstanten dem Vorschlag
> von Thomas folgend systematisiert auf Gamma(n+1/2,k).
>
> Offen sind nach wie vor die GFs und die kombinatorische
> Interpretation. Wer packt's an?
>
> Dazu noch ein Bildchen zur Animation:
> http://www.research.att.com/~njas/sequences/a002694.gif
>
Die Zeichnung in letzter Spalte fällt nach meinem
Gefühl irgendwie aus der Systematik.
2 Vorschläge:
1. Vorschlag:
In den Spalten haben wir bspw:
k_j = Anzahl der linien, die j Kreuzungspunkte haben
Anzahl Spalte
Punkte 0 1 2 3
----------------------------------------------------------------------
0 gegebene Werte
2 k0=1
4 k0=2 k0=0 k1=2
6 k0=3 k0=1 k1=2 k0=0 k1=2 k2=1 k0=0 k1=0 k2=3
---------------------------------------------------------------------
8 k0=4 k0=2 k1=2 ??? ??? fortschreibung
10
Die Koeffizienten, die sich dann ergeben, sind die Anzahl
der Permutationen in denen diese k_j auftreten können.
Die Fortschreibung in Spalte 1 scheint offensichtlich.
Ab Spalte 2 haben wir die Option, wie wir die
verschiedenen Kombinationen der k0..kj j>1
verwalten /auflisten/summieren wollen.
2. Vorschlag:
Anzahl Spalte
Punkte 0 1 2
----------------------------------------------------------------------
0 gegebene Werte
2 k0=1
4 k0=2 k0=0 k1=2
6 k0=3 k0=1 k1=2 k0=0 k1=2 k2=1
k0=0 k1=0 k2=3
---------------------------------------------------------------------
8 k0=4 k0=2 k1=2 k0=1 k1=2 k2=1 fortschreibung
? ? k0=1 k1=0 k2=3
10 k0=5 k0=3 k1=2 k0=2 k1=2 k2=1
? ? k0=2 k1=0 k2=3
wobei ab n=8 in den Spalten >0 möglicherweise weitere
Summanden hinzukommen, wenn man auch k1 bei einem Eintrag
(n,Spalte) variabel halten will. Das wird dann ein
multidimensionales Schema (Tetraeder in Spalte 1 ??),
was wahrscheinlich den Doppelfaktorials eher angemessen
ist als in Vorschlag 1.
Welche Version ergibt dein Koeffizientenschema? Die zweite
sieht fast besser aus, scheint mir.
Gruß -
Gottfried
Peter Luschny
> Am 24.02.2007 10:36 schrieb Peter Luschny:
>> Offen sind nach wie vor die GFs und die kombinatorische
>> Interpretation. Wer packt's an?
>> Dazu noch ein Bildchen zur Animation:
>> http://www.research.att.com/~njas/sequences/a002694.gif
> Schön!
> Die Zeichnung in letzter Spalte fällt nach meinem
> Gefühl irgendwie aus der Systematik.
> 2 Vorschläge:
Ich komme darauf zurück sobald ich Zeit finde.
Jetzt will ich nur mal schnell deiner schönen
[n!!/k!!]diag(2^k) Darstellung eine weitere
an die Seite stellen:
(n + 1)! Catalan(n)
2^(2k - n) -------------------
(k + 1)! Catalan(k)
Auch nicht schlecht, oder? ;)
Gruss Peter
P.S. Wenn sich auch sonst keiner für Folgen dieser Art
interessiert - wo bleiben eigentlich die 'Rekreativen'?
Peter Luschny
> Am 24.02.2007 10:36 schrieb Peter Luschny:
>> Offen sind nach wie vor die GFs und die kombinatorische
>> Interpretation. Wer packt's an?
>> Dazu noch ein Bildchen zur Animation:
>> http://www.research.att.com/~njas/sequences/a002694.gif
> Schön!
Ich sehe gerade, das ist eine harte Nuss.
Diese Zerlegung von n!! ist höchst interessant, aber
überhaupt nicht einfach. Hier die Fortsetzung des
'Bildchens', abgezählt.
1 = 1
3 = 2+1,
15 = 5+6+3+1,
105 = 14+28+28+20+10+4+1
945 = 42+120+180+195+165+117+70+35+15+5+1,
10395 = 132+495+990+1430+1650+1617+1386+1056+726+451+252+126+56+21+6+1,
Beachte, dass in der ersten Spalte rechts die Catalan-Zahlen stehen.
