Quadratische Ergänzung
Arx Karg
ist die quadratische Ergänzung der Funktion f(x) = ax^2+bx+c gleich f(x)
= a(x/a + (1/2b)/a)^2 + a(b/2)^2 + c? (Inklusive des Ausklammerns von a.)
Oder kann man das nicht allgemein fuer quadratischen Funktionen sagen?
Marc Olschok
> Hallo,
>
> ist die quadratische Ergänzung der Funktion f(x) = ax^2+bx+c gleich f(x)
> = a(x/a + (1/2b)/a)^2 + a(b/2)^2 + c? (Inklusive des Ausklammerns von a.)
hier (b/2) und hier (1/a)(b/2)^2
sonst sieht es o.k. aus. Ich nehme an, Du hast a =/= 0 vorausgesetzt.
> Oder kann man das nicht allgemein fuer quadratischen Funktionen sagen?
Mit der Terminologie kenne ich mich nicht besonders aus.
In der Schule haben wir das unter der Bezeichnung "Scheitelform"
kennengelernt.
Marc
Arx Karg
> Arx Karg <e...@mple.com> wrote:
>> Hallo,
>>
>> ist die quadratische Ergänzung der Funktion f(x) = ax^2+bx+c gleich
>> f(x) = a(x/a + (1/2b)/a)^2 + a(b/2)^2 + c? (Inklusive des Ausklammerns
>> von a.)
> ____________^^^^^_________^^^^^^^____ hier (b/2) und hier
> (1/a)(b/2)^2
>
> sonst sieht es o.k. aus. Ich nehme an, Du hast a =/= 0 vorausgesetzt.
>
Okay, Danke fuer die Korrektur. Mit a(x/a + b/2)^2 + (1/a)(b/2)^2 + c
sollte ich also von der allgemeinen Form direkt auf die Scheitel(punkt)
form kommen koennen, oder?
>> Oder kann man das nicht allgemein fuer quadratischen Funktionen sagen?
>
> Mit der Terminologie kenne ich mich nicht besonders aus. In der Schule
> haben wir das unter der Bezeichnung "Scheitelform" kennengelernt.
>
> Marc
Ja, die meinte ich. Das ist ja die Form von a(x-d)^2+e; war mir aber
nicht sicher, ob ich da richtig umgeformt habe. Wir wiederholten heute
ein paar Sachen zu quadratischen Funktionen und ich war da ziemlich
unsicher bei der quadratischen Ergaenzung.
Bastian Erdnuess
> Hallo,
>
> ist die quadratische Ergänzung der Funktion f(x) = ax^2+bx+c gleich f(x)
> = a(x/a + (1/2b)/a)^2 + a(b/2)^2 + c? (Inklusive des Ausklammerns von a.)
^^^
Neben dem, was Marc schon gesagt hat, kann aber hier auch etwas nicht
stimmen. Wenn ich das ausmultipliziere komme ich auf 1/a x^2.
> Oder kann man das nicht allgemein fuer quadratischen Funktionen sagen?
Allgemein gilt für a =/= 0:
ax^2 + bx + c = a[x+b/(2a)]^2 + c-b^2/(4a)
Neben dem Weg mit quadratischer Ergänzung:
ax^2 + bx + c = a(x^2 + 2 b/(2a) x) + c
= a(x^2 + 2 b/(2a) x + [b/(2a)]^2 - [b/(2a)]^2) + c
= a[x+b/(2a)]^2 + c-b^2/(4a)
Kann man sich auch noch folgendes überlegen (wenn die Nullstellenformel
bekannt ist):
x_0(1/2) = [-b +/- Sqrt(...)]/(2a)
Da die Parabel symmetrisch ist, muss der Scheitel genau zwischen den
beiden Nullstellen liegen. Die Mitte der Nullstellen liegt genau bei:
x_S = -b/(2a)
Die Nullstellen liegen dann ja genau Sqrt(...)/(2a) rechts und links
davon.
Die y-Koordinate vom Scheitel liegt natürlich auf der Parabel, ist dann
also:
y_S = a(x_S)^2 + bx_S + c = a[b/(2a)]^2 + b[-b/(2a)] + c
= b^2/(4a) - b^2/(2a) + c = c - b^2/(4a)
In die Scheitelform eingesetzt ergibt das dann:
a(x-x_S)^2 + y_S = a[x-b/(2a)]^2 + c-b^2/(4a)
Mathematisch ist das so natürlich nicht ganz sinnvoll. Immerhin wird die
Nullstellenformel aus der Scheitelform hergeleitet, die ihrersets wieder
mittels quadratischer Ergänzung abgeleitet wird. Aber als
Gedächtnisstütze kann man das schon so nutzen. (Übrigens hat nicht jede
Parabel (reelle) Nullstellen, aber die Scheitelform stimmt trotzdem so
für jede Parabel.)
Bastian
Joachim Mohr
> Arx Karg <e...@mple.com> wrote:
> a(x-x_S)^2 + y_S = a[x-b/(2a)]^2 + c-b^2/(4a)
>Scheitelform hergeleitet, die ihrersets wieder
> mittels quadratischer Ergänzung abgeleitet wird.
Die Scheitelform läßt sich auch mit Hilfe der Ableitung berechnen:
f(x)=a*x^2+b*x+c f'(x)=2ax+b=0 =>
x_S=-b/(2a)
y_S=f(x_S)=c-1/4*b^2/a
MFG Joachim
--
Joachim Mohr Tübingen
http://www.joachimmohr.de/neu.html
Detlef Müller
> On Wed, 09 Apr 2008 21:05:19 +0200, Marc Olschok wrote:
>
>> Arx Karg <e...@mple.com> wrote:
>>> Hallo,
>>>
>>> ist die quadratische Ergänzung der Funktion f(x) = ax^2+bx+c gleich
>>> f(x) = a(x/a + (1/2b)/a)^2 + a(b/2)^2 + c? (Inklusive des Ausklammerns
>>> von a.)
>> ____________^^^^^_________^^^^^^^____ hier (b/2) und hier
>> (1/a)(b/2)^2
>>
>> sonst sieht es o.k. aus. Ich nehme an, Du hast a =/= 0 vorausgesetzt.
>>
>
> Okay, Danke fuer die Korrektur. Mit a(x/a + b/2)^2 + (1/a)(b/2)^2 + c
> sollte ich also von der allgemeinen Form direkt auf die Scheitel(punkt)
> form kommen koennen, oder?
>
ax^2+bx+c = a(x^2+(b/a)x)+c
= a( (x+b/2a)^2 - (b/(2a))^2 ) + c
= a(x+b/2a)^2 +c-b^2/(4a)
Dann stimmt sogar der Koeffizient von x^2 überein und das b^2/(4a)
hebt sich weg, wie es bei der quadratischen Erg. sein sollte ...
aber das hat sich sicher im laufe der vergangenen Wochen so oder so
geklärt :)
Gruß,
Detlef