gambling mit gamma/fusseln mit factorial...

[Gottfried Helms]

Ich schaue gerade durch alte Threads und bin auf eine Diskussion
�ber die Gamma-Funktion gesto�en, die irgendwie liegengeblieben
war. Ich habe ein paar weitere Finger�bungen gemacht: Darstellung
als Potenzreihe, Iteration, formale Inversion, Konvergenzbeschleunigung,
Betrachtung als double-series und Umkehrung der Summationsreihenfolge...,
und dabei ein paar nette Beobachtungen machen k�nnen, die ich
allerdings zu den �blichen Darstellungen zur Gamma-funktion (noch)
nicht in Beziehung setzen kann.

Die Taylor-reihe von

g(x) = gamma(1+x)-1

g(x) ~ -0.57722*x + 0.98906*x^2 - 0.90748*x^3 + 0.98173*x^4 - 0.98200*x^5
+ 0.99315*x^6 - 0.99600*x^7 + 0.99811*x^8 - 0.99903*x^9 + O(x^10)

hat eine bemerkenswerte Form, da der Betrag der Koeffizienten schnell
gegen 1 zu konvergieren scheint, und d.h. im Prinzip sieht g(x) aus wie
eine nur "kleine" Abweichung von der Potenzreihe f�r

r(x,1)=- x/(1+x).

Subtrahiert man das,

f(x,1) = g(x) - r(x,1)
= g(x) + x/(1+x)

sind die Betr�ge der Koeffizienten ab x^9 kleiner als 1/1000.
Also kann ich g(x) jetzt "leichter" berechnen, da x/(1+x) nur eine
Division erfordert, und f(x,1) schneller konvergiert als g(x).

Sieht man sich die Koeffizienten von f(x,1) an, verhalten sie sich
wie die von x/(2+x) , d.h. wie die Koeffizienten der geometrischen Reihe

1/2 x - 1/4 x^2 + 1/8 x^3 + ....

Man kann das sehen, wenn man f(2*x,1) anzeigt; man erh�lt dann

2*f(2*x,1) = 1.6911*x - 0.087552*x^2 + 1.4803*x^3
- 0.58470*x^4 + 1.1523*x^5 - 0.87691*x^6 + 1.0235*x^7
- 0.96988*x^8 + 0.99813*x^9 - 0.99194*x^10 + 0.99698*x^11
- 0.99720*x^12 + 0.99837*x^13 - 0.99884*x^14 + 0.99925*x^15
- 0.99949*x^16 + 0.99966*x^17 - 0.99977*x^18 + 0.99985*x^19
- 0.99990*x^20 + 0.99993*x^21 - 0.99996*x^22 + 0.99997*x^23
- 0.99998*x^24 + 0.99999*x^25 - 0.99999*x^26 + 0.99999*x^27
- 1.0000*x^28 + 1.0000*x^29 - 1.0000*x^30 + 1.0000*x^31
- 1.0000*x^32 + 1.0000*x^33 - 1.0000*x^34 + 1.0000*x^35
- O(x^36)

Man kann das also wiederholen und formal schreiben

r(x,2) = x/(2+x)

f(x,2) = g(x) - r(x,1) - r(x,2)
= g(x) + x/(1+x) - x/(2+x)/2

und hat eine wiederum besser konvergierende Reihe f�r die Berechnung von
gamma(1+x): nach Subtraktion zweier Divisionen. (Hmm, als alter Pazifist
frage ich mich nat�rlich, ob sowas jetzt ein spezielles Entmilitarisierungs-
potential hat...)

Es hat mich nicht wirklich �berrascht, da� man das einfach fortsetzen kann,
zu einem beliebigen integer h mit der Notation

f(x,h) = g(x) + x/(1+x) - x/(2+x)/2! + x/(3+x)/3! - ... + ... x/(h+x)/h!

und da� die Approximation immer besser wird und der Konvergenzbereich f�r
f(x,h) mit steigendem h w�chst.

F�r h-> inf schreiben wir dann einfach f(x)
und
f(x) = +0.219383934396 * x^1
+0.0978431972167 * x^2
+0.0356034919285 * x^3
+0.0110708954460 * x^4
+0.00302761119588 * x^5
+0.000742658300487 * x^6
+0.000165756256060 * x^7
+0.0000340313948681 * x^8
+0.00000648260981743 * x^9
+0.00000115371352883 * x^10
+0.000000192937438758 * x^11 + O(x^12)

und Betrachtung des Betrages der ersten, sagen wir 64 Koeffizienten zeigt,
da� sie schneller abnehmen als z.B. 1/(k!)^0.7, d.h., wenn ich nicht
irre, da� der Konvergenzradius f�r x dann unendlich wird, wie z.B. auch
bei der Exponentialfunktion.

Hmm. hat man jetzt dadurch was gewonnen? Wenn man die Koeffizienten
*ohne* diesen Proze� haben k�nnte, der sie ja aus denen der Gamma-funktion
erst ableiten mu�, m�glicherweise...

(to be continued)

Gottfried

[Carsten Schultz]

Gottfried Helms schrieb:

>
> Die Taylor-reihe von
>
> g(x) = gamma(1+x)-1

[...]

> Es hat mich nicht wirklich überrascht, daß man das einfach fortsetzen kann,

> zu einem beliebigen integer h mit der Notation
>
> f(x,h) = g(x) + x/(1+x) - x/(2+x)/2! + x/(3+x)/3! - ... + ... x/(h+x)/h!
>

> und daß die Approximation immer besser wird und der Konvergenzbereich für
> f(x,h) mit steigendem h wächst.

Du hast

f(x,h) = 1/((x+1)...(x+h)) * (Gamma(x+h+1) - p_h(x)),

wobei p_h das Polynom vom Grad h ist, für das

p_h (-r) = (h-r)! = Gamma(-r+h+1) für r=0,1,...,h.

Damit sollte der Konvergenzradius tatsächlich h+1 sein. Auch ansonsten
erklärt das vielleicht einige Eigenschaften.

Gruß

Carsten

--
Carsten Schultz (2:38, 33:47)
http://carsten.codimi.de/
PGP/GPG key on the pgp.net key servers,
fingerprint on my home page.

[Gottfried Helms]

Am 06.11.2009 19:06 schrieb Carsten Schultz:
> Gottfried Helms schrieb:
>> Die Taylor-reihe von
>>
>> g(x) = gamma(1+x)-1
>
> [...]
>

>> Es hat mich nicht wirklich �berrascht, da� man das einfach fortsetzen kann,

>> zu einem beliebigen integer h mit der Notation
>>
>> f(x,h) = g(x) + x/(1+x) - x/(2+x)/2! + x/(3+x)/3! - ... + ... x/(h+x)/h!
>>

>> und da� die Approximation immer besser wird und der Konvergenzbereich f�r
>> f(x,h) mit steigendem h w�chst.
>

> Du hast
>
> f(x,h) = 1/((x+1)...(x+h)) * (Gamma(x+h+1) - p_h(x)),
>

> wobei p_h das Polynom vom Grad h ist, f�r das
>
> p_h (-r) = (h-r)! = Gamma(-r+h+1) f�r r=0,1,...,h.
>
> Damit sollte der Konvergenzradius tats�chlich h+1 sein. Auch ansonsten
> erkl�rt das vielleicht einige Eigenschaften.
>
> Gru�
>
> Carsten
>

Uff...

*das* ist mir etwas zu dicht, so auf die Schnelle. Mal sehen, ob
ich das bis morgen zerkaut und dann auch verstanden habe...
Klingt jedenfalls interessant...

Gottfried