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Das Kalenderblatt 120207
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WM
Feb 6, 2012, 2:50:44 AM2/6/12
to
Das Kalenderblatt 120207
KS: Mein Vorschlag für die Definition des BB als Startpunkt für
eine saubere Formulierung deines Arguments steht jedenfalls noch im
Raume. Wie sieht es aus?
RR: Hier ist die von WM abgesegnete Definition
Definition "der binäre Baum"
Der binäre Baum ist die Menge aller E_n, die definiert sind durch
E_n = { (n,i) | i=2^n-1 ... 2*(2^n-1) } für n=0,1,2,3,... .
WM: Gut. Ich habe mir nur erlaubt, die Pünktchen zu
vervollständigen.
RR: Probe:
Ebene E_0 = {(0,0)},
Ebene E_1 = {(1,1),(1,2)},
Ebene E_2 = {(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)}
Ebene E_3 = {(3,7),...(3,14)}
Ebene E_4 = {(4,15),...(4,30)}
WM: Ich habe die vom Copy-and-Paste stehengebliebenen Ebenennummern
berichtigt.
RR: Definition "Pfad"
Ein Pfad ist eine Menge P von Knoten mit folgenden Eigenschaften:
(i) (0,0) ist Element von P.
(ii) Für jedes e gibt es höchstens ein k, so dass (e,k) Element
von P ist.
(iii) Für e > 1 gilt: wenn (e,k) Element von P ist, dann ist auch
(e-1,[(k-1)/2]) Element von P. Dabei ist [x] die grösste
ganze
Zahl kleiner oder gleich x.
WM: Das ist sehr schön. Die Knoten können wir nun sowohl in der von
Dir gewählten Form (n, i) addressieren als auch in der Form von K_j,
wo j eine natürliche Zahl ist. Das gemahnt an die Cantorsche
Linearisierung einer Ebene. Und Deiner geschickten Wahl des zweiten
Index' als fortlaufend über alle Ebenen ist es zu danken, dass für den
k-en Knoten die einfache Zuordnung besteht: (n, k) <--> K_k.
RR: Nun, das war ein Eigenlob von Dir: ich habe ja nur Deine
Vorgabe umgesetzt.
Jetzt haben wir das Bäumchen und können es eine Weile wachsen
lassen. Dann zählen wir mal die Pfade und schauen, welche Pfade in
welchen Knoten enden usw.
Fröhliches Diskutieren! Und immer lesen, was der jeweils andere
schreibt.
[Kruno Sever, Rainer Rosenthal, "Das Kalenderblatt 100328"
de.sco.mathematik, 12. 3. - 12. 4. 2010]
Leider lieferte auch diese "saubere Formulierung", wie viele
vorherige, keinen Ansatz für eine ernsthafte Diskussion.
WM: Dass die Behauptung einer solchen Liste einen Widerspruch
enthält, erkennt man am binären Baum.
MW: Das bedeutet also, dass du genau weißt, dass man eine solche
Liste nicht mal ansatzweise aufschreiben kann. Wofür schreibst du dann
eigentlich noch?
WM: Um Dir und anderen zu zeigen, dass es überhaupt keine aktuale
Unendlichkeit gibt. Du benötigst dazu nur wenige Basisaussagen der
Mengenlehre.
1) Die Anzahl der Knoten im binären Baum ist abzählbar.
2) Jeder Knoten kann durch einen endlichen Pfad mit dem
Wurzelknoten verbunden werden.
3) Jeder dieser Pfade wird durch einen Tail (z. B. 000... oder
010101...) zu einem unendlichen Pfad vervollständigt..
4) Die Anzahl dieser endlichen Pfade ist abzählbar.
Daraus folgt:
5) Alle Knoten des binären Baums sind damit überdeckt.
6) Du kannst keinen zusätzlichen Pfad konstruieren, der allein
durch Knoten definiert ist.
7) Es gibt nicht mehr als abzählbar viele Pfade im Baum.
8) Es gibt nicht mehr als abzählbar viele reelle Zahlen in [0, 1],
die allein durch Ziffern definier sind.
9) Die Annahme einer aktualen Unendlichkeit ist ein Widerspruch.
[...] Es geht nicht um eine Liste!
SG: Es ging nach meinem Verständnis darum, daß du der Meinung
warst, sämtliche im *Baum* enthaltenen Pfade wären "auflistbar"; es
geht also auch um eine *Liste*.
WM: Sämtliche enthaltenen Pfade lassen sich erwiesenermaßen mit
abzählbar vielen Schritten konstruieren, von denen kein Schritt mehr
als zwei Pfade erzeugt. [...] Dieser Baum, der transfinadlige
Weihnachtsbaum, enthält alle Pfade, die er enthalten kann.
SG: Was eine Binsenweisheit ist; ich würde sogar soweit gehen, das
eine Tautologie zu nennen. Diese Tautologie beweist erstmal rein gar
nichts über irgendwelche (Nicht-)Abzählbarkeitseigenschaften von
Knoten und/oder Kanten.
WM: Der Baum enthält alle Pfade, deren Bitfolgen reelle Zahlen im
Sinne von Cantor darstellen können.
SG: Es hat auch im gesamten Faden, soweit man den noch überblicken
kann, keiner versucht einen Pfad im Baum zu finden, den der Baum nicht
enthalten kann.
WM: Der Baum enthält jeden Pfad, sobald er jeden Knoten enthält.
Jeden Knoten enthält er aber, nachdem zu jedem Knoten ein Pfad
konstruiert wurde. [...] Ich zeige, dass es weniger unendliche Pfade
gibt als endliche,
B: Auch das zeigst Du nicht; Du verkündest es nur, und das in der
einen oder anderen Form schon seit Jahren.
WM: Dann solltest Du zeigen können, wo es fehlgeht. Einen Fehler
nachzuweisen dürfte bei der Simplizität meines Argumentes nicht schwer
sein, wenn ein solcher Fehler enthalten ist.
1) Der vollständige binäre Baum mit allen Knoten und allen Pfaden
wird in abzählbar unendlich vielen Schritten konstruiert.
2) In jedem Schritt wird ein endlicher Pfad nach bekanntem Muster
konstruiert.
3) In keinem Schritt wird mehr als ein unendlicher Pfad
konstruiert.
[Markus Wichmann, Stephan Gerlach, Bobo, "Das Kalenderblatt 091206",
de.sci.mathematik, 14.-31. 12. 2009]
F: Zwar ist mir keinerlei Mathematik bekannt, die sich nicht in ZFC
(plus eventueller grosser Kardinalzahlaxiome) formalisieren laesst
[...]
WM: Wie wäre es denn mit der Aufgabe, die Mathematik des binären
Baums zu formalisieren und eine Möglichkeit zu finden, mehr Pfade als
Knoten nicht nur zu behaupten, sondern mit der Wurzel zu verbinden?
[fiesh, "Das Kalenderblatt 091028", de.sci.mathematik, 10. 11. 2009]
F: Das Problem ist ja noch ein anderes. Waehrend Mathematiker
darauf hoffen, mit ihren Resultaten Aufmerksamkeit zu erregen und
Zuspruch zu finden, bringt [...] die immer gleichen Argumente, die
verglichen mit heutiger mathematischer Forschung an Komplexitaet
einfach laecherlich sind
WM: Denk' doch mal an die Komplexität der heutigen theologischen
Forschung. Was beweist das?
Bisher haben hier ca. 4 bis 5 Leute sinnvolle Gegenargumente zur
Abzählbarkeit des Binären Baums gepostet. Nachdem ich ihnen ihren
Irrtum nachgewiesen hatte, sind sie verstummt. Manche auch schon
früher. Meistens nachdem ein gewisse Formalisierung erreicht war.
Bisher ist kein einziger Beweis (natürlich außer dem unseligen
Cantorschen) dafür gepostet worden, der meine Behauptung falsifiziert,
der Binäre Baum könne mit abzählbar vielen Pfaden überdeckt oder in
abzählbar vielen Schritten vollständig konstruiert werden.
Wenn es einen solchen Beweis gäbe, so sollte er doch trotz der
Komplexität der gegenwärtigen Forschung auf eine so einfache Weise
formulierbar sein, dass er wenigstens einem intelligenten Studenten
einleuchtet.
[fiesh, "Hilfe: Suche gute Erklärung für das Diagonalargument",
d.sci.mathematik, 17. 11. 2010]
Gruß, WM
KS: Mein Vorschlag für die Definition des BB als Startpunkt für
eine saubere Formulierung deines Arguments steht jedenfalls noch im
Raume. Wie sieht es aus?
RR: Hier ist die von WM abgesegnete Definition
Definition "der binäre Baum"
Der binäre Baum ist die Menge aller E_n, die definiert sind durch
E_n = { (n,i) | i=2^n-1 ... 2*(2^n-1) } für n=0,1,2,3,... .
WM: Gut. Ich habe mir nur erlaubt, die Pünktchen zu
vervollständigen.
RR: Probe:
Ebene E_0 = {(0,0)},
Ebene E_1 = {(1,1),(1,2)},
Ebene E_2 = {(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)}
Ebene E_3 = {(3,7),...(3,14)}
Ebene E_4 = {(4,15),...(4,30)}
WM: Ich habe die vom Copy-and-Paste stehengebliebenen Ebenennummern
berichtigt.
RR: Definition "Pfad"
Ein Pfad ist eine Menge P von Knoten mit folgenden Eigenschaften:
(i) (0,0) ist Element von P.
(ii) Für jedes e gibt es höchstens ein k, so dass (e,k) Element
von P ist.
(iii) Für e > 1 gilt: wenn (e,k) Element von P ist, dann ist auch
(e-1,[(k-1)/2]) Element von P. Dabei ist [x] die grösste
ganze
Zahl kleiner oder gleich x.
WM: Das ist sehr schön. Die Knoten können wir nun sowohl in der von
Dir gewählten Form (n, i) addressieren als auch in der Form von K_j,
wo j eine natürliche Zahl ist. Das gemahnt an die Cantorsche
Linearisierung einer Ebene. Und Deiner geschickten Wahl des zweiten
Index' als fortlaufend über alle Ebenen ist es zu danken, dass für den
k-en Knoten die einfache Zuordnung besteht: (n, k) <--> K_k.
RR: Nun, das war ein Eigenlob von Dir: ich habe ja nur Deine
Vorgabe umgesetzt.
Jetzt haben wir das Bäumchen und können es eine Weile wachsen
lassen. Dann zählen wir mal die Pfade und schauen, welche Pfade in
welchen Knoten enden usw.
Fröhliches Diskutieren! Und immer lesen, was der jeweils andere
schreibt.
[Kruno Sever, Rainer Rosenthal, "Das Kalenderblatt 100328"
de.sco.mathematik, 12. 3. - 12. 4. 2010]
Leider lieferte auch diese "saubere Formulierung", wie viele
vorherige, keinen Ansatz für eine ernsthafte Diskussion.
WM: Dass die Behauptung einer solchen Liste einen Widerspruch
enthält, erkennt man am binären Baum.
MW: Das bedeutet also, dass du genau weißt, dass man eine solche
Liste nicht mal ansatzweise aufschreiben kann. Wofür schreibst du dann
eigentlich noch?
WM: Um Dir und anderen zu zeigen, dass es überhaupt keine aktuale
Unendlichkeit gibt. Du benötigst dazu nur wenige Basisaussagen der
Mengenlehre.
1) Die Anzahl der Knoten im binären Baum ist abzählbar.
2) Jeder Knoten kann durch einen endlichen Pfad mit dem
Wurzelknoten verbunden werden.
3) Jeder dieser Pfade wird durch einen Tail (z. B. 000... oder
010101...) zu einem unendlichen Pfad vervollständigt..
4) Die Anzahl dieser endlichen Pfade ist abzählbar.
Daraus folgt:
5) Alle Knoten des binären Baums sind damit überdeckt.
6) Du kannst keinen zusätzlichen Pfad konstruieren, der allein
durch Knoten definiert ist.
7) Es gibt nicht mehr als abzählbar viele Pfade im Baum.
8) Es gibt nicht mehr als abzählbar viele reelle Zahlen in [0, 1],
die allein durch Ziffern definier sind.
9) Die Annahme einer aktualen Unendlichkeit ist ein Widerspruch.
[...] Es geht nicht um eine Liste!
SG: Es ging nach meinem Verständnis darum, daß du der Meinung
warst, sämtliche im *Baum* enthaltenen Pfade wären "auflistbar"; es
geht also auch um eine *Liste*.
WM: Sämtliche enthaltenen Pfade lassen sich erwiesenermaßen mit
abzählbar vielen Schritten konstruieren, von denen kein Schritt mehr
als zwei Pfade erzeugt. [...] Dieser Baum, der transfinadlige
Weihnachtsbaum, enthält alle Pfade, die er enthalten kann.
SG: Was eine Binsenweisheit ist; ich würde sogar soweit gehen, das
eine Tautologie zu nennen. Diese Tautologie beweist erstmal rein gar
nichts über irgendwelche (Nicht-)Abzählbarkeitseigenschaften von
Knoten und/oder Kanten.
WM: Der Baum enthält alle Pfade, deren Bitfolgen reelle Zahlen im
Sinne von Cantor darstellen können.
SG: Es hat auch im gesamten Faden, soweit man den noch überblicken
kann, keiner versucht einen Pfad im Baum zu finden, den der Baum nicht
enthalten kann.
WM: Der Baum enthält jeden Pfad, sobald er jeden Knoten enthält.
Jeden Knoten enthält er aber, nachdem zu jedem Knoten ein Pfad
konstruiert wurde. [...] Ich zeige, dass es weniger unendliche Pfade
gibt als endliche,
B: Auch das zeigst Du nicht; Du verkündest es nur, und das in der
einen oder anderen Form schon seit Jahren.
WM: Dann solltest Du zeigen können, wo es fehlgeht. Einen Fehler
nachzuweisen dürfte bei der Simplizität meines Argumentes nicht schwer
sein, wenn ein solcher Fehler enthalten ist.
1) Der vollständige binäre Baum mit allen Knoten und allen Pfaden
wird in abzählbar unendlich vielen Schritten konstruiert.
2) In jedem Schritt wird ein endlicher Pfad nach bekanntem Muster
konstruiert.
3) In keinem Schritt wird mehr als ein unendlicher Pfad
konstruiert.
[Markus Wichmann, Stephan Gerlach, Bobo, "Das Kalenderblatt 091206",
de.sci.mathematik, 14.-31. 12. 2009]
F: Zwar ist mir keinerlei Mathematik bekannt, die sich nicht in ZFC
(plus eventueller grosser Kardinalzahlaxiome) formalisieren laesst
[...]
WM: Wie wäre es denn mit der Aufgabe, die Mathematik des binären
Baums zu formalisieren und eine Möglichkeit zu finden, mehr Pfade als
Knoten nicht nur zu behaupten, sondern mit der Wurzel zu verbinden?
[fiesh, "Das Kalenderblatt 091028", de.sci.mathematik, 10. 11. 2009]
F: Das Problem ist ja noch ein anderes. Waehrend Mathematiker
darauf hoffen, mit ihren Resultaten Aufmerksamkeit zu erregen und
Zuspruch zu finden, bringt [...] die immer gleichen Argumente, die
verglichen mit heutiger mathematischer Forschung an Komplexitaet
einfach laecherlich sind
WM: Denk' doch mal an die Komplexität der heutigen theologischen
Forschung. Was beweist das?
Bisher haben hier ca. 4 bis 5 Leute sinnvolle Gegenargumente zur
Abzählbarkeit des Binären Baums gepostet. Nachdem ich ihnen ihren
Irrtum nachgewiesen hatte, sind sie verstummt. Manche auch schon
früher. Meistens nachdem ein gewisse Formalisierung erreicht war.
Bisher ist kein einziger Beweis (natürlich außer dem unseligen
Cantorschen) dafür gepostet worden, der meine Behauptung falsifiziert,
der Binäre Baum könne mit abzählbar vielen Pfaden überdeckt oder in
abzählbar vielen Schritten vollständig konstruiert werden.
Wenn es einen solchen Beweis gäbe, so sollte er doch trotz der
Komplexität der gegenwärtigen Forschung auf eine so einfache Weise
formulierbar sein, dass er wenigstens einem intelligenten Studenten
einleuchtet.
[fiesh, "Hilfe: Suche gute Erklärung für das Diagonalargument",
d.sci.mathematik, 17. 11. 2010]
Gruß, WM
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