Ich gehe jetzt wieder auf eine einfachere Darstellung zurück.
Gruss Peter
Peter Luschny
>>> http://www.research.att.com/~njas/sequences/a002694.gif
> Diese Zerlegung von n!! ist höchst interessant, aber
> überhaupt nicht einfach. Hier die Fortsetzung des
> 'Bildchens', abgezählt.
> 1 = 1
> 3 = 2+1,
> 15 = 5+6+3+1,
> 105 = 14+28+28+20+10+4+1
> 945 = 42+120+180+195+165+117+70+35+15+5+1,
> 10395 = 132+495+990+1430+1650+1617+1386+1056+726+451+252+126+56+21+6+1,
Der Vollständigkeit halber:
Auf OEIS stehen unter A067311 die ersten 6+1/2 Fälle, auf meiner Seite
jetzt die ersten 10. Auf der OEIS Seite fehlt leider auch ein Hinweis auf:
John Riordan, "The Distribution of Crossings of Chords Joining
Pairs of 2n Points on a Circle". Mathematics of Computation,
Vol. 29, No. 129 (Jan., 1975), pp. 215-222
Gruss Peter
Peter Luschny
>> Peter Luschny schrieb:
>> 1,
>> 1, 2
>> 3, 6, 4
>> 15, 30, 20, 8
>> 105, 210, 140, 56, 16
>> 945, 1890, 1260, 504, 144, 32
>> 10395, 20790, 13860, 5544, 1584, 352, 64
>> 135135, 270270, 180180, 72072, 20592, 4576, 832, 128
>> 2027025, 4054050, 2702700, 1081080, 308880, 68640, 12480, 1920, 256
>
> 1 . . .
> 1!! 1!!/1!! . .
> 3!! 3!!/1!! 3!!/3!! .
> 5!! 5!!/1!! 5!!/3!! 5!!/5!!
*diag(1,2,4,...)
Das ist wirklich *die* fruchtbare formale Beschreibung. Zurückgedreht
auf die 'gewöhnliche' Fakultät finden wir das Analogon
A010842 und A090802 von Ross La Haye.
Ross La Haye describes this sequence as the total number of walks
in the Hasse diagram of a Boolean algebra of order n. And as
the binomial transform of A000522.
Ich habe jetzt meine beiden Folgen bei OEIS eingereicht.
Meine vorläufig endgültige Beschreibung steht jetzt unter
http://www.luschny.de/math/seq/variations.html
Der in Grün gehaltene Absatz (VI) bringt eine Zusammenfassung.
Gruss Peter
Gottfried Helms
>
>
> Das ist wirklich *die* fruchtbare formale Beschreibung. Zurückgedreht
> auf die 'gewöhnliche' Fakultät finden wir das Analogon
>
> A010842 und A090802 von Ross La Haye.
> Ross La Haye describes this sequence as the total number of walks
> in the Hasse diagram of a Boolean algebra of order n. And as
> the binomial transform of A000522.
>
> Ich habe jetzt meine beiden Folgen bei OEIS eingereicht.
> Meine vorläufig endgültige Beschreibung steht jetzt unter
> http://www.luschny.de/math/seq/variations.html
> Der in Grün gehaltene Absatz (VI) bringt eine Zusammenfassung.
>
ja, schön!
Es wirkt zwar oftmals unangenehm, wenn jemand anders das eigene
Ordnungsschema umsortiert; aber nachdem ich jetzt die Zusammen-
hänge und die Generalisierungen anscheinend verstanden habe,
stelle ich das doch einmal nach meinem Verständnis zusammen.
Hoffe, du fühlst deine Arbeit nicht angekratzt.
Ich sehe das jetzt so:
A= (A in A000522)
1
1, 1
2, 2, 1
6, 6, 3, 1
B= (T in A128196)
1,
1, 2
3, 6, 4
15, 30, 20, 8
Mit ---------------------------------------------
DR = 1
1 1
1 1 1
...
V(2)= col(1,2,4,8,...) // skaliert und summiert ein Dreieck
dV(2) = diag(V(2)) // diagonal: skaliert lediglich
F = diag(0!,1!,2!,...)
F2 = diag(0!,2!,4!,...)
DF = diag(1!!,1!!,3!!,5!! ,...)
= diag( 0!, 2!, 4!,...)*diag(0!,1!,2!,...)*dV(1/2)
= F2* (F*dV(2))^-1
und
F= 1F = diag(1,1,1*2,1*2*3,1*2*3*4,...) // simple factorial
DF= 2F = 1*diag(1,1,1*3,1*3*5,1*3*5*7,...) // double-factorial
3F = 2*diag(1,1,1*4,1*4*7,1*4*7*10,...) // Triple-factorial
4F = 3*diag(1,1,1*5,1*5*9,1*5*9*13,...) // Quadrupel-factorial
...
----------------------------------------------------
ist dann zunächst:
A = F * DR * F^-1 *dV(1)
B = DF * DR * DF^-1 *dV(2)
mit demselben Kern DR , und mit einer Ähnlichkeitstransformation
zusammenhängend:
B ist durch A darzustellen
B = F2 * dV(1/2) * F^-2 * A * F^2 F2^-1 dV(2)
kürzer, mit
M =F2 * dV(1/2) * F^-2
B = M * A * M^-1
(spielt aber wohl keine besondere Rolle)
-------------------------------------------------------------------------------------
Die Summen:
SU1:
SU1(0)= F * Dr * F^-1 * V(0) // [1, 1, 1, 1, 1, ]
SU1(1)= A000522 = F * Dr * F^-1 * V(1) //= [1, 2, 5, 16, 65, 326, 1957, 13700,... ]~
SU1(2)= A010842 = F * Dr * F^-1 * V(2) //= [1, 3, 10, 38, 168, 872, 5296, 37200, 297856,...]~
SU1(3)= = F * Dr * F^-1 * V(3) //= [1, 4, ???
...
(mögliche Generalization 1)
------------------------------------------------------------------------------------------
SU2:
SU2(0)= Dr * V(0) // [1, 1, 1, 1, 1, ]
SU2(1)= A000522 = F * Dr * F^-1 * V(1) //= [1, 2, 5, 16, 65, 326, 1957, 13700,... ]~
SU2(2)= A128196 = 2F * Dr * 2F^-1 * V(2) //= [1, 3, 13, 73, 527, 4775, 52589, 683785, 10257031,...]~
SU2(3)= = 3F * Dr * 3F^-1 * V(3) //= [1, 4, 25, 202, 2101, 27556, 441625, 8393062]~
SU2(4)= = 4F * Dr * 4F^-1 * V(4) //= [1, 5, 41, 433, 5885, 101069, 2126545, 53180009]~
....
(mögliche Generalization 2)
-------------------------------------------------------------------------------------------
Varscheme: (verwandt mit Generalization 2 )
n >= 0 ->
VS(0)= [k=0] [ 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1
VS(1)= [k=1] [ 1, 4, 15, 64, 325, 1956, 13699, 109600, 986409
VS(2)= [k=2] [ 1, 9, 65, 511, 4743, 52525, 683657, 10256775, 174369527
VS(3)= [k=3] [ 1, 16, 175, 2020, 27313, 440896, 8390875, 184647364, 4616348125
VS(4)= [k=4] [ 1, 25, 369, 5629, 100045, 2122449, 53163625, 1542220261, 50895431301
VS(5)= [k=5] [ 1, 36, 671, 12736, 280581, 7376356, 229151411, 8252263296, 338358810761
------------------
Einträge in Varscheme sind die skalierten Einträge aus SU2, wobei "a" den der jeweils
entsprechenden Position entprechenden Eintrag in SU2 bezeichnet:
VS(0)= [k=0] [ 1*a 1*a 1*a 1*a
VS(0)= [k=1] [ 1*a 2*a 3*a 4*a
VS(0)= [k=2] [ 1*a 3*a 5*a 7*a
VS(0)= [k=3] [ 1*a 4*a 7*a 10*a
-------------------------------------------------------------------------------------------
Also
mit
M(1) = diag([1,2,3,4,5,,])
M(2) = diag([1,3,5,7,9,,])
M(3) = diag([1,4,7,10,13,,])
Varscheme[1,]~ = M(1)* SU2[1] = M(1) * F * DR * F^-1 * V(1)
Varscheme[2,]~ = M(2)* SU2[2] = M(2) * 2F * DR * 2F^-1 * V(2)
Varscheme[3,]~ = M(3)* SU2[3] = M(3) * 3F * DR * 3F^-1 * V(3)
Varscheme[4,]~ = M(4)* SU2[4] = M(4) * 4F * DR * 4F^-1 * V(4)
...
die Zeilensummen der jeweils M(k)-zeilen-skalierten Dreiecke
Dreieck(k) = (k)F * DR * (k)F^-1 * dV(k)
Varscheme[k] = M(k) * (k)F * DR * (k)F^-1 * V(k) // zeilenskaliert und ~summiert.
----------------------------------------------------------------------
Ah ja. (Wär dann noch die Frage, ob diese weitere Generalisierung
noch irgendwohin trägt..., aber ich schätze, das wird dann
langsam zu esoterisch? )
Gruß -
Gottfried
Peter Luschny
Hallo Gottfried!
> Es wirkt zwar oftmals unangenehm, wenn jemand anders das eigene
> Ordnungsschema umsortiert; aber nachdem ich jetzt die Zusammen-
> hänge und die Generalisierungen anscheinend verstanden habe,
> stelle ich das doch einmal nach meinem Verständnis zusammen.
> Hoffe, du fühlst deine Arbeit nicht angekratzt.
Überhaupt nicht. Ich lerne von deinen Bemerkungen.
Und sortiere anschließend dein Ordnungsschema wieder
in meins zurück :). C'est normal. Und dass du einen
starken (Matrix-)Dialekt sprichst .. ;-)
> SU1(1)= A000522 = F * Dr * F^-1 * V(1)
> SU1(2)= A010842 = F * Dr * F^-1 * V(2)
> SU2(1)= A000522 = F * Dr * F^-1 * V(1)
> SU2(2)= A128196 = 2F * Dr * 2F^-1 * V(2)
> VS(1) = A007526 = 1, 4, 15, 64, 325, 1956,
> VS(2) = A128195 = 1, 9, 65, 511, 4743, 52525,
> Varscheme[1,]~ = M(1)* SU2[1] = M(1) * F * DR * F^-1 * V(1)
> Varscheme[2,]~ = M(2)* SU2[2] = M(2) * 2F * DR * 2F^-1 * V(2)
> Varscheme[3,]~ = M(3)* SU2[3] = M(3) * 3F * DR * 3F^-1 * V(3)
> Varscheme[4,]~ = M(4)* SU2[4] = M(4) * 4F * DR * 4F^-1 * V(4)
> die Zeilensummen der jeweils M(k)-zeilen-skalierten Dreiecke
> Dreieck(k) = (k)F * DR * (k)F^-1 * dV(k)
> Varscheme[k] = M(k) * (k)F * DR * (k)F^-1 * V(k)
> // zeilenskaliert und ~summiert.
Muss ich jetzt erst einmal verdauen...
> (Wär dann noch die Frage, ob diese weitere Generalisierung
> noch irgendwohin trägt..., aber ich schätze, das wird dann
> langsam zu esoterisch? )
Möglicherweise, deshalb sollten wir die gewonnenen 2 Meter Strand
zuerst mit einem kombinatorischen Deich sichern. (Allerdings mache
ich jetzt eine Pause mit dem Thema, und schaue nur noch zu, ob es
bei OEIS zu irgendwelchen Einträgen kommt.)
Gruss Peter
P.S. Heute Nachmittag hat sich der 'Serveur de Campus de Jussieu,
Paris, Frankreich' die neue Seite angeschaut. [Aha! ;-))]
Hugo Pfoertner
>
[...]
> Möglicherweise, deshalb sollten wir die gewonnenen 2 Meter Strand
> zuerst mit einem kombinatorischen Deich sichern. (Allerdings mache
> ich jetzt eine Pause mit dem Thema, und schaue nur noch zu, ob es
> bei OEIS zu irgendwelchen Einträgen kommt.)
Davon kannst Du mal ausgehen. Neue Folgen stellt Neil Sloane in der
Regel innerhalb von 2 bis 3 Tagen in die Datenbank. Die
Beruecksichtigung von Kommentaren oder Ergaenzungen kann inzwischen aber
schon mal 3 Wochen dauern. Der arme Neil steht da ziemlich allein mit
einem kleinen Schaeufelchen am Fuss einer mehrere Hundert bis fast 1000
Kommentare hohen Halde, auf die oben jeden Tag ein Lastwagen voll neuer
Kommentare draufgeschuettet wird (plus ca. 10000 neue Folgen pro Jahr /
365=?).
Insofern war es von Dir sehr vernuenftig, die neuen Folgen gleich
ordentlich aufzubereiten und alles Wesentliche bereits am Anfang dabei
zu haben.
>
> Gruss Peter
>
> P.S. Heute Nachmittag hat sich der 'Serveur de Campus de Jussieu,
> Paris, Frankreich' die neue Seite angeschaut. [Aha! ;-))]
Rat mal, wie der neue Link zu den SeqFans gekommen sein koennte ;-)
Hugo
Thomas Mautsch
>> Peter Luschny schrieb:
>
>>> Varianten der Variationen - bitte helft mir zwei Einträge
>>> in OEIS sinnvoll zu gestalten.
>>> http://www.luschny.de/math/temp/variationen.html
[ ... ]
> Einfach die Seite auf
> der Liste bekannt geben. Wenn jemand noch etwas beitragen
> will kann er mich anschreiben. Ich lass das noch 14 Tage
> stehen bevor ich es abschicke.
Die vierzehn Tage waren aber schnell rum!
:-I :-(
> Und es gäbe noch viel zu tun:
>
> Die GFs von Var2 (A128195) und von (A128197) fehlen noch,
> eine Rekursion (A128197) fehlt (Zeilberger's Algorithmus
> http://en.wikipedia.org/wiki/Doron_Zeilberger
> scheint zu scheitern), und natürlich die kombinatorische
> Interpretation, obwohl diese offenbar bereits gesichtet
> wurde ...
>
>>> Wolfgang, wie kann ich deine Bemerkung "all das erkennt man
>>> sehr leicht an den beiden quadratischen nxn Schemata [...]
>>> deren Zeilenproduktsummen V2(n) bzw. L(n) ergeben" hier
>>> am besten in dieser konzentrierten Form einbauen?
Ich wollte mir die GF eigentlich in einer ruhigen Stunde
mal anschauen, aber das hat sich dann wohl erledigt.
Gruesse
Thomas
Peter Luschny
>> Peter Luschny schrieb:
>> Einfach die Seite auf
>> der Liste bekannt geben. Wenn jemand noch etwas beitragen
>> will kann er mich anschreiben. Ich lass das noch 14 Tage
>> stehen bevor ich es abschicke.
> Die vierzehn Tage waren aber schnell rum!
Du hast Recht!
> :-I :-(
Ach, ich sehe dich so selten lachen :-( ;-)
>> Und es gäbe noch viel zu tun:
Auch das stimmt!
> Ich wollte mir die GF eigentlich in einer ruhigen Stunde
> mal anschauen, aber das hat sich dann wohl erledigt.
Oh nein, OEIS kannst du zu jeder Tages- und Nachtzeit deine
Beiträge mitteilen.
Ich mußte meinen Schreibtisch einfach wieder etwas leerer
bekommen, zu viele Hängepartien zehren an meinen Nerven.
Ich sehe aber ein, dass es ein Fehler war, eine Zeitangabe
zu machen und sie dann nicht einzuhalten. Entschuldige bitte.
Gruss Peter
Peter Luschny
> Peter Luschny schrieb:
>> Möglicherweise, deshalb sollten wir die gewonnenen 2 Meter Strand
>> zuerst mit einem kombinatorischen Deich sichern. (Allerdings mache
>> ich jetzt eine Pause mit dem Thema, und schaue nur noch zu, ob es
>> bei OEIS zu irgendwelchen Einträgen kommt.)
> Davon kannst Du mal ausgehen. Neue Folgen stellt Neil Sloane in der
> Regel innerhalb von 2 bis 3 Tagen in die Datenbank.
Also die Sandra hat einen 'strammen Knaben' und ich drei Einträge:
http://www.research.att.com/~njas/sequences/A128195
http://www.research.att.com/~njas/sequences/A128196
http://www.research.att.com/~njas/sequences/A128197
>> P.S. Heute Nachmittag hat sich der 'Serveur de Campus de Jussieu,
>> Paris, Frankreich' die neue Seite angeschaut. [Aha! ;-))]
> Rat mal, wie der neue Link zu den SeqFans gekommen sein koennte ;-)
Vielen Dank für deine Unterstützung, vor und hinter den Kulissen.
Gruss Peter
Peter Luschny
> Varscheme[k] = M(k) * (k)F * DR * (k)F^-1 * V(k)
Hallo Gottfried,
auch wenn vielleicht der Eintrag auf OEIS etwas zu früh
erfolgt sein sollte (ähnlich wie bei Sandra), so ganz
kann ich offenbar von dem Thema noch nicht abschalten.
Als ich heute morgen die Neueinträge von OEIS durch schaute
wurde ich auf folgende Klassifikation der 'Dyck paths' geführt.
http://www.research.att.com/~njas/sequences/A091866
[1],
[0, 1],
[0, 0, 2],
[0, 0, 1, 4],
[0, 0, 1, 5, 8],
[0, 0, 1, 7, 18, 16],
[0, 0, 1, 9, 34, 56, 32],
[0, 0, 1, 11, 55, 138, 160, 64]
Was sieht dein scharfes Matrix-Auge da für einen
Zusammenhang mit dem Gottfried-Dreieck?
1.
1,.......2
3,.......6,.......4.
15,......30,......20,.......8
105,.....210,.....140,......56,.....16
945,....1890,....1260,.....504,....144,....32
10395,...20790,...13860,....5544,...1584,...352,....64
Gruss Peter
Gottfried Helms
> Gottfried Helms schrieb:
>
>> Varscheme[k] = M(k) * (k)F * DR * (k)F^-1 * V(k)
>
> Hallo Gottfried,
>
> auch wenn vielleicht der Eintrag auf OEIS etwas zu früh
> erfolgt sein sollte (ähnlich wie bei Sandra), so ganz
> kann ich offenbar von dem Thema noch nicht abschalten.
>
> Als ich heute morgen die Neueinträge von OEIS durch schaute
> wurde ich auf folgende Klassifikation der 'Dyck paths' geführt.
>
> http://www.research.att.com/~njas/sequences/A091866
>
> [1],
> [0, 1],
> [0, 0, 2],
> [0, 0, 1, 4],
> [0, 0, 1, 5, 8],
> [0, 0, 1, 7, 18, 16],
> [0, 0, 1, 9, 34, 56, 32],
> [0, 0, 1, 11, 55, 138, 160, 64]
>
> Was sieht dein scharfes Matrix-Auge da für einen
> Zusammenhang mit dem Gottfried-Dreieck?
>
ich habe mal eine Weile damit herumgespielt, und keinen
besonderen Zugang gefunden. Abgesehen von der Subtraktion
der Einheitsdiagonale um die Einträge zu "glätten" bin
ich nicht recht vorangekommen. Das einzige, was mir auffällt
und vielleicht weiterführt, wäre, daß die Grade der Polynomiale,
die die Spalten beschreiben könnten, anscheinend in Zweierschritten
ansteigen - d.h. eventuell sollte man die Matrix entzerren und
Leerzeilen und -spalten einfügen.
Aber wie gesagt, im Moment komme ich nicht recht weiter (und bin
auch eher wieder bei meinen eigenen Matrixexplorationen mit
dem Kopf). Wenn ich noch was sehe, teile ich's per pm mit.
Falls es sich erledigt hat, laß es mich bitte wissen.
Eventuell wäre mir auch Erweiterung hilfreich (war in
OEIS eigentlich eine Formel - muß noch mal nachsehen...)
Gruß -
Gottfried
Gottfried Helms
> und vielleicht weiterführt, wäre, daß die Grade der Polynomiale,
> die die Spalten beschreiben könnten, anscheinend in Zweierschritten
> ansteigen - d.h. eventuell sollte man die Matrix entzerren und
verwechselt...
kamma canceln.
Wie gesagt, falls ich noch was finde, melde ich mich per pm.
Gruß -
Gottfried
Peter Luschny
> .. und auch der Verweis auf das INRIA Algorithms Project, ... 165 traegt
> mit dem Ergebnis "Sorry, no result in the encyclopedia database" nicht
> besonders zur weiteren Erleuchtung bei.
Du kannst dich wieder erleuchten lassen.
>> Thanks for the report. This was due to a recent re-install of our
>> Linux that did not export directories with the right permissions.
>> It should work ok now, B. S.
http://algo.inria.fr/bin/encyclopedia?Search=ECSnb&argsearch=165
Gruss Peter