Das Kalenderblatt 120212

[WM]

Das Kalenderblatt 120212

SUM[k = 1...4] N_k mit N_k < 3 beschränkt die Summe der N_k auf
maximal 8.
SUM[k = 1...oo] N_k mit N_k < 2 beschränkt die Summe der N_k auf
maximal abzählbar unendlich viele.

1) Bis zur n-ten Stelle definiert der Pfad nicht seine reelle Zahl.
Trotzdem wird geglaubt oder postuliert, dass er nach unendlich vielen
Stellen seine Zahl definiert.
2) Bis zur n-ten Stelle ist die Diagonalzahl von den Listenzahlen
verschieden, hier folgt aber kein Trotzdem, sondern hier wird die für
alle endlichen Stellen beweisbare Tatsache auch nach unendlich vielen
Stellen noch akzeptiert.

WM: Jeder Knoten definiert alle seine Vorgängerknoten im Pfad.
Deswegen wird ein Pfad durch einen Knoten bestimmt oder gar nicht.
RR: Ein endlicher Pfad wird durch seinen letzten Knoten bestimmt.
So weit, so gut. Aber Pfade ohne letzten Knoten werden gewiss nicht
durch einen Knoten bestimmt. Was erzaehlst Du da bloss immer wieder
fuer Zeug? {{Ich erzähle: Die Eigenschaft "ohne letzten Knoten zu
sein" bedeutet nicht, dass solche Pfade dort existieren können, wo
keine Knoten sind. Alle ihre Knoten zählen zu den aleph_0 Knoten des
Binären Baums. Jeder Knoten macht genau zwei Pfade unterscheidbar -
alles Weitere muss tiefer liegenden Knoten überlassen werden (würden
an diesen keine Verzweigungen mehr folgen, wären es also nicht binäre,
sondern unäre Knoten, so würden auch keine weiteren Pfade mehr
abzweigen können. Deswegen gibt es nicht mehr als aleph_0 Pfade.}}
WM: Trotzdem gilt für jeden Knoten im Baum, dass man alle Vorgänger
vergessen kann, wenn es um die Identifizierung des Pfades geht. Die
Annahme, dass mehr als einer erforderlich wäre, ist beweisbar falsch.
Du erkennst das leicht, wenn Du ein Beispiel angeben sollst (gern
auch in einem unendlichen Pfad) für den Fall, dass zur Identifizierung
ein Knoten notwenig wäre, der einen Nachfolger besitzt. Es geht
nicht.
Deswegen ist die Konsequenz offensichtlich falsch, dass unendliche
Pfade durch mehrere Knoten definiert würden, sondern die Konsequenz
lautet: unendliche Pfade identifizieren überhaupt keine Zahl!
RR: Die Diagonalzahl ist an jeder Stelle durch die hypothetische
Liste der Z_n definiert. Was für Stellen sollen das sein, wo sie
"nicht identifiziert" wird?
WM: Die Abwesenheit unendlicher Pfade ist für jede endliche
Konfiguration ausgeschlossen. Was für Konfigurationen sollen das sein,
wo die unendlichen Pfade ins Spiel kämen?
Aber der binäre Baum wird für diese Überlegung gar nicht benötigt.
[...] Die fertige Menge |N enthält mindestens aleph_0 fertige
unendliche disjunkte echte Untermengen, wie z. B. alle Mengen aller
Potenzen von Primzahlen {2, 4, 8, ...}, {3, 9, 27, ...}, {5, 25,
125, }, ...
Da die Mengen disjunkt sind, können sie nicht gleichzeitig in der
Vereinigung der Anfangsabschnitte
{1} U {1, 2} U {1, 2, 3} U ... = |N [*]
fertig werden, sondern es werden dazu nach allen Abschnitten, die
keine unendliche Untermenge enthalten, noch mindestens aleph_0
verschiedene Anfangsabschnitte gebraucht, von denen jeder mindestens
eine unendliche Untermenge enthält.
Jede Zeile Nummer Z_n von Cantors Liste gehört aber zu einem
Anfangsabschnitt {1, 2, 3, ..., n}, der noch keine einzige dieser
unendlichen Untermengen enthält. Folglich muss die Vereinigung [*]
über aleph_0 Abschnitter der Beobachtung und auch der mathematischen
Analyse unzugänglich verlaufen. Oder, wenn man denselben Maßsstab wie
bei der Diagonalzahl anwenden will: Folglich gibt es diese unendlichen
Untermengen gar nicht.
RR: Dass ich behaupten "muss", dass alle Knoten zur Identifikation
benötigt werden, tut mir keinesfalls weh. {{Es ist aber leicht
ersichtlich falsch.}} Nur bei endlichen Pfaden kann man die Spuren
verwischen und sie noch rekonstruieren. Wenn Du bei einem unendlichen
Pfad die Spur verwischst, ist der ganze Pfad weg. Da Du ein nur für
endliche Pfade gültiges Argument verwendest,
WM: Falsch. Mein Argument, dass jeder Knoten seine Vorgänger
definiert, gilt für jeden endlich indizierten Knoten, auch in
unendlichen Pfaden.
RR: Mit welchem Knoten wird der Pfad 0,010101... identifiziert?
WM: Genau darum geht es. [...] Kannst Du einen Knoten des Pfades
0,010101... angeben, der einen Nachfolger besitzt und zur
Identifizierung des Pfades benötigt wird?
Es gibt keinen Knoten, der den Pfad definiert. Das wird schon
daraus ersichtlich, dass die Folge 0,1,0,1,... nicht konvergiert.
Solche Pfade kann man nur durch eine endliche Definition festlegen.
Und genau genommen, gibt es keinen Knoten, der irgendeinen Pfad
definiert, wenn man nicht die Zusatzdefinition angibt: "Jetzt kommen
nur noch Nullen."
Du solltest Dir klarmachen können, dass die Menge der einen Pfad
definierenden Knoten leer ist. Jeder Knoten an endlicher Stelle
definiert ein Intervall. Das Intervall wird zwar immer kleiner, aber
es wird für keinen Knoten Null. Das ist genau dasselbe wie bei der
Folge 1/n. Die Werte werden zwar immer kleiner, aber es gibt keine
natürliche Zahl, deren Kehrwert Null ist.
Selbst wenn Du unendlich lange wartest oder behauptest, dass
jedenfalls unendlich viele Knoten ausreichen würden.
Es gibt die Zahl 0,010101...., nämlich in Form einer konvergenten
Reihe.
FB: Interessant ist übrigens, daß die Zahl (wenn als Binärkommazahl
interpretiert) sogar eine rationale Zahl ist und zwar 1/3 (in
Dezimalschreibweise).
WM: Ja. Und es wurde auch schon erwähnt, dass diese Zahl als
Potenzreihe konvergiert, aber eben nicht als Ziiffernfolge.
FB: 1/3
.0101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010
WM: Es ist nicht schwer, aus der endlichen Vorschrift "1/3" eine
beliebig lange Folge von Nullen und Einsen zu erzeugen. Das Kunststück
ist das Umgekehrte: Finde aus einer beliebig langen Folge heraus, wie
sie fortzusetzen sei.
[Rainer Rosenthal, Frank Buss, "Das Kalenderblatt 100125",
de.sci.mathmatik, 26. - 29. 1. 2010]

Gruß, WM