Das Kalenderblatt 120205

[WM]

Das Kalenderblatt 120205



RR: Und mit welcher Dezimaldarstellung darf sich 1/3 danach
bekleiden?
WM: Mit überhaupt keiner, aber mit der Ternärdarstellung 0,1 zum
Beispiel.
RR: Was sprach nochmal gegen 1/3 = 0.3333... = Summe{k=1..oo}
3*10^(-k)?
WM: Nichts spricht dagegen. Noch einfacher ist 0,[3]. 5 statt 25
Zeichen.
Bitte versuche Dich von dem Denkschema freizumachen, das Dich seit
ca. 50 beherrscht. Eine unendliche Folge, deren Bildungsgesetz man
nicht kennt, ja, die vielleicht gar kein Bildungsgesetz besitzt, kann
niemals einen genauen Zahlenwert bezeichen.
Beispiel: Alle Zahlen, die mit den Zeichen "0,3" beginnen,
bezeichnen mit Sicherheit Zahlenwerte im Intervall von 0,3 bis 0,4.
Aber wieviele Ziffern auch noch folgen mögen: Keine dieser Folge kann
eine reelle Zahl definieren. Cantor und andere haben den Kraftakt
versucht und gesagt: Dann werden eben unendlich viele Ziffern zum Ziel
führen. Das sind Cantors berühmte Fundamentalreihen. Doch diese
Behauptung ist genau so sinnvoll wie die Annahme, dass eine unendliche
Folge von Einsen schließlich doch auch eine 2 enthalten muss.
RR: So ganz unüblich ist das ja nicht, nicht wahr?
WM: Der Schluss von E finite Definition ==> E infinite Folge, ja.
Nur der Umkehrschluss ist es nicht.
RR: Die Ternärdarstellung 0,1 = Summe{k=1..oo} a_k*10^(-k) mit
a_1=1 und a_k=0 sonst, ist natürlich auch hübsch.
WM: und auch endlich.
[Rainer Rosenthal, "Das Kalenderblatt 091206", de.sci.mathematik, 16.
12. 2009]

WM: Ich verstehe, dass Du Dich der Magie ergeben hast. Du sagst,
dass die unendlichen Pfade nicht in den vereingten Mengen vorkommen,
in der fertigen Vereinigung aber doch, obwohl außer den vereinigten
Mengen nichts vereinigt wird.
RR: Wir müssen unterscheiden zwischen der Menge der Knoten und der
Menge der Pfade. Das hat nichts mit Magie zu tun und wird sicher von
Dir zugestanden.
In der fertigen Vereinigung kann nur etwas drin sein, was in einer
der beteiligten Mengen drin ist. Diese Aussage ist goldrichtig und
wird von mir nicht bestritten.
Habe ich mich nunmehr, geführt von Deiner Weisheit und Güte, aus
dem Bannkreis der bösen Magie lösen können?
Die wenigen verbliebenen Leser schauen gespannt. Die bornierten
Mengenlehrer blicken bange, weil der tapfere und dämlich
weiterkämpfende Mitstreiter einzuknicken droht; die WM-Sympathisanten
andererseits wittern Morgenluft.
Oh, oh, ich weiss nicht, ob es jetzt, weit nach Mitternacht, der
rechte Zeitpunkt ist, diese entscheidende Schlacht zu schlagen. Ich
glaube, es muss sein - Matheologie hin oder her!
Gehen wir also zurück zu meinem obigen Satz:
Bei oberflächlicher Betrachtung könnte man auf den Gedanken kommen,
dass die Pfadmenge ebenfalls nichts weiter sei als die unendliche
Vereinigung eben dieser endlichen Pfade.
Dieser Gedanke ist in der Tat nur ein oberflächlicher, weil er
durch nichts begründet wird und offenbar auch nicht begründbar ist,
wie der Fall des unendlichen Pfades P = 0,010101... ja {{dem
Gläubigen}} zeigt.
WM: J'adoube. Bitte gestatte, dass ich da etwas zurechtrücke: Jeder
Pfad der Pfadmenge ist als Untermenge in der vollständigen Knotenmenge
enthalten.
RR: Ich sage, dass die unendlichen Pfade nicht in der Vereinigung
der endlichen Pfadmengen vorkommen. Ich sage weiterhin, dass sie in
der Vereinigung der endlichen Knotenmengen gebildet werden.
{{Gebildet? Einfach so? Ohne mathematisch begründbaren Anhaltspunkt
und in überabzählbarer Menge, obwohl jede Folge mindestens ein Element
und maximal einen Grenzwert besitzt? Da wäre es wohl an der Zeit,
bange zu blicken.}}
Und schon ist der Vorwurf haltlos. Am Beispiel des Pfades P kann
ich das noch einmal erläutern. P kommt - und da stimmst Du ja mit mir
überein - nicht vor in der unendlichen Vereinigung { P_1 } U { P_2 } U
{ P_3 } U ... Die Knoten von P kommen aber alle vor in der unendlichen
Vereinigung { K_1, K_2, K_3, ... }.
WM: Und deshalb ist P als Untermenge in der fertigen Knotenmenge
vorhanden. Da P in keiner endlichen Vereinigung von Knotenmengen B_n
als Untermenge vorhanden ist, muss er in einem unbeobachteten
Augenblick auf Brett gesetzt worden sein - als Untermenge versteht
sich. Bleibt also die Frage, wer hat die dazu nötigen letzten Knoten-
Könige hingestellt. Und wenn die Regeln das erlauben, dann sollte das
auch mit der Dame D in Cantors "(noch) Immergrüner" erlaubt sein.

RR: WM schrieb: ... eine Art Antwort ... wie schade, dass Du hier
nicht genauer gelesen hast. Du könntest wirklich etwas lernen. {{Das
ist wohl im folgenden Absatz enthalten?}}
RR: Ich glaube, dass ich WM's kognitiven Prozessen etwas näher
gekommen bin beim letzten Diskutieren. Ich habe jedenfalls
mitbekommen, dass der binäre Baum ihm deswegen so gut gefällt {{leider
nicht, aber es ist auch recht kompliziert (*)}}, weil eine gewisse
Problematik weiter hinaus geschoben wird, die bei der Betrachtung der
Teilmengen von |N sehr schnell ins Auge fällt. Schon im endlichen Fall
ist nämlich leicht zu sehen, dass die Menge der Teilmengen grösser ist
als die Menge der Elemente. Bei endlichen Bäumen ist aber die Menge
der Pfade gleich gross wie die Menge der Knoten {{sogar kleiner}}.
Wenn man nun nur fest genug daran glaubt, dass im Unendlichen auch
nichts anders sein wird als im Endlichen, dann kommt man zu der
Ansicht, Pfadmenge und Knotenmenge müssten stets gleich sein.
Dabei ist es aber so, dass Pfade erst einmal stets Knotenmengen
sind, dass man jedoch bei endlichen Pfaden sich zur Identifizierung
auf den letzten Knoten beschränken kann. Dieser Optimierungsschritt
versagt zwar bei unendlichen Pfaden, aber wenn man der Meinung ist, im
Unendlichen würde eh alles versagen, dann kann man daraus einen
schönen Brei rühren. {{Das ist eine sehr tiefe Wahrheit.}}
So wie a^(bc) /= (a^b)^c nicht notwendig zum Untergang des
mathematischen Abendlandes führen muss, so bleibt auch im Falle der
Nicht-Reduzierbarkeit der Pfade noch genügend Struktur übrig. {{Das
ist eine sehr konkrete Aussage - wenn man nur fest genug daran
glaubt.}} Das sage ich jetzt aber nur Dir, denn zu einer Diskussion
mit WM bleibt mir, wie ich bereits sagte, für eine Woche keine
Möglichkeit. {{Und auch anschließend hat sich die Potentia nicht
wieder aktualisiert.}}
[Rainer Rosenthal, "Das Kalenderblatt 100117", 30. 1. 2010]

(*) Der Binäre Baum gefällt mir deswegen so gut, weil er zeigt, dass
Pfade, die nur aus Knoten ent- und bestehen, nicht aktual unendlich
lang sein können. Die aktual unendliche Menge der Knoten erzeugt
lediglich einen potentiell unendlichen Binären Baum, bestehend aus der
aktual unendlichen Menge aller potentiell unendlichen (also jeweils
endlichen) Pfade. Um die aktual unendlichen Pfade hinzuzufügen, müsste
also noch etwas hinzukommen, was durch Knoten nicht ausgedrückt werden
kann.

Gruß, WM