Eine Darstellung der Bernoulli Polynome
Peter
H(n) ist dabei die n-te harmonische Zahl.
n k
----- -----
\ \
) ) (-1)^v binomial(k, v) H(k + 1) (x + v + 1)^n
/ /
----- -----
k = 0 v = 0
B_n(x)=sum_{k=0..n}(sum_{v=0..k}(-1)^v*binomial(k,v)*H(k+1)*(x+v+1)^n
Ich habe mir gerade im Internet die Augen ausgeguckt, aber die
Formel nirgends gefunden. Das gibt es doch nicht. Kann mir bitte
jemand helfen das Dingens zu lokalisieren? Natürlich auch in der
Literatur. Von wem stammt sie?
Danke.
Rainer Rosenthal
> Die folgende Formel ist eine Darstellung der Bernoulli Polynome.
> H(n) ist dabei die n-te harmonische Zahl.
>
> n k
> ----- -----
> \ \
> ) ) (-1)^v binomial(k, v) H(k + 1) (x + v + 1)^n
> / /
> ----- -----
> k = 0 v = 0
>
> B_n(x)=sum_{k=0..n}(sum_{v=0..k}(-1)^v*binomial(k,v)*H(k+1)*(x+v+1)^n
>
> Ich habe mir gerade im Internet die Augen ausgeguckt, aber die
> Formel nirgends gefunden. Das gibt es doch nicht. Kann mir bitte
> Literatur. Von wem stammt sie?
>
> Danke.
Hallo Peter,
Das sieht ja kï¿œstlich aus. David Cantrell dï¿œrfte Appetit darauf haben.
In der SeqFan-Liste dï¿œrfte die Formel ebenfalls ihre Liebhaber finden.
Dort sind Einordner und Knacker wie Max Alexeyev, aber auch Literatur-
Kenner vertreten, die sicher gerne behilflich sind.
Vorerst ist es "Peters Zauberformel".
Gruￜ,
Rainer
Peter
> Peter schrieb:
>
> > Die folgende Formel ist eine Darstellung der Bernoulli Polynome.
> > H(n) ist dabei die n-te harmonische Zahl.
>
> > n k
> > ----- -----
> > \ \
> > ) ) (-1)^v binomial(k, v) H(k + 1) (x + v + 1)^n
> > / /
> > ----- -----
> > k = 0 v = 0
>
> > B_n(x)=sum_{k=0..n}(sum_{v=0..k}(-1)^v*binomial(k,v)*H(k+1)*(x+v+1)^n
>
> > Ich habe mir gerade im Internet die Augen ausgeguckt, aber die
> > Formel nirgends gefunden. Das gibt es doch nicht. Kann mir bitte
> > Literatur. Von wem stammt sie?
>
> > Danke.
>
> In der SeqFan-Liste dürfte die Formel ebenfalls ihre Liebhaber finden.
> Dort sind Einordner und Knacker wie Max Alexeyev, aber auch Literatur-
> Kenner vertreten, die sicher gerne behilflich sind.
>
> Vorerst ist es "Peters Zauberformel".
David ist ein guter Tip! Danke. Da die Formel aber
auf so elementare Weise die harmonischen Zahlen mit
den Bernoulli Polynomen verbindet (ich denke einfacher
geht es nimmer), und beides mathemathische Größen mit
Bedeutung und Tradition sind, kann es eigentlich gar nicht
sein, dass ich sie gefunden habe (und auch bewiesen, was
aber nicht schwer ist). Wie sagte Littlewood einmal:
"Sobald eine Formel an der Tafel steht, ist sie trivial."
Gruss Peter
Maple:
pb := proc(n,x) local k,v, H;
H := proc(m) local i; add(1/i, i=1..m) end;
add(add((-1)^v*binomial(k,v)*H(k+1)*(x+v+1)^n, v=0..k),k=0..n);
sort(expand(%)); end:
seq(print(pb(i,x)),i=0..5);
seq(pb(i,x)-bernoulli(i,x),i=0..15);
Gottfried Helms
> On 13 Nov., 01:15, Rainer Rosenthal <r.rosent...@web.de> wrote:
>> Vorerst ist es "Peters Zauberformel".
>
> David ist ein guter Tip! Danke. Da die Formel aber
> auf so elementare Weise die harmonischen Zahlen mit
> den Bernoulli Polynomen verbindet (ich denke einfacher
> Bedeutung und Tradition sind, kann es eigentlich gar nicht
> sein, dass ich sie gefunden habe (und auch bewiesen, was
> aber nicht schwer ist). Wie sagte Littlewood einmal:
> "Sobald eine Formel an der Tafel steht, ist sie trivial."
>
> Gruss Peter
ich schlie�e mich mal der Suche an, ich meine, ich habe
solch eine Formel gesehen, bzw meine ich mich simpel an die
Involvierung der harmonischen Zahlen in einer Doppelsumme
zu erinnern.
Falls ich was finde, melde ich mich.
Gru� -
Gottfried
�hmm, ps, vielleicht bei Bernd Kellner nachsehen, "Bernoulli.org"?
(Haste wahrscheinlich schon, liegt ja ziemlich nahe...)
Peter
> ich schließe mich mal der Suche an,
Vielen Dank.
> Falls ich was finde, melde ich mich.
Bitte auch melden, falls du gesucht hast und nichts
gefunden hast. Auch das ist wichtige Information!
> Ähmm, ps, vielleicht bei Bernd Kellner nachsehen, "Bernoulli.org"?
> (Haste wahrscheinlich schon, liegt ja ziemlich nahe...)
Diese Seite verdient den Namen nicht. Sie dient allein der
Selbstvermarktung von Bernd Kellner, seines Programms Calcbn
und seiner persönlichen Publikationen.
Das ist Anmaßung und bewußte Täuschung. Eine Diplomarbeit
über ein Thema von AB zu schreiben und daraufhin seine Homepage
AB.org zu nennen. Und der Philosophieprofessor, der fünf Artikel
über Platon geschrieben hat, nennt seine Homepage Platon.org.
Peter
Knobelaufgabe für Zahlen- und Bernoulli-Freunde
===============================================
a(1) = 1. Für n > 1 ist a(n) das kleinste n, das
größer ist a(n-1) aber nicht weniger verschiedene
Primfaktoren besitzt als irgendeine ihr voraus-
gehende Zahl.
Weiter betrachten wir die Bernoulli Polynome
B(n,x) und die Polynome
P(n,x) = b(n) B(n,x),
die aus ihnen entstehen, wenn man die ganze Zahl
b(n) als die kleinste Zahl derart wählt, dass
P(n,x) nur ganzzahlige Koeffizienten besitzt.
Richtig oder falsch? > Ein solcher Faktor b(n)
muss in der Folge a(n) auftauchen.
Peter
> Die folgende Formel ist eine Darstellung der Bernoulli Polynome.
> H(n) ist dabei die n-te harmonische Zahl.
>
> n k
> ----- -----
> \ \
> ) ) (-1)^v binomial(k, v) H(k + 1) (x + v + 1)^n
> / /
> ----- -----
> k = 0 v = 0
>
> B_n(x)=sum_{k=0..n}(sum_{v=0..k}(-1)^v*binomial(k,v)*H(k+1)*(x+v+1)^n
>
Nice formula. Aber kennst du schon die n-te Peterische Zahl?
Nun, such nicht erst im Internet, findest sie eh wieder nicht.
Aber ich erklär sie dir. Sie ist völlig analog zur harmonischen
Zahl H(m) = Sum(1/k, k=1..m), und zwar definiert als:
P(m) = Sum(2/2^k, k=1..m).
Na toll, sagst du, hab ich sicher schon mal gesehen, aber was mach
ich jetzt damit? Ganz einfach, tausch doch mal in deiner Formel
die Harmonische Zahl gegen die Peterische Zahl aus. Nicht
mehr und nicht weniger.
n k
----- -----
\ \
) ) (-1)^v binomial(k, v) P(k + 1) (x + v + 1)^n
/ /
----- -----
k = 0 v = 0
E_n(x)=sum_{k=0..n}(sum_{v=0..k}(-1)^v*binomial(k,v)*P(k+1)*(x+v+1)^n
Ach geh, da kann ja wohl jetzt nur irgendein Zahlensalat rauskommen,
schließlich glaube ich im Gegensatz zum RR weder an Platon noch
an Zauberer.
> Ich habe mir gerade im Internet die Augen ausgeguckt, aber die
> Formel nirgends gefunden. Das gibt es doch nicht. Kann mir bitte
> jemand helfen das Dingens zu lokalisieren? Natürlich auch in der
> Literatur. Von wem stammt sie?
Na, von wem wohl.
Rainer Rosenthal
> On 13 Nov., 00:41, Peter <peter.lusc...@googlemail.com> wrote:
>> Die folgende Formel ist eine Darstellung der Bernoulli Polynome.
>> H(n) ist dabei die n-te harmonische Zahl.
>>
>> n k
>> ----- -----
>> \ \
>> ) ) (-1)^v binomial(k, v) H(k + 1) (x + v + 1)^n
>> / /
>> ----- -----
>> k = 0 v = 0
>>
>> B_n(x)=sum_{k=0..n}(sum_{v=0..k}(-1)^v*binomial(k,v)*H(k+1)*(x+v+1)^n
>>
> Hallo Peter!
>
> Nice formula. Aber kennst du schon die n-te Peterische Zahl?
> Nun, such nicht erst im Internet, findest sie eh wieder nicht.
> Zahl H(m) = Sum(1/k, k=1..m), und zwar definiert als:
>
> P(m) = Sum(2/2^k, k=1..m).
>
> Na toll, sagst du, hab ich sicher schon mal gesehen, aber was mach
> ich jetzt damit? Ganz einfach, tausch doch mal in deiner Formel
> die Harmonische Zahl gegen die Peterische Zahl aus. Nicht
> mehr und nicht weniger.
>
> n k
> ----- -----
> \ \
> ) ) (-1)^v binomial(k, v) P(k + 1) (x + v + 1)^n
> / /
> ----- -----
> k = 0 v = 0
>
> E_n(x)=sum_{k=0..n}(sum_{v=0..k}(-1)^v*binomial(k,v)*P(k+1)*(x+v+1)^n
>
> Ach geh, da kann ja wohl jetzt nur irgendein Zahlensalat rauskommen,
> an Zauberer.
>
>> Ich habe mir gerade im Internet die Augen ausgeguckt, aber die
>> Formel nirgends gefunden. Das gibt es doch nicht. Kann mir bitte
>> Literatur. Von wem stammt sie?
>
> Na, von wem wohl.
Euler?
Peter
> >> Peter schrieb:
> > Peter wrote:
> >> Die folgende Formel ist eine Darstellung der Bernoulli Polynome.
> >> H(n) ist dabei die n-te harmonische Zahl, H(m) = Sum(1/k, k=1..m).
> >> n k
> >> ----- -----
> >> \ \
> >> ) ) (-1)^v binomial(k, v) H(k + 1) (x + v + 1)^n
> >> / /
> >> ----- -----
> >> k = 0 v = 0
> > P(m) = Sum(2/2^k, k=1..m).
> >
> > Na toll, sagst du, hab ich sicher schon mal gesehen, aber was mach
> > ich jetzt damit? Ganz einfach, tausch doch mal in deiner Formel
> > die Harmonische Zahl gegen die Peterische Zahl aus. Nicht
> > mehr und nicht weniger.
> > n k
> > ----- -----
> > \ \
> > ) ) (-1)^v binomial(k, v) P(k + 1) (x + v + 1)^n
> > / /
> > ----- -----
> > k = 0 v = 0
> >
> > E_n(x)=sum_{k=0..n}(sum_{v=0..k}(-1)^v*binomial(k,v)*P(k+1)*(x+v+1)^n
> Euler?
Bravo Rainer! Ich wußte, dass du das mit bloßem Auge auf den
ersten Blick erkennen würdest. Die Polynome sind von Euler und
tragen seinen Namen, die Formel habe ich bei ihm nicht gesehen.
Damit ist das Studium der Bernoulli und Euler Polynome auf genauso
einfache wie natürliche Weise auf eine gemeinsame Grundlage
gestellt, die unberühmten Peter-Polynome:
n k
----- -----
\ \
) ) (-1)^v binomial(k, v) F(k + 1) (x + v + 1)^n
/ /
----- -----
k = 0 v = 0
P_{n,F}(x)=sum_{k=0..n}(sum_{v=0..k}(-1)^v*binomial(k,v)*F(k+1)*(x+v+1)
^n
F(n) ist dabei eine beliebige Folge, sinnvoll eine Folge rationaler
Zahlen, besonders hübsch, wenn F konvergiert, noch hübscher, wenn
die Werte alle zwischen -1 und 1 liegen, muss aber alles nicht sein.
Macht jetzt so eine Verallgemeinerung denn überhaupt Sinn? Werden
die Peter-Polynome je den Dunstkreis dieser Diskussionsrunde
überschreiten? Oder sind sie einfach nur Ausdruck dieser penetranten
Berufskrankheit der Mathematiker, die alles verallgemeinern zu müssen
glauben?
Machen wir einen Test. Test driven math (TDM), test first, think
later,
die neue agile extrem Methode Mathematik zu betreiben.
Ich hack jetzt also mit geschlossenen Augen irgendetwas in Maple.
F:= k-> if irem(k+1,4)=0 then 0 else 1/((-1)^iquo(k+1,4)*2^iquo(k,2))
fi:
Ich mach die Augen wieder auf. Mein Gott, was ist das denn geworden?
Wilder geht's nimmer. Anders geschrieben:
F(k) = [4 notdiv k] (-1)^floor(k/4) / 2^floor(k/2)), wobei
[4 notdiv k] ist 0 wenn 4 k teilt, sonst 1. (Iverson Notation)
So, und nu schauen wir mal. Wählen wir ersteinmal x=0 und x=1.
P_{n,F}(0) = 1,0,-1,0,..
P_{n,F}(1) = 1,1,0,-2,..
Geduld, mein alter Rechner ist ein bißchen langsam. Aber jetzt
kommen die nächsten Zahlen.
Oh nein, ich fass es einfach nicht....
Wolfgang Kirschenhofer
Hallo Peter!
Mit obiger Formel hast Du ein sehr schönes Ergebnis gefunden, zu dem man
gratulieren kann.
Weil Du aber schon Literatur zum Thema suchst, möchte ich Dir folgende
Hinweise geben:
1.) Im Buch "Combinatorial Theory" von Martin Aigner (Springer,1997) ist
auf Seite 117 die Übungsaufgabe 11., deren Lösung vermutlich zu der von
Dir gefundenen Formel für die Bernoulli-Polynome b_n(x)führt.
Leider ist in (iii) ein Schreibfehler.
(iii) muß richtig heißen
x^n = sum_{k=0..n} binomial(n,k)*(n-k+1)^(-1)*b_k(x) mit b_0(x)=1 .
Aus dieser Gleichung erhält man vermutlich deine Formel durch Inversion.
Leider kann ich dazu nicht mehr sagen, weil ich mich erst einlesen
müßte, wozu mir derzeit die Zeit fehlt, wegen Beschäftigung mit Physik.
2.)Vieles zum Thema müßte man in zumindest einem der beiden folgenden
Bücher finden:
J.Riordan: Combinatorial Identities, J.Wiley & Sons.
J.Riordan: An Introduction to Combinatorial Analysis, J.Wiley & Sons.
3.)Falls Du es wünschst, dann kann ich Dir via E-Mail die überaus
interessante Arbeit "Lagrange-Inversion" von Josef Hofbauer als PDF-File
schicken, welche die klassischen, aber auch weitergehende Methoden zur
Inversion enthält. Josef Hofbauer ist Professor an der Universität Wien.
Grüße,
Wolfgang
Peter
> Mit obiger Formel hast Du ein sehr schönes Ergebnis gefunden, zu
> dem man gratulieren kann.
Das Ergebnis ist schön, keine Frage, gefunden habe ich es auch, aber
ob ich der erste war, das ist natürlich jetzt die spannende Frage.
Nach wie vor kenne ich keine Stelle in der Literatur, aber das hat
bei diesem alten Thema und der immensen Fülle von Arbeiten dazu
wenig zu sagen.
Aber das schönste ist, dass in gleicher Bauart auch die Euler
Polynome darstellbar sind. Um mit dem lieben RR zu reden, "das
kann kein Zufall sein", damit liegt ein Zugang für systematischere
Untersuchungen vor. Ein erstes Resultat aus dieser Ecke besagt,
dass die klassische alternierende Summation, für die man bisher
die Euler Polynome verwendet hat, sich einfacher berechnen läßt,
nämlich mit Polynomen mit ganzzahligen Koeffizienten.
Ich habe darüber an diversen Orten im Internet schon berichtet,
unter anderem eine Reihe von Beispielen in OEIS einfließen lassen.
> Weil Du aber schon Literatur zum Thema suchst, möchte ich Dir folgende
> Hinweise geben:
> 1.) Im Buch "Combinatorial Theory" von Martin Aigner (Springer,1997) ist
> auf Seite 117 die Übungsaufgabe 11., deren Lösung vermutlich zu der von
> Dir gefundenen Formel für die Bernoulli-Polynome b_n(x)führt.
> Leider ist in (iii) ein Schreibfehler.
> (iii) muß richtig heißen
> x^n = sum_{k=0..n} binomial(n,k)*(n-k+1)^(-1)*b_k(x) mit b_0(x)=1 .
> Aus dieser Gleichung erhält man vermutlich deine Formel durch Inversion.
Für Leser der deutschen Ausgabe: dies ist auf Seite 170 des ersten
Bandes die Aufgabe 19*.
> 3.)Falls Du es wünschst, dann kann ich Dir via E-Mail die überaus
> interessante Arbeit "Lagrange-Inversion" von Josef Hofbauer als PDF-File
> schicken, welche die klassischen, aber auch weitergehende Methoden zur
> Inversion enthält. Josef Hofbauer ist Professor an der Universität Wien.
Danke, da eine Kopie der PDF-Datei auf einem Server von
Actes du Seminaire Lotharingien de Combinatoire 6 (1982)
in Strassbourg liegt habe ich sie schon ;-) (Wobei mir nicht
entgangen ist, dass darin auf eine Arbeit von P. Kirschenhofer
verwiesen wird.)
Vielen Dank für deine Anmerkungen.
Gruss Peter
Gottfried Helms
> On 13 Nov., 09:11, Gottfried Helms <he...@uni-kassel.de> wrote:
>
>
> Vielen Dank.
>
>> Falls ich was finde, melde ich mich.
>
> Bitte auch melden, falls du gesucht hast und nichts
> gefunden hast. Auch das ist wichtige Information!
>
ich habe jetzt einen gro�en Teil der nach meinem Gef�hl
infragekommenden Artikel aus meiner bookmarkliste durch-
gesehen aber die Stelle, die damals meine kurze Aufmerk-
samkeit erregt hatte, nicht wiedergefunden. Also blase
ich das jetzt mal ab, aber ich halte die Frage weiter
im Hinterkopf. Ich hatte ja selbst ein paar sch�ne
Identit�ten mit den harmonic numbers gefunden (daher meine
grunds�tzliche Aufmerksamkeit hierzu), aber diese "threads"
ja zugunsten meiner Tetration-Diskussion komplett liegen-
gelassen. Wie auch immer - hak' meinen Alarm einfach ab;
falls ich auf die bewu�te Stelle sto�en sollte, melde
ich mich sowohl im positiven als auch im negativen Fall.
Und: <Daumen-dr�ck> f�r Deine Untersuchungen!
Gru� -
Gottfried
Peter
> ich habe jetzt einen großen Teil der nach meinem Gefühl
> infragekommenden Artikel aus meiner bookmarkliste durch-
> gesehen aber die Stelle, die damals meine kurze Aufmerk-
> samkeit erregt hatte, nicht wiedergefunden.
Danke für Deine Mühe!
> Ich hatte ja selbst ein paar schöne
> Identitäten mit den harmonic numbers gefunden
Sei doch so lieb und reich uns noch einen Link dazu herein.
Was ich von dir gelesen habe, war immer ein work in progress und
ich wüßte jetzt nicht, wo deine aktuelle Fassung zu finden ist.
Gruss Peter
Peter
>
> F(k) = [4 notdiv k] (-1)^floor(k/4) / 2^floor(k/2)), wobei
> [4 notdiv k] ist 0 wenn 4 k teilt, sonst 1. (Iverson Notation)
>
> So, und nu schauen wir mal. Wählen wir ersteinmal x=0 und x=1.
>
> P_{n,F}(0) = 1,0,-1,0,..
> P_{n,F}(1) = 1,1,0,-2,..
>
> Geduld, mein alter Rechner ist ein bißchen langsam. Aber jetzt
> kommen die nächsten Zahlen. Oh nein, ich fass es einfach nicht....
Was hat denn nur unseren Berichterstatter hier aus der Fassung
gebracht?
Nun, P_{n,F}(0) entpuppte sich als die Euler-Zahlen (A122045)
und P_{n,F}(1) als die vorzeichenbehafteten Tangenten-Zahlen
(A009006) (vgl. OEIS).
Der eigentliche Clou kommt aber noch: Betrachtet man die
Polynome selber, so sieht man, dass sie /ganzzahlige/ Koeffizienten
besitzen -- dies steht der Tatsache gegenüber, dass die Euler-Polynome
(genauso wie die Bernoulli-Polynome) rationale Koeffizienten
haben.
Offenbar betrachtet dies der Berichterstatter als einen Zugewinn
an Einfachheit und Schönheit gegenüber den altehrwürdigen Euler-
Polynomen.
Ein weiterer Aspekt tritt hinzu: Der vorgestellte Ansatz scheint
fruchbar zu sein, innerhalb kurzer Zeit wurde eine Reihe weiterer
Polynomfolgen gefunden, alle mit ganzzahligen Koeffizienten,
deren Betrachtung vielfältige Verbindungen zu kombinatorischen
Abzählungen aufweisen. Diese Betrachtungen sind allerdings
unausgearbeitet und stecken in den Kinderschuhen.
Gottfried Helms
> Gottfried Helms wrote:
>
>
>> Ich hatte ja selbst ein paar sch�ne
>> Identit�ten mit den harmonic numbers gefunden
>
> Sei doch so lieb und reich uns noch einen Link dazu herein.
> Was ich von dir gelesen habe, war immer ein work in progress und
>
Au weia... Wie �blich stellt(e) sich ja heraus, da� diese
Sachen alles 18./19.Jahrhundert sind (nur meine Schreibweise
als Matrixalgebra weicht letztlich davon ab, allerdings damit
m�glicherweise auch der Zugang zu den Ergebnissen).
Z.B. eine Diskussion ist hier
http://go.helms-net.de/math/binomial_new/10_4_zetasums.pdf
in Kap 3.7
Ich betrachte Summen von Zetas, die u.a. rationale Ergebnisse
bringen, ausgehend von der sch�nen Gotti-matrix Gp, die wir
damals so sch�n diskutiert hatten (mit den Integralen der
Bernoulli-polynomiale), von deren Inverse und deren Komposition
mit der Pascal-matrix.
Ich habe gerade noch einmal hineingeschaut um mich zu ver-
gewissern - leider merke ich meine gro�e Unerfahrenheit damals,
diese Dinge �berhaupt ad�quat auszudr�cken und es ist wahrschein-
lich f�r jeden, der diese Matrixerei nicht von Anfang an verfolgt
hat schwer zu lesen; vielleicht bekomme ich es ja im dunklen Winter
hin, diese ganzen Sachen noch mal zu �berarbeiten und zu gl�tten...
also bis dahin m��te ich dann zwecks Lesehilfe ggfls hier mit
Kommentaren aushelfen ;-)
Ich will mal sehen, es gab noch den einen oder anderen Zusammenhang,
Soweit erst mal -
Gottfried
Peter
über die sicherlich noch jahrhundertelang nachgegrübelt
werden kann. Insbesondere die Zetafunktion berührt mich
immer wieder aufs Neue wie mit einem Zauberstab...
> diese Dinge überhaupt adäquat auszudrücken und es ist
> wahrscheinlich für jeden, der diese Matrixerei nicht
> von Anfang an verfolgt hat schwer zu lesen;
Du kennst meine, well, Reserviertheit, gegenüber dieser
Darstellungsform..
> diese ganzen Sachen noch mal zu überarbeiten und
> zu glätten..
Mach doch mal hier einen Thread auf und gib uns
schrittweise eine Einführung in Gottis MatriZeta-Theorie.
Aber ich habe auch gerade auch einige Dinge gesehen, die ich
einmal in Bezug auf diesen Thread hier 'checken' muss.
Gruss Peter
Alfred Flaßhaar
(...)
> Mach doch mal hier einen Thread auf und gib uns
> schrittweise eine Einf�hrung in Gottis MatriZeta-Theorie.
(...)
Na endlich. Wird ja auch langsam Zeit dazu ;-).
Freundliche Gr��e, Alfred Fla�haar
Peter
Hallo Peter!
> > >> Die folgende Formel ist eine Darstellung der Bernoulli Polynome.
> > >> H(n) ist dabei die n-te harmonische Zahl, H(m) = Sum(1/k, k=1..m).
n k
----- -----
\ \
B_n(x) = ) ) (-1)^v binomial(k, v) H(k + 1) (x + v + 1)^n
/ /
----- -----
k = 0 v = 0
> Werden die Peter-Polynome je den Dunstkreis dieser Diskussionsrunde
> überschreiten?
Rethorische Frage.
> Oder sind sie einfach nur Ausdruck dieser penetranten Berufskrankheit
> der Mathematiker, die alles verallgemeinern zu müssen glauben?
Warum musst du nur immer so polemisch sein?
Denn eins ist doch klar: Wenn tatsächlich eine schöne Formel gefunden
wurde, dann will man doch noch mehr darüber wissen. Und eine Methode
dazu ist es nunmal, zu verallgemeinern, um das Spezielle besser
erkennen zu können.
Im ersten Schritt geht dies erstaunlich einfach: man hängt überall
einen Index ran. Etwa so:
n k
----- -----
\ \
B_n^{r}(x) = ) ) (-1)^v binomial(k,v) H^{r}(k+1)(x+v+1)^n
/ /
----- -----
k = 0 v = 0
Im zweiten Schritt muss man nur mehr sagen, was H^{r}(k) zu bedeuten
hat. Aber das ist auch nicht schwer. Man sagt, ist r=0, so bedeute
dies dasselbe wie bisher ohne diesen zusätzlichen Parameter.
Ist r>1 so macht man seinem Kumpel eine Freude, da man weiß, dass
er in seinem Bücherregal J.H. Conway und R.K. Guy, The Book of
Numbers,
stehen hat. Man sagt also, das sind die 'hyperharmonic numbers'.
Und dann geht man hier hin: http://dx.doi.org/ und wirft folgende
Zeichenkette ein: doi:10.1016/j.jnt.2009.08.005
Wow. Jetzt wird es spannend. Erst seit dem 15 October 2009 available
online, communicated by Ronald Graham. Das klingt gut. Wir sind an
der Front der Wissenschaft gelandet, und nicht bei irgendwelchen
Zermelos von vor 100 Jahren.
"We show that the sum of the series formed by the so-called
hyperharmonic
numbers can be expressed in terms of the Riemann zeta function. These
results enable us to reformulate Euler's formula involving the Hurwitz
zeta function. In additon, we improve Conway and Guy's formula for
hyperharmonic numbers."
Das muss ich jetzt erst einmal verdauen. See you.
Rainer Rosenthal
> Ist r>1 so macht man seinem Kumpel eine Freude, da man weiￜ, dass
> er in seinem Bï¿œcherregal J.H. Conway und R.K. Guy, The Book of
> Numbers, stehen hat.
Und ein anderer Kumpel hat es auch in Deutsch: Zahlenzauber.
Bei Deinem Hinweis auf die Tangens-Entwicklung wï¿œre ich schon beinahe
aufgestanden, um den Zusammenhang mit den Euler-Zahlen nachzuschlagen,
der mich anno Schnee schon mal erstaunt hatte. Viel Freude bei
den Doppelsummen an der Wissenschaftsfront!
Gruￜ,
Rainer
Peter
> > Peter schrieb:
> > Ist r>1 so macht man seinem Kumpel eine Freude, da man weiß, dass
> > er in seinem Bücherregal J.H. Conway und R.K. Guy, The Book of
> > Numbers, stehen hat.
> Und ein anderer Kumpel hat es auch in Deutsch: Zahlenzauber.
Ei, das ist ja krass. Kannst du uns mal ein bißchen daraus
vorlesen, was es mit diesen Hyper-Dingern auf sich hat?
> Bei Deinem Hinweis auf die Tangens-Entwicklung wäre ich schon beinahe
> aufgestanden,
Darfst dabei auch gerne sitzen bleiben...
Rainer Rosenthal
>> Rainer Rosenthal wrote:
>
>> Und ein anderer Kumpel hat es auch in Deutsch: Zahlenzauber.
>
> vorlesen, was es mit diesen Hyper-Dingern auf sich hat?
Ich bleibe sitzen und warte, bis Gottfried was zitiert. Er ist
nï¿œmlich im Besitz der deutschen Version. Englische Zitate hatten
wir in den letzten Monaten ja zer Melonï¿œge.
Gruￜ,
Rainer
Gottfried Helms
> Peter schrieb:
>>> Rainer Rosenthal wrote:
>>> Und ein anderer Kumpel hat es auch in Deutsch: Zahlenzauber.
>> vorlesen, was es mit diesen Hyper-Dingern auf sich hat?
>> Darfst dabei auch gerne sitzen bleiben...
>
> Ich bleibe sitzen und warte, bis Gottfried was zitiert. Er ist
> wir in den letzten Monaten ja zer Melon�ge.
>
> Gru�,
> Rainer
>
He! Worauf l�uft das hier hinaus?! Greift da
pl�tzlich so ein graues, unf�rmiges kosmisches
Orakel nach meinen zarten Brillengl�sern??
<schauder>
Schr-ottfried
Rainer Rosenthal
> He! Worauf lï¿œuft das hier hinaus?! Greift da
> plï¿œtzlich so ein graues, unfï¿œrmiges kosmisches
> Orakel nach meinen zarten Brillenglï¿œsern??
> <schauder>
Meine Gï¿œte, hab' Dich nicht so. Warum schreist Du
denn gleich Zeta und Mordio? W I R meinen es
doch nur guuuut mit Dir.
(Sonst singst Du unter dem Weihnachtsbaum doch statt
"Tochter Zion, freu-eu-eu-e dich" in Deinem Wahn
"Tetra-Tion, ...")
Gruￜ,
Rainer
Peter
> denn gleich Zeta und Mordio? W I R meinen es
> doch nur guuuut mit Dir.
> "Tochter Zion, freu-eu-eu-e dich" in Deinem Wahn
> "Tetra-Tion, ...")
Also ich trinke vor 18 Uhr nie. Aber was soll's.
Ihr könnt ja eure Erkenntnisse noch nachtragen.
Damit wir eine Arbeitsbasis bekommen habe ich
mal das Wichtigste mit Maple aufgeschrieben.
Festbreitenschrift einstellen.
Die hyper-harmonischen Zahlen mit Maple.
===============================
HH := proc(r,n) local k;
if r = 0 then 1/n else add(HH(r-1,k),k=1..n) fi end:
for r from 1 to 3 do seq(HH(r,i),i=1..5) od;
# In der ersten Zeile stehen die hyper-harmonischen
# Zahlen erster Ordnung
1, 3/2, 11/6, 25/12, 137/60,..
# in der zweiten Zeile die HHs 2. Ordnung;
1, 5/2, 13/3, 77/12, 87/10, ..
# in der dritten Zeile die HHs 3. Ordnung;
1, 7/2, 47/6, 57/4, 459 / 20,..
usw. Erzeugende Funktion:
gf := r -> series(-ln(1-x)*(1-x)^(-r),x):
gf(1);
2 3 25 4 137 5 6
x + 3/2 x + 11/6 x + -- x + --- x + O(x )
12 60
gf(2);
2 3 77 4 87 5 6
x + 5/2 x + 13/3 x + -- x + -- x + O(x )
12 10
gf(3);
2 3 4 459 5 6
x + 7/2 x + 47/6 x + 57/4 x + --- x + O(x )
20
# Satz von Conway und Guy: HH(r,n) = CG(r,n), wobei
CG := (n,r) -> binomial(n+r-1,r-1)*(HH(1,n+r-1)-HH(1,r-1)):
for r from 1 to 3 do seq(CG(i,r),i=1..5) od;
Gottfried Helms
> Gottfried Helms schrieb:
>
>> Orakel nach meinen zarten Brillengl�sern??
>> <schauder>
>
> Meine G�te, hab' Dich nicht so. Warum schreist Du
> denn gleich Zeta und Mordio? W I R meinen es
> doch nur guuuut mit Dir.
>
> (Sonst singst Du unter dem Weihnachtsbaum doch statt
> "Tochter Zion, freu-eu-eu-e dich" in Deinem Wahn
> "Tetra-Tion, ...")
Hmm. Und was soll Tetra-Tion tun, statt der Tochter Zion?
"...kooo-nver-giere-diech..."? "...Iiii-nter-polie-re-diichh, <kreisch>" ?
H�mmm?
<G>
Peter
> Die hyper-harmonischen Zahlen mit Maple.
> =======================================
> HH := proc(r,n) local k;
> if r = 0 then 1/n else add(HH(r-1,k),k=1..n) fi end:
Bleiben wir noch einen Moment bei den hyperharmonischen
Zahlen. Schauen uns aber vorher auf Wikipedia noch die
Bernoulli Seite an.
http://en.wikipedia.org/wiki/Bernoulli_number
und zwar den Abschnitt "Connection with the Stirling cycle
number". Da gibt es den Akiyama–Tanigawa Algorithmus für B_n.
A simple algorithm to compute the Bernoulli number. The input
is the first row, A_{0,m] = 1/(m + 1) and the output are the
Bernoulli number in the first column A_{n,0} = B_n. This
transformation is shown in pseudo-code below.
Eingabe n.
For m from 0 by 1 to n do
A[m] <- 1/(m + 1)
For j from m by -1 to 1 do
A[j - 1] <- j * (A[j - 1] - A[j])
Return A[0] (und dies ist is B_n).
Wer sich noch an den legendären Thread hier vor fast genau
6 Jahren mit konstruktiven Beiträgen von Wolfgang Kirschenhofer,
Hermann Kremer, Christopher Creutzig, Alexandru Lupas und Rainer
Rosenthal erinnert, den ich simultan Online mit einem Maple-
Worksheet begleitete, der findet genau diese Beschreibung
auch dort.
http://www.luschny.de/dsmath/archiv/BerEuler/BerEuler1.html#MapleAutoBookmark20
Zurück zu den HH-Zahlen. Betrachten wir nun den sehr ähnlichen
Algorithmus (die Anfangszeile variiert in Abhängigkeit von r,
und das Bildungsgesetz ist noch einfacher geworden)
H := proc(r, n)
for m from 0 by 1 to n do
if r = 1 then if m = 0 then A[0] := 0
else A[m] := -(-1)^m/m fi fi;
if r = 2 then if m = 0 then A[0] := 0
elif m = 1 then A[1] := 1
else A[m] := (-1)^m/(m*(m-1)) fi fi;
for j from m by -1 to 1 do
A[j - 1] := A[j - 1] + A[j];
od od; RETURN(A[0]) end:
seq(H(1,i),i=1..9);
25 137 49 363 761 7129
1, 3/2, 11/6, --, ---, --, ---, ---, ----, ...
12 60 20 140 280 2520
> seq(H(2,i),i=1..9);
77 87 223 481 4609 4861
1, 5/2, 13/3, --, --, ---, ---, ----, ----, ...
12 10 20 35 280 252
Erstaunlich erstaunlich ... Worauf läuft das hier hinaus?!
Bastian Erdnuess
> Damit wir eine Arbeitsbasis bekommen habe ich
> mal das Wichtigste mit Maple aufgeschrieben.
Zwischenruf aus den billigen Reihen :
Ich hab auch mal was zu Beginn der Diskussion in Mathematica
aufgeschrieben:
nPly[n_][a_, b_] := Module[{k}, Sum[a[k] b[k], {k, 0, n}]]
mPly[n_][a_, b_] := nPly[n][a[n], b]
b[k_][v_] := (-1)^v Binomial[k, v]
bin[k_][l_] := mPly[k][b, l]
l[x_][n_][v_] := (x + v + 1)^n
m[x_][n_][k_] := bin[k][l[x][n]]
f[x_][p_][n_] := mPly[n][m[x], p[# + 1] &]
And @@ Table[
Simplify[f[x][HarmonicNumber][n] == BernoulliB[n, x]],
{n, 1, 10}]
--> True
And @@ Table[
Simplify[f[x][Sum[2/2^k, {k, 1, #}] &][n] == EulerE[n, x]],
{n, 1, 10}]
--> True
t[x_][ord_] :=
Table[Expand[m[x][n][k]/k!, x], {n, 0, ord}, {k, 0, ord}]
t[x][3] // TableForm
--> 1 0 0 0
1 + 1 x - 1 0 0
1 + 2 x + 1 x^2 - 3 - 2 x 1 0
1 + 3 x + 3 x^2 + 1 x^3 - 7 - 9 x - 3 x^2 6 + 3 x - 1
Inverse@t[x][3] // TableForm
--> 1 0 0 0
1 + 1 x - 1 0 0
2 + 3 x + 1 x^2 - 3 - 2 x 1 0
6 + 11 x + 6 x^2 + 1 x^3 - 11 - 12 x - 3 x^2 6 + 3 x - 1
Jede Menge bekannte Zahlen! -- Ok, wenn man 3 ein bisschen h�her
ansetzt.
Du hast gefunden, dass m die harmonischen Zahlen auf die
Bernoulli-Polynome und die peterschen Zahlen auf die Euler-Polynome
abbildet. Wenn ich dich richtig verstehe willst du nun die Wirkung von
m auf die hyperharmonischen Zahlen studieren. Da m/k! und (m/k!)^(-1)
zu so sch�nen Zahlen f�hren, kann ich mir vorstellen, dass es helfen
kann, sich m oder m/k! auch mal selbst genauer anzugucken.
Bastian
Peter
> Zwischenruf aus den billigen Reihen :
Willkommen im Thread. Freut mich!
> Ich hab auch mal was zu Beginn der Diskussion in Mathematica
> aufgeschrieben:
> And @@ Table[
> Simplify[f[x][HarmonicNumber][n] == BernoulliB[n, x]],
> {n, 1, 10}]
> --> True
> And @@ Table[
> Simplify[f[x][Sum[2/2^k, {k, 1, #}] &][n] == EulerE[n, x]],
> {n, 1, 10}]
> --> True
Soweit die gute Nachricht ;-)
> t[x_][ord_] :=
> Table[Expand[m[x][n][k]/k!, x], {n, 0, ord}, {k, 0, ord}]
>
> t[x][3] // TableForm
> --> 1 0 0 0
> 1 + 1 x - 1 0 0
> 1 + 2 x + 1 x^2 - 3 - 2 x 1 0
> 1 + 3 x + 3 x^2 + 1 x^3 - 7 - 9 x - 3 x^2 6 + 3 x - 1
>
> Inverse@t[x][3] // TableForm
> --> 1 0 0 0
> 1 + 1 x - 1 0 0
> 2 + 3 x + 1 x^2 - 3 - 2 x 1 0
> 6 + 11 x + 6 x^2 + 1 x^3 - 11 - 12 x - 3 x^2 6 + 3 x - 1
>
> Jede Menge bekannte Zahlen!
;-)) x = -1,-1/2,0,1/2,1 und an einigen noch geheimen Orten
ausgewertet gibt in der Tat unvernüftig viel bekanntes Material,
und wenn du dann noch anfängst mit geeigneten Gewichtsfunktionen
zu skalieren hast du bald das HMF nachgebaut ;-)
> Du hast gefunden, dass m die harmonischen Zahlen auf die
> Bernoulli-Polynome und die peterschen Zahlen auf die Euler-Polynome
> abbildet. Wenn ich dich richtig verstehe willst du nun die Wirkung von
> m auf die hyperharmonischen Zahlen studieren.
Wenn ich in einem solchen Thread schreibe, habe ich keinen Plan.
Ich schreibe spontan aus der Laune heraus und es muss höchstens
zur Musik (*) passen.
> Da m/k! und (m/k!)^(-1)
> zu so schönen Zahlen führen, kann ich mir vorstellen, dass es helfen
> kann, sich m oder m/k! auch mal selbst genauer anzugucken.
Auf, auf, schreib, hier ist noch genug Platz in diesem Thread...
Gruss Peter
Rainer Rosenthal
> Ich schreibe spontan aus der Laune heraus und es muss hï¿œchstens
> zur Musik (*) passen.
>
> (*) http://www.youtube.com/watch?v=X2aQIyz8B7Q
Donnerlattich - habe ich noch nie gehï¿œrt. 2003 gestorben - Trauer!
Rainer
Peter
> ===============================================
> Weiter betrachten wir die Bernoulli Polynome
> B(n,x) und die Polynome
> P(n,x) = b(n) B(n,x),
> die aus ihnen entstehen, wenn man die ganze Zahl
> b(n) als die kleinste Zahl derart wählt, dass
> P(n,x) nur ganzzahlige Koeffizienten besitzt.
> ===============================================
Ich hatte diesen Nebenzweig der Diskussion geöffnet in
der Hoffnung Rainer Rosenthals Recreative Raetsel Runde
wuerde sich ihrer annehmen. Die Folge b(n) hat einige
interessante Eigenschaften, wie angedeutet, scheint
aber sonst völlig unbekannt zu sein (vgl. aber A144845).
Die Polynome P(n,x) will ich einmal 'normalisierte
Bernoulli Polynome' nennen. Nimmt man jetzt die
Verallgemeinerung hinzu, die sich beim Einsatz der
hyperharmonischen Zahlen an Stelle der harmonischen
Zahlen in der Doppelsummenformel ergibt, so gelangt
man zu einer Folge von Polynomfolgen, die dann die
"Normalized Hyper-Bernoulli Polynomials" sind.
Deren Koeffizienten berechnet folgende Maple-Routine.
Vielleicht sehen Zahlentüftler und OEIS-Fans da noch
die eine oder andere Verbindung?
# Normalized Hyper-Bernoulli Polynomials
NHB := proc(r,n,x) local k, v, HH, Coeffs, b;
HH := proc(r,n) local k;
if r = 0 then 1/n else add(HH(r-1,k),k=1..n) fi end:
Coeffs := proc(p) local i;
seq(coeff(p,x,i), i=0..degree(p)) end;
b := n -> ilcm(seq(denom(c),c=coeffs(bernoulli(n,x))));
b(n)*add(add((-1)^v*
binomial(k,v)*HH(r,k+1)*(x+v+1)^n, v=0..k), k=0..n);
Coeffs(sort(expand(%))) end:
for r from 1 to 3 do seq(print(NHB(r,i,x)),i=0..6) od;
NHB(1,0<=i<=6,x) (bis auf Normalisierung die klassischen
Bernoulli Polynome, im Fall r = 1 fallen die harmonischen
und die hyperharmonischen Zahlen zusammen):
1
-1, 2
1, -6, 6
0, 1, -3, 2
-1, 0, 30, -60, 30
0, -1, 0, 10, -15, 6
1, 0, -21, 0, 105, -126, 42
NHB(2,0<=i<=6,x):
1
-3, 2
13, -18, 6
-6, 13, -9, 2
119, -360, 390, -180, 30
-30, 119, -180, 130, -45, 6
253, -1260, 2499, -2520, 1365, -378, 42
NHB(3,0<=i<=6,x):
1
-5, 2
37, -30, 6
-30, 37, -15, 2
1079, -1800, 1110, -300, 30
-510, 1079, -900, 370, -75, 6
8317, -21420, 22659, -12600, 3885, -630, 42
Gottfried Helms
>>> Rainer Rosenthal wrote:
>>> Und ein anderer Kumpel hat es auch in Deutsch: Zahlenzauber.
>> vorlesen, was es mit diesen Hyper-Dingern auf sich hat?
>> Darfst dabei auch gerne sitzen bleiben...
>
> Ich bleibe sitzen und warte, bis Gottfried was zitiert. Er ist
> wir in den letzten Monaten ja zer Melon�ge.
>
> Gru�,
> Rainer
>
Hi Rainer -
steht das mit dem Zitieren eigentlich noch an?
Ich seh' mal nach wenn ich kapiere, was �berhaupt...
Gottfried
Peter
Was schreiben die beiden (Conway und Guy) über den
Zusammenhang hyperharmonische Zahlen und Zetafunktion?
Da soll's doch noch langgehen...
Peter
> > ===============================================
> > Weiter betrachten wir die Bernoulli Polynome
> > B(n,x) und die Polynome
> > P(n,x) = b(n) B(n,x),
> > die aus ihnen entstehen, wenn man die ganze Zahl
> > b(n) als die kleinste Zahl derart wählt, dass
> > P(n,x) nur ganzzahlige Koeffizienten besitzt.
> > ===============================================
> Die Folge b(n) hat einige interessante Eigenschaften
> (vgl. A144845).
> Die Polynome P(n,x) will ich einmal 'normalisierte
> Bernoulli Polynome' nennen. Nimmt man jetzt die
> Verallgemeinerung hinzu, die sich beim Einsatz der
> hyperharmonischen Zahlen an Stelle der harmonischen
> Zahlen in der Doppelsummenformel ergibt, so gelangt
> man zu einer Folge von Polynomfolgen, die dann die
> "Normalized Hyper-Bernoulli Polynomials" sind.
Als erstes: Nach meinem Mittagsschläfchen gefällt mir die
Bezeichnung "Normalized Hyper-Bernoulli Polynomials" nicht mehr.
Klingt zu pompös und mit Eigennamen sollte man vorsichtiger
umgehen. Ich werde diese Dinger deshalb künftig "normalized
hyperharmonic polynomials" nennen und sagen, dass die Bernoulli
Polynome ein Spezialfall von diesen sind (r=1).
Außerdem werde ich künftig zwischen der normalisierten Form
und der Standardform sprachlich nicht mehr unterscheiden, also
nur mehr von den "hyper harmonic polynomials" sprechen, ob ich
jetzt die Variante mit den ganzzahligen oder mit rationalen
Koeffizienten meine, ergibt sich aus dem Kontext.
Nachdem ich mir die Routine für die hyperharmonischen Polynome
nocheinmal angeschaut habe, fiel mir auf, dass darin die
Bernoulli Polynome (als Maplefunktion) selber wieder
referenziert werden. Das ist natürlich unschön und mag in
einem Betrachter den Verdacht des Vorliegens eines vicious
cycle erwecken.
Darüberhinaus sieht man außerdem, dass ja nur die Nenner
der Koeffizienten eingehen, gar nicht die Koeffizienten
als Ganzes -- na klar, so waren die Dinge ja auch definiert.
Schauen wir uns dazu am Besten einmal A053383 an, in der
'table' Darstellung, und zwar die rechte Diagonale und die
darunter liegende Diagonale.
diag: 1, 2, 6, 1, 30, 1, 42, 1, 30, 1, 42,..
subdiag: 1, 1, 2, 1, 6, 1, 6, 1, 10, 1, 6,..
Schmeißen wir jetzt die vielen langweiligen Einsen weg und lesen,
spaltenweise zuerst, von links nach rechts, so finden wir:
2, 6, 2, 30, 6, 42, 6, 30, 10, 42, 6,..
Bis auf den allerersten Term (n=0) ist das aber genau die
Folge A144845. Wir schöpfen Hoffnung, dass wir die Dinge
weiter vereinfachen können. Wer hilft mit?
Gottfried Helms
>> steht das mit dem Zitieren eigentlich noch an?
>
> Was schreiben die beiden (Conway und Guy) �ber den
> Zusammenhang hyperharmonische Zahlen und Zetafunktion?
> Da soll's doch noch langgehen...
Hier ist ein Scan der vermutlich gemeinten Umgebung:
http://go.helms-net.de/tmp/Dok2.htm
(werde ich morgen wieder l�schen)
Gru� -
Gottfried
Peter
> Folge A144845. Wir schöpfen Hoffnung, dass wir die Dinge
> weiter vereinfachen können. Wer hilft mit?
Vielleicht sollte ich noch einmal zusammenfassen, worum es
in diesem Nebenzweig des Threads geht, denn das Problem
kann vollkommen unabhängig vom übrigen Rest formuliert
(und eventuell gelöst) werden.
* Gesucht ist eine Formel für die Folge A144845, in der
* kein Bezug auf die Bernoulli Polynome genommen wird.
Das Schöne dabei ist, dass uns unsere Altvorderen dabei schon
die Hälfte der Arbeit abgenommen haben, Clausen und von Staudt
heißen die edlen Großmeister der Bernoullizahlen.
Die eine Teilfolge von A144845, für n = 0,2,4,...
(**) 1, 6, 30, 42, 30, 66, 2730, 30, 510, 3990, 2310, 690,...
sind die Nenner der Bernoullizahlen B_{2n}, A002445.
Die andere Teilfolge von A144845, für n = 1,3,5,...
(*) 2, 2, 6, 6, 10, 6, 210, 6, 30, 210, 330, 30, 546, 14,...
hat keinen Eintrag auf OEIS.
Für erste Teilfolge (**) gilt der Satz von Staudt und Clausen:
Es ist das Produkt der Primzahlen p so dass (p-1)|(2n).
Hier sind wir also schon aus dem Schneider.
Für die zweite Teilfolge (*) gilt .. ?
Dass die Folge (*) einen eigenen Eintrag in OEIS verdient, steht
für mich außer Frage. Wer auch noch ihr Bildungsgesetz dazu
schreiben kann, dem verspricht N.J.A.S.: (Reasons for sending in
your sequence): "Your name is immortalized." Also.
=======================================
2,2,6,6,10,6,210,6,30,210,330,30,546,14,30,462,3570,6,51870,
210,2310,2310,4830,210,6630,858,330,798,870,30,930930,4290,
5610,82110,210,330,21111090,114114,390,210,536690,39270,
37447410,30030,62790,31293570,2062830,2310,510510,...
Bastian Erdnuess
> Bastian wrote:
>
> > Jede Menge bekannte Zahlen!
>
> ;-)) x = -1,-1/2,0,1/2,1 und an einigen noch geheimen Orten
> ausgewertet gibt in der Tat unvern�ftig viel bekanntes Material,
> und wenn du dann noch anf�ngst mit geeigneten Gewichtsfunktionen
> zu skalieren hast du bald das HMF nachgebaut ;-)
Was hast du an den halben x-en gesehen? Mit ganzen Sachen tu ich mich
da irgendwie leichter. Und was ist das HMF? -- Die OEIS der Br�che?
> > Da m/k! und (m/k!)^(-1)
> > zu so sch�nen Zahlen f�hren, kann ich mir vorstellen, dass es helfen
> > kann, sich m oder m/k! auch mal selbst genauer anzugucken.
>
> Auf, auf, schreib, hier ist noch genug Platz in diesem Thread...
(Jetzt wo ich die Menge an Text sehe, die ich geschrieben hab, bin ich
mir da nicht mehr so sicher... Ich hoffe, manche einer liest es
trotzdem.)
Ich hab jetzt mal Gottfrieds Methoden auf m losgelassen und bin zu
Folgendem gekommen:
sum[k=0..n] (sum[v=0..k] (-1)^v (k �ber v) (x+1+v)^n) p[k+1]
= sum[k=0..n] m(x)[n,k] p_k (mit p_k = p[k+1])
mit m(x)[n,k] = 0 f�r n < k und sonst
m(x)[n,k] = sum[v=0..k] (-1)^v (k �ber v) (x+1+v)^n
(x+1+v)^n ist die n-te Zeile (von 0 z�hlend) aus dem Vektor V(x+1+v),
daher ist m(x)[n,k] auch die n-te Zeile von
sum[v=0..k] (-1)^v (k �ber v) V(x+1+v)
= sum[v=0..k] (-1)^v (k �ber v) P^v V(x+1)
= (I-P)^k V(x+1) (*) .
D. h. die k-te Spalte von m(x) ist das I-P~fache der k-1~ten Spalte. Da
P untere Dreiecksmatrix mit 1-en auf der Diagonalen ist, ist I-P untere
Dreiecksmatrix mit 0-en auf der Diagonalen, dadurch ergibt sich m(x)
automatisch auch als untere Dreiecksmatrix.
Man kann also m (rekursiv?) in Mathematica z. B. auch so bekommen:
imp[ord_] := Table[
KroneckerDelta[n,k] - Binomial[n,k], {n,0,ord}, {k,0,ord}]
v[x_][ord_] := Table[x^n, {n,0,ord}]
m[x_][ord_] := Transpose @
Expand[NestList[imp[ord].# &, v[x+1][ord], ord], x]
und weiter
mk[x_][ord_] := Expand[#/Table[k!, {k,0,ord}] & /@ m[x][ord], x]
und
imk[x_][ord_] := Inverse @ mk[x][ord] .
mk (=m(x)[n,k]/k!) und imk (=mk(x)^-1) eignen sich jetzt hervoragend f�r
ein Spiel: "Kreuzzahl-Jeopardy"; das ist sowas �hnliches wie ein
Kreuzwortr�tsel mit Zahlen, allerdings ist das Kreuzwortfeld bereits
vollst�ndig ausgef�llt, nur die Fragen fehlen noch. So ist z. B.
(Z�hlen startet bei Null!)
- OEIS A016269: Was ist die zweite Spalte von mk[1]?
- OEIS A058877: Was sind die Koeffizienten van x in der ersten Spalte
von mk[x]?
- Stirlingzahlen 1. Art: Was ist imk[0]? Oder, ...
- Stirlingzahlen 2. Art:
- OEIS A001705ff:
- OEIS A025211:
Noch Fragen? ;-) (Oder Antworten?)
Bastian
PS: Gestern war mein Internet kaputt und ich konnt den Artikel nicht
abschicken. Heute hab ich dann nochmal weiter geschrieben:
Man kann (*) (von oben) auch noch weiter auswerten:
sum[k=0..n] m(x)[n,k] p[k]
= sum[k=0..oo] p_k m(x)[n,k] (da m dreieckig)
= sum[k=0..oo] p_k (I-P)^k V(x+1)
= p(I-P) V(x+1) = p(I-P) P V(x)
mit p(t) = sum[k=0..oo] p_k t^k.
Nimmt man nun z.B. p_k=H[k+1] erh�lt man
h(t) = sum[n=0..oo] H[n+1] t^n
= sum[n=0..oo] sum[k=0..n] t^n/(k+1)
= sum[k=0..oo] t^(k+1)/(k+1) sum[n=k..oo] t^(n-k-1)
= 1/[t(1-t)] sum[k=0..oo] t^(k+1)/(k+1)
= 1/[t(1-t)] (-ln(1-t)) = -ln(1-t)/[t(1-t)]
Damit ist dann der Vektor B(x) der Bernoulli-Polynome gleich
B(x) = h(I-P) P V(x) = -ln(P) / (I-P) P^-1 P V(x)
= - (I-P)^-1 ln(P) V(x) = (P-I)^-1 ln(P) V(x)
ln(P) = A ist nun diejenige Matrix f�r die gilt P = exp(A). Man sieht
leicht:
V'(x) = lim[h->0] [V(x+h)-V(x)]/h = lim[h->0] [P^h V(x) - V(x)]/h
= lim[h->0] [exp(Ah)-I]/h V(x)
= lim[h->0] [I+Ah+(Ah)^2/2+o(h^2)-I]/h V(x)
= lim[h->0] [A+A^2 h/2+o(h)] V(x) = A V(x) = ln(P) V(x)
daher ist
B(x) = (P-I)^-1 V'(x) .
Leider nur ist P-I nicht invertierbar, daher bringt das nicht viel.
Multipliziert man aber mit P-I bekommt man wenigstens noch
(P-I)B(x) = V'(x)
P B(x) - B(x) = V'(x)
P B(x) = B(x) + V'(x)
Ich bin mir zwar nicht sicher, ob das jemand wissen will, aber es ist
ein ganz netter Zusammenhang, der da einfach so zwischen B(x) und P B(x)
rausf�llt. (Einfach so? Na gut, man hat ja den Zusammenhang zur
harmonischen Reihe reingesteckt.)
Das gleiche Spiel l�sst sich auch mit den Eulerpolynomen E(x) machen:
Sei
p(t) = sum[n=0..oo] p[n+1] t^n
= sum[n=0..oo] sum[k=1..n+1] 2/2^k t^n
= sum[n=0..oo] sum[k=0..n] 2^-k t^n
= sum[n=0..oo] (2-2^-n) t^n
= 2/(1-t) - sum[n=0..oo] (t/2)^n
= 2/(1-t) - 1/(1-t/2) = 2/(1-t) - 2/(2-t) = 2/[(1-t)(2-t)]
und dann ist
E(x) = p(I-P) P V(x) = 2/[P(I+P)] P V(x)
= 2 (I+P)^-1 P^-1 P V(x)
= 2 (I+P)^-1 V(x) .
Diesmal ist I+P tats�chlich invertierbar, daher bringt die Darstellung
vielleicht sogar was. Man kann allerdings trotzdem auch das selbe Spiel
wie Vorher machen und mit I+P multiplizieren, dann erh�lt man
(I+P) E(x) = 2 V(x) ==> P E(x) = 2 V(x) - E(x) ,
falls es jemanden interessiert.
Man h�tte auch wieder (I+P)^-1 mit der geometrischen Reihe entwickeln
k�nnen und w�re zu
E(x) = 2 sum[k=0..oo] (-1)^k V(x+k)
gekommen. Das n-te Eulerpolynom En(x) ist demnach
En(x) = 2 sum[k=0..oo] (-1)^k (x+k)^n
Die Summe selber konvergiert zwar nicht absolut (war auch nicht zu
erwarten, da das Spektrum von -P gleich {-1} ist), aber mit der
Hurwitz-Zeta-Funktion zeta kann man dennoch dem Ausdruck einen
eindeutigen Sinn verleihen, n�mlich:
En(x) = 2^(n+1) [zeta(-n,x/2) - zeta(-n,(x+1)/2)] ,
wenn sich Mathematica nicht t�uscht.
Bastian
Peter
> Die andere Teilfolge von A144845, für n = 1,3,5,...
> (*) 2, 2, 6, 6, 10, 6, 210, 6, 30, 210, 330, 30, 546, 14,...
> hat keinen Eintrag auf OEIS.
> Dass die Folge (*) einen eigenen Eintrag in OEIS verdient, steht
> für mich außer Frage. Wer auch noch ihr Bildungsgesetz dazu
> schreiben kann, dem verspricht N.J.A.S.: (Reasons for sending in
> your sequence): "Your name is immortalized." Also.
Ich denke, das ist dann nichts weniger als die unmittelbare
Erweiterung von Staudt-Clausen auf den ungeraden Fall.
Der Beweis will mir nicht aus dem Ärmel fallen. Einige elementare
Dinge scheinen klar zu sein:
# Für n > 0 ist 2 immer Primfaktor von b(n).
# Ist p eine Primzahl, die b(n) teilt, so ist p <= n+1.
# Ist p eine Primzahl, die b(n) teilt, so teilt p^2 nicht b(n).
# Ist n eine Potenz von k und k eine ungerade Primzahl,
# so ist k kein Teiler von b(n).
Ich werde jetzt einmal eine Pause mit meinem Bernoulli-Blog
hier auf dsm machen. Auch weil ich mich in einen privaten
Wettbewerb um die schnellste Methode Bernoulli-Zahlen zu
berechnen (1) habe hineinziehen lassen. Harvey (2), wir
kommen! ;-) Dass dabei von Staudt-Clausen wieder eine Rolle
spielen wird, mag gut sein (3). Vielleicht in Verbindung
mit Fillebrowns Methode (4)? Wer weiß.
(1) http://en.wikipedia.org/wiki/Bernoulli_number
#Efficient_computation_of_Bernoulli_numbers
(2) http://arxiv.org/abs/0807.1347
(3) http://www.remcobloemen.nl/?p=406
(4) http://www.luschny.de/math/zeta/BernoulliFillebrown.html
Gottfried Helms
ich hatte mir zwar auch vorgenommen, mir das mal mit
dieser Matrixmethode anzusehen, aber hatte noch keine
Zeit.
Ohne Deine Herleitungen jetzt schon nachvollzogen zu haben
f�llt mir aber das Problem der invertierung von (I-P)
auf. Es ist nat�rlich richtig, da� diese Invertierung nicht
geht. Andrerseits kann man eine Resultat-matrix trotzdem
rechtfertigen, die die Anforderungen solch einer Invertierten
erf�llt/erf�llen kann; ich habe dies in dem Artikel
Summing of like powers (the Faulhaber/Bernoulli-Problem)
in
http://go.helms-net.de/math/binomial_new/04_3_SummingOfLikePowers.pdf
vorgeschlagen, und diese Matrix ZETA-matrix genannt.
Man kann sie folgenderma�en herleiten.
Die Stelle in deiner Analyse, in der (I-P)^-1 entsteht/gebraucht
wird, ist wahrscheinlich �quivalent zu der Aufgabe, die geometrische
Reihe
X = I + P + P^2 + P^3 + ...
in eine Matrix zu summieren. Eine gew�nschte L�sung w�re in der
Tat die "closed form"
X = (I - P)^-1
enstprechend der Formel f�r Skalare, was aber nicht geht.
Man kann aber auch feststellen, da� eine k'te Potenz von P
durch
P^k = dV(k) * P * dV(1/k)
ausgedr�ckt werden kann, was man zu einem Hadamard-produkt
(also elementweise Multiplikation, wobei # das Symbold daf�r
sein mag) umwandeln kann:
P^k = (V(k)*V(1/k)~ ) # P
und das (�u�ere) Produkt der Vektoren V als Toeplitzmatrix
V(k)*V(1/k)~ = Toeplitz(k)
erscheint. Die geometrische Reihe ist dann
X = I + P + P^2 + P^3 + ...
= (Toeplitz(0) + Toeplitz(1) + Toeplitz(2) + ...) # P
= T # P
Die infinite Summe T der Toeplitzmatrizen gibt jetzt formal
in jeder Zelle der Matrix einen *Zeta-wert*, und zwar in den Diagonalen
denselben Wert, beginnend mit
zeta(0) in der Hauptdiagonale (index D_0)
zeta(-1) in der 1. Subdiagonale (index D_1)
zeta(-2) in der 2. Subdiagonale (index D_2)
usw.
Diese werden hadamardm��ig elementweise mit den entsprechenden
Binomials aus P multipliziert. Soweit, so gut.
Der Effekt meiner Untersuchung in dem obigen Artikel war allerdings
eine Erg�nzung, die leicht �bersehen werden kann, aber notwendig ist:
in der -1 ten Subdiagonale erscheint zeta(1), die Singularit�t, die
die eigentlich gew�nschte Matrixinversion (I-P)^-1 unm�glich macht.
Das interessante ist nun, da� durch die Definition der Binomiale
r!/(c! * (r-c)!) f�r die Zellen [r,c] wo r der Zeilen und c der
Spaltenindex ist, in dieser (-1)'ten Subdiagonale formal der
infinitesimale Wert
1/(-1)! /(r-c)
steht, der nat�rlich = 0 ist, da (-1)! =gamma(0) = <infinity>
Multipliziert mit dem zeta(1)-Wert k�nnen wir aber definieren, da�
zeta(1)/(-1)! = -1
ist, wie Peter das seinerzeit mal ausgef�hrt hat (siehe Anhang in
meinem Artikel).
Wir setzen dann in X in dieser *oberen* (-1)'ten Subdiagonale die Werte
1, 1/2, 1/3, 1/4, ...
(oder -1, -1/2, -1/3, ... wei� gerade nicht, ob die negative sein
m�ssen)
Dann k�nnen wir die so gewonnene Matrix X als Inverse f�r diese
spezielle Anwendung verwenden. Die Koeffizienten in den Zeilen
kann man als Integrale der Bernoulli-Polynomiale interpretieren.
Wie gesagt, habe ich Deine weiteren Ableitungen noch nicht durch.
gearbeitet - vielleicht probierst Du diese L�sung einfach mal aus?
Die Beschreibung der ZETA-Matrix (hier "X") ist auch in dem Artikel
zu finden.
Vielleicht kann ich morgen selbst was dazu beitragen, wenn ich das
einmal selbst umgesetzt habe.
Gru� -
Gottfried
Am 19.11.2009 19:13 schrieb Bastian Erdnuess:
> Peter <peter....@googlemail.com> wrote:
>
>> Bastian wrote:
>>
>>> Jede Menge bekannte Zahlen!
>> ;-)) x = -1,-1/2,0,1/2,1 und an einigen noch geheimen Orten
>> ausgewertet gibt in der Tat unvern�ftig viel bekanntes Material,
>> und wenn du dann noch anf�ngst mit geeigneten Gewichtsfunktionen
>> zu skalieren hast du bald das HMF nachgebaut ;-)
>
> Was hast du an den halben x-en gesehen? Mit ganzen Sachen tu ich mich
> da irgendwie leichter. Und was ist das HMF? -- Die OEIS der Br�che?
>
Peter
Auf welche Polynomenfolge aus der Familie der
Bernoulli-Euler-Luschny Polynome beziehst du dich ;-)) ?
Hier irgendwo kannst du fast alles finden, was ich dazu weiß.
http://www.luschny.de/math/seq/SwissKnifePolynomials.html
http://www.luschny.de/math/seq/SwissKnifeDecompositions.html
> Und was ist das HMF? -- Die OEIS der Brüche?
Nope. Der Vorläufer von DLMF. Aber DLMF läuft noch nicht,
also HMF, obwohl en.Wikipedia DLMF kennt, aber nicht HMF. :-))
Bastian Erdnuess
> Ohne Deine Herleitungen jetzt schon nachvollzogen zu haben
> f�llt mir aber das Problem der invertierung von (I-P)
> auf. Es ist nat�rlich richtig, da� diese Invertierung nicht
> geht. Andrerseits kann man eine Resultat-matrix trotzdem
> rechtfertigen, die die Anforderungen solch einer Invertierten
> erf�llt/erf�llen kann; ich habe dies in dem Artikel
Ja, die Matrix P-I hat eine Linksinverse. Sei R der Operator, der eine
Folge nach rechts verschiebt, also (Rf)[0] = 0 und (Rf)[n] = f[n-1] und
L der Operator, der eine Folge nach links verschiebt, also (Lf)[n] =
f[n+1]. Oder als Matrizen:
[ 0 0 0 0 . ] [ 0 1 0 0 . ]
[ 1 0 0 0 . ] [ 0 0 1 0 . ]
R = [ 0 1 0 0 . ] und L = [ 0 0 0 1 . ]
[ 0 0 1 0 . ] [ 0 0 0 0 \ ]
[ : : : \ . ] [ : : : : : ]
R ist injektiv, aber nicht surjektiv und L ist surjektiv, aber nicht
injektiv. Trotzdem ist LR = I die Identit�t, also L linksinvers zu R
und R rechtsinvers zu L. Andersrum ist allerdings RL =/= I, da RL die
erste Stelle der Folge l�scht, auf die es angewendet wird, also (RLf)[0]
= 0 und (RLf)[n] = f[n] sonst.
Betrachtet man P-I, hat man einen Dreiecksoperator mit lauter 0-en auf
der Hauptdiagonalen. Dagegen ist dann X = L(P-I) wieder ein "sauberer"
Dreiecksoperator mit Spektrum {1,2,3,...}. Dieser l�sst sich nun
invertieren und man kann mit
(P-I) B(x) = V'(x)
aus meinem letzten Posting
B(x) = I B(x) = X^-1 L(P-I) B(x) = X^-1 L V'(x)
= X^-1 L ln(P) V(x) = X^-1 L "Z�hl" V(x)
= X^-1 "Diagonal-Z�hl" V(x)
schlie�en, wobei "Z�hl" gerade die Zahlen 1,2,3,... auf der ersten
unteren Nebendiagonale hat und sonst �berall 0-en und "Diagonal-Z�hl"
hat diese Zahlen eben auf der Hauptdiagonalen.
Gru�,
Bastian
Peter
> Die Summe selber konvergiert zwar nicht absolut (war auch nicht zu
> erwarten, da das Spektrum von -P gleich {-1} ist), aber mit der
> Hurwitz-Zeta-Funktion zeta kann man dennoch dem Ausdruck einen
> eindeutigen Sinn verleihen, nämlich:
>
> En(x) = 2^(n+1) [zeta(-n,x/2) - zeta(-n,(x+1)/2)] ,
>
> wenn sich Mathematica nicht täuscht.
Zusammenhang mit A103438 ?
Bastian Erdnuess
> (Bastian Erdnuess) wrote:
>
> > Die Summe selber konvergiert zwar nicht absolut (war auch nicht zu
> > erwarten, da das Spektrum von -P gleich {-1} ist), aber mit der
> > Hurwitz-Zeta-Funktion zeta kann man dennoch dem Ausdruck einen
> > eindeutigen Sinn verleihen, n�mlich:
> >
> > En(x) = 2^(n+1) [zeta(-n,x/2) - zeta(-n,(x+1)/2)] ,
> >
> > wenn sich Mathematica nicht t�uscht.
>
> Zusammenhang mit A103438 ?
M�glich, aber ich glaub nicht so viel.
En/2 = sum_k (-1)^k (x+k)^n
ist ja bis auf das (-1)^k schon fast die Zeta-Funktion und die Differenz
ist startend von
sum_k (x+2k)^n - sum_k (x+2k+1)^n
eigentlich nur ein "algebraischer Trick" die Alternierung rein zu
bringen. D.h. der Abstand 1/2 zwischen den zweiten Argumenten zu Zeta
scheint hier eine entscheidende Rolle zu spielen und das ist ja bei den
T(m,n) nicht gegeben.
Gr��e,
Bastian
PS: Die Sequenz to produce the square array from the example, produziert
ein Array, das aber nicht so square ist :-)
Peter
> Ich hab jetzt mal Gottfrieds Methoden auf m losgelassen...
Das finde ich eine gute Idee um einen Einstieg in
den Dschungel von Gottis Matrizen zu finden ;-).
Als erstes fasse ich die Grundlagen des bisher
Diskuttierten in Maple-Parlance zusammen. Später
gehe ich dann auf Gottfrieds Darstellung ein und
reformuliere die Überlegungen von Bastian.
# --> .. den nächsten Absatz kann man ueberlesen
# Utility function generates square matrix.
MAT := proc(n) local k,i,T;
T := array(0..n,0..n);
for i from 0 to n do for k from 0 to n do
T[i,k] := 0; od; od; T end:
# Row sum of a matrix
RowSum := proc(T,n) local R,i;
R := linalg[row](T,n+1);
add(R[i],i=1..n+1); sort(%) end:
# --> Mittlerweile sind 5 verschiedene Gewichtsfunktionen
# --> implizit oder explizit in den Beiträgen
# --> verwendet worden. Hier liste ich sie auf.
# Weights for BernoulliPoly and EulerPoly
HyperHarmonic := proc(r,n) local k;
if r = 0 then 1/n else
add(HyperHarmonic(r-1,k),k=1..n) fi end:
HyperPeter := proc(m) local k;
add(1/2^(k-1), k=1..m) end:
SwissKnife := proc(k) if irem(k+1,4)=0 then 0
else 1/((-1)^iquo(k+1,4)*2^iquo(k,2)) fi end:
wB := k -> HyperHarmonic(1, k):
wE := k -> HyperPeter(k):
wS := k -> SwissKnife(k):
w1 := k -> 1:
wk := k -> 1/(k-1)!:
seq(wB(i),i=1..9);
seq(wE(i),i=1..9);
seq(wS(i),i=1..9);
# --> Das ist die zentrale Doppelsummenformel
# --> w ist die Gewichtsfunktion, n und x ist klar.
# Euler-Bernoulli Polynomials
EBPoly := proc(w,n,x) local k,v;
add(add((-1)^v*binomial(k,v)*w(k+1)
*(x+v+1)^n,v=0..k),k=0..n); sort(expand(%)) end:
for i from 0 to 3 do EBPoly(wk,i,x) od;
for i from 0 to 3 do EBPoly(wB,i,x) od;
for i from 0 to 3 do EBPoly(wE,i,x) od;
# --> Mit der TableForm machen wir uns jetzt auf
# --> den Weg in Richtung Gotti Darstellung.
# TableForm der Euler-Bernoulli Polynomials
TEBPoly := proc(w,n,x) local k,v,i,T; T := MAT(n);
for i from 0 to n do for k from 0 to i do
add((-1)^v*binomial(k,v)*w(k+1)*(x+v+1)^i,v=0..k);
T[i,k] := sort(expand(%)); od; od; convert(T,matrix) end:
# --> Und jetzt kommen einfach die vier diskuttierten
# --> Beispiele in der Matrizenform.
# --> Nochmal zum Verständniss: Gottfried zerbröselt
# --> die Doppelsumme einfach in ihre Terme in und mappt
# --> diese auf eine Dreiecksmatrix. Das läßt jetzt eine
# --> Fülle von neuen Polynomen sichtbar werden.
# --> Die eigentlich interessierenden Polynome sind
# --> aber nur die Zeilensummen dieser Matrizen.
# Die Standardpolynome
M := TEBPoly(w1, 3, x); seq(RowSum(M,i),i=0..3);
MI := linalg[inverse](M); seq(RowSum(MI,i),i=0..3);
[1 , 0 , 0 , 0]
[x + 1 , -1 , 0 , 0]
[x^2 + 2 x + 1 , -2 x - 3 , 2 , 0]
[x^3 + 3 x^2 + 3 x + 1, -3 x^2 - 9 x - 7, 6 x + 12 , -6]
1, x, x^2, x^3
# Die Bernoulli Polynome
M := TEBPoly(wB, 3, x); seq(bernoulli(i,x),i=0..3);
seq(RowSum(M,i),i=0..3);
MI := linalg[inverse](M); seq(RowSum(MI,i),i=0..3);
[1 , 0 , 0 , 0]
[x + 1 , -3/2 , 0 , 0]
[x^2 + 2 x + 1 , -3 x - 9/2 , 11/3 , 0]
[x^3 + 3 x^2 + 3x + 1,-9/2 x^2 - 27/2x - 21/2, 11x + 22, -25/2]
1, x-1/2, 1/6+x^2-x, 1/2*x+x^3-3/2*x^2
# Die Euler Polynome
M := TEBPoly(wE, 3, x); seq(euler(i,x),i=0..3);
seq(RowSum(M,i),i=0..3);
MI:=linalg[inverse](M); seq(RowSum(MI,i),i=0..3);
[1 , 0 , 0 , 0]
[x + 1 , -3/2 , 0 , 0]
[x^2 + 2 x + 1 , -3 x - 9/2 , 7/2 , 0]
[x^3 + 3x^2 + 3x + 1, -9/2x^2 - 27/2x - 21/2, 21/2x + 21, -45/4]
1, x - 1/2, x^2 - x, x^3 - 3/2 x^2 + 1/4
# Und jetzt kommt die Überraschung (für mich)
# Die SwissKnife Polynome sind nicht
# die Zeilensumme, sondern nur die erste Spalte!
M := TEBPoly(wS, 3, x); seq(RowSum(M,i),i=0..3);
[1 , 0, 0 , 0]
[x + 1, -1/2 , 0, 0]
[x^2 + 2 x + 1 , -x - 3/2 , 0 , 0]
[x^3 + 3 x^2 + 3 x + 1, -3/2 x^2 - 9/2 x - 7/2, 0, 3/2]
1, x + 1/2, x^2 + x - 1/2, x^3 + 3/2 x^2 - 3/2 x - 1
# Und die inverse Matrix existiert nicht!
MI := linalg[inverse](M);
# Die Matrix ist singulaer. Woran kann das liegen?
# Mein erster Eindruck: Die erzeugenden Gewichtsfunktionen
# in der Doppelsumme sind in den klassischen Fällen wunderbare
# multiplikative Folgen, die SwissKnife-Folge dagegen nicht.
# Und dies ist die erste Erkenntnis, die ich mit
# Gottfrieds Matrix Methode gewonnen habe ;-)
# Gottfrieds Methode, zitiert aus seinem Tutorial.
# "V(x)" für den speziellen Typ "Vandermonde-Vektor"
# eines Parameters "x"
# V(x) = [ 1, x, x^2, x^3, x^4, ...].
# Das Symbol ~ bedeutet Transposition
# Die Pascal-Matrix
# P = 1 . . .
# 1 1 . .
# 1 2 1 .
# 1 3 3 1 ... (infinite fortgesetzt).
# Dann laut das Binomial-Theorem
# P * V(x) = V(x+1)
# Mit Maple nachgebaut sieht das so aus:
with(linalg): DIM := 5: # say
f := (i,n) -> if i=n then i else 0 fi:
A := array([seq([seq(f(i,n),i=1..DIM+1)],n=0..DIM)]):
P := evalm(exponential(A)):
V := array([seq(x^i,i=0..DIM)]):
diffV := array([seq(diff(x^i,x),i=0..DIM)]):
# Bastian: "Ich bin mir zwar nicht sicher, ob das jemand
# wissen will, aber es ist ein ganz netter Zusammenhang"
# --> Für Bernoulli
B := array([seq(bernoulli(i,x),i=0..DIM)]):
# P * B(x) = B(x) + V'(x) = B(x) + ln(P)*V(x)
# Das kann man auch schreiben:
evalm(multiply(P,B) - B);
evalm(multiply(A, V));
evalm(diffV);
[0, 1, 2 x, 3 x^2 , 4 x^3 , 5 x^4 ]
[0, 1, 2 x, 3 x^2 , 4 x^3 , 5 x^4 ]
[0, 1, 2 x, 3 x^2 , 4 x^3 , 5 x^4 ]
# --> Für Euler
# Bastian: "Das gleiche Spiel lässt sich auch mit den
# Eulerpolynomen.. "
E := array([seq(euler(i,x),i=0..DIM)]):
# P * E(x) = 2 V(x) - E(x)
# Das kann man auch schreiben:
evalm(multiply(P, E) + E);
evalm(2*V);
[2, 2 x, 2 x^2 , 2 x^3 , 2 x^4 , 2 x^5 ]
[2, 2 x, 2 x^2 , 2 x^3 , 2 x^4 , 2 x^5 ]
Eine gewisse Skepsis, ob sich dieser Zugang auszahlt,
kann ich nach wie vor nicht ablegen.
Gottfried Helms
ein paar weitere kleine Anmerkungen nachtr�glich
Am 19.11.2009 19:13 schrieb Bastian Erdnuess:
> Peter <peter....@googlemail.com> wrote:
>
(...)
> Man kann (*) (von oben) auch noch weiter auswerten:
>
> sum[k=0..n] m(x)[n,k] p[k]
> = sum[k=0..oo] p_k m(x)[n,k] (da m dreieckig)
> = sum[k=0..oo] p_k (I-P)^k V(x+1)
> = p(I-P) V(x+1) = p(I-P) P V(x)
>
> mit p(t) = sum[k=0..oo] p_k t^k.
>
> Nimmt man nun z.B. p_k=H[k+1] erh�lt man
>
> h(t) = sum[n=0..oo] H[n+1] t^n
> = sum[n=0..oo] sum[k=0..n] t^n/(k+1)
> = sum[k=0..oo] t^(k+1)/(k+1) sum[n=k..oo] t^(n-k-1)
> = 1/[t(1-t)] sum[k=0..oo] t^(k+1)/(k+1)
> = 1/[t(1-t)] (-ln(1-t)) = -ln(1-t)/[t(1-t)]
>
> Damit ist dann der Vektor B(x) der Bernoulli-Polynome gleich
>
> B(x) = h(I-P) P V(x) = -ln(P) / (I-P) P^-1 P V(x)
> = - (I-P)^-1 ln(P) V(x) = (P-I)^-1 ln(P) V(x)
Betrachten wir, da�
ln(P) =
0 . . . . .
1 0 . . . .
0 2 0 . . .
0 0 3 0 . .
0 0 0 4 0 .
0 0 0 0 5 0
...
dann ist
ln(P) * V(x) = column([0,1,2x,3x^2,...] )
direkt erkennbar
= V'(x) // = d (V(x))/dx in der Leibniz-Schreibweise
Interessant, habe ich noch nie so angesehen.
>
> ln(P) = A ist nun diejenige Matrix f�r die gilt P = exp(A). Man sieht
> leicht:
>
> V'(x) = lim[h->0] [V(x+h)-V(x)]/h = lim[h->0] [P^h V(x) - V(x)]/h
> = lim[h->0] [exp(Ah)-I]/h V(x)
> = lim[h->0] [I+Ah+(Ah)^2/2+o(h^2)-I]/h V(x)
> = lim[h->0] [A+A^2 h/2+o(h)] V(x) = A V(x) = ln(P) V(x)
>
> daher ist
>
> B(x) = (P-I)^-1 V'(x) .
... noch netter. In meinem vorigen Post hatte ich mir die Herleitung
noch gar nicht richtig angesehen
>
> Leider nur ist P-I nicht invertierbar, daher bringt das nicht viel.
Hier kann ich f�r (P-I)^-1 eine Normierung der ZETA-matrix einsetzen:
B(x) = (- P^-1*ZETA) * V'(x) .
=
[ 1 ]
[ x - 1/2 ]
[ x^2 - x + 1/6 ]
[ x^3 - 3/2*x^2 + 1/2*x ]
[ x^4 - 2 *x^3 + x^2 -1/30 ]
[ ... ]
* Kleine Anmerkung zur "Normierung" von ZETA:
ZETA ist ja gedacht als geschlossene Form der geometrischen Reihe
ZETA = I + P + P^2 + P^3 + ...
mit der Wirkungsweise
ZETA *(V(0) - V(x)) = V(1) + V(2) + V(3) + ... + V(x)
Dann wird durch die "Normierung" bewirkt, da� mit
ZETA1 = - P^-1 * ZETA = - ZETA * P^-1
lediglich die "Offsets" durch V(0) und V(x) ersetzt werden durch V(x+1) und V(1):
ZETA1 *(V(x+1) - V(1)) = V(1) + V(2) + V(3) + ... + V(x)
und wir haben einfach
B(x) = ZETA1 * V'(x) .
Ich hatte ja die ZETA-Polynome als Integrale der Bernoulli-Polynome
bezeichnet. Hier sehe ich einmal die explizite Umdrehung der Betrachtung...
------------------
Beachte, da� *im finiten Fall* die letzte Zeile des Resultats
falsch ist; der Term mit x mit der h�chsten Potenz wird systematisch
abgeschnitten, wenn die Form der Matrizen quadratisch ist.
> Multipliziert man aber mit P-I bekommt man wenigstens noch
>
> (P-I)B(x) = V'(x)
> P B(x) - B(x) = V'(x)
> P B(x) = B(x) + V'(x)
>
> Ich bin mir zwar nicht sicher, ob das jemand wissen will, aber es ist
> ein ganz netter Zusammenhang, der da einfach so zwischen B(x) und P B(x)
> rausf�llt.
Yo ;-)
>
> E(x) = p(I-P) P V(x) = 2/[P(I+P)] P V(x)
> = 2 (I+P)^-1 P^-1 P V(x)
> = 2 (I+P)^-1 V(x) .
>
> Diesmal ist I+P tats�chlich invertierbar, daher bringt die Darstellung
> vielleicht sogar was.
Ich fand zwei kleine Artikel die sich mit diesem kleinen Aspekt ebenfalls besch�ftigen.(s.u.)
Gru� -
Gottfried
----------------------------------------------------
(1) Inverting the Pascal Matrix Plus One
Rita Aggarwala and Michael P. Lamoureux
(online at JStor)
(2) EXPLICIT INVERSE OF THE PASCAL MATRIX PLUS ONE
SHENG-LIANG YANG AND ZHONG-KUI LIU
Received 5 June 2005; Revised 21 September 2005; Accepted 5 December 2005
(Hindawi)
This paper presents a simple approach to invert the matrix P_n + I_n by
applying the Euler polynomials and Bernoulli numbers, where P_n is the
Pascal matrix.
Gottfried Helms
ich habe zwar immer noch nicht das gro�e Din A3 -Papier
genommen und mit der Umsetzung angefangen.
Aber ein kleines Detail sehe ich hier:
Am 21.11.2009 00:51 schrieb Peter:
(ich expandiere textm��ig
>
> [1 , 0 , 0 , 0]
> [x + 1 , -1/2 , 0 , 0]
> [x^2 + 2 x + 1 , -x - 3/2 , 0 , 0]
> [x^3 + 3 x^2 + 3 x + 1, -3/2 x^2 - 9/2 x - 7/2, 0 , 3/2]
>
> 1, x + 1/2, x^2 + x - 1/2 , x^3 + 3/2 x^2 - 3/2 x - 1
>
> # Und die inverse Matrix existiert nicht!
> MI := linalg[inverse](M);
>
> # Die Matrix ist singulaer. Woran kann das liegen?
Ich sehe, da� in der 3. Zeile in der 3. Spalte eine Null steht.
Da das ansonsten eine Dreiecksmatrix ist, ist die dann nicht
invertierbar (die Diagonale mu� invertierbar sein)
Weiteres sp�ter...
Gru� -
Gottfried
Peter
ich habe in deinen Schulungsunterlagen nachgeschaut.
Gefunden habe ich ZETA, ZETA-matrix, ZETA-vector
aber nicht ZETA-Polynome. Kannst du mir einen Tip geben?
Kannst du bitte die ersten paar Polynome auch explizit angeben.
> Ich hatte ja die ZETA-Polynome als Integrale der
> Bernoulli-Polynome bezeichnet.
Ups. Wo finde ich das? Meinst du Stammfunktionen der
Bernoulli-Polynome, die du irgendwie normiert hast?
Gottfried Helms
Ok, ich habe geschlurt.
Die Beschreibung der ZETA (-Matrix) findest Du in
http://go.helms-net.de/math/binomial_new/04_3_SummingOfLikePowers.pdf
ab Seite 14 und ich sehe gerade: vielleicht noch besser/präziser S. 28
In Zahlen:
ZETA =
-1/2 -1 0 0 0 0 ...
-1/12 -1/2 -1/2 0 0 0 ...
0 -1/6 -1/2 -1/3 0 0
1/120 0 -1/4 -1/2 -1/4 0
0 1/30 0 -1/3 -1/2 -1/5
-1/252 0 1/12 0 -5/12 -1/2
...
Im Prinzip die Gotti-Matrix Gp um die führende Spalte ergänzt.
Außerdem habe ich die Vorzeichen umgekehrt, weil das in meinen
Analysen so günstiger für die Notation erschien. An die Gotti-Matrix
Gp erinnerst Du dich vielleicht noch - du hattest sie bei meinem
Jungfernflug in die Welt der Bernoullizahlen 2006 (?) mit untersucht.
Sie sieht so aus:
Gp =
1 . . . . .
1/2 1/2 . . . .
1/6 1/2 1/3 . . .
0 1/4 1/2 1/4 . .
-1/30 0 1/3 1/2 1/5 .
0 -1/12 0 5/12 1/2 1/6
Zeta-Polynome sind dann einfach analog der Bernoulli-Polynome aus
der betreffenden Matrix gebildet und das n'te Zeta-Polynom das
Polynom aus der n'ten Zeile des Produkts ZETA * V(x) :
zeta_n(x) = ZETA[n,] * V(x)
zeta0(x) = ζ( 0) -1 x
zeta1(x) = ζ(-1) + 1 ζ( 0) x - 1/2 x^2
zeta2(x) = ζ(-2) + 2 ζ(-1) x + 1 ζ( 0) x^2 - 1/3 x^3
zeta3(x) = ζ(-3) + 3 ζ(-2) x + 3 ζ(-1) x^2 + 1 ζ( 0) x^3 - 1/4 x^4
zeta4(x) = ζ(-4) + 4 ζ(-3) x + 6 ζ(-1) x^2 + 4 ζ(-1) x^3 + 1 ζ( 0) x^4 - 1/5 x^5
...
(Falls man hier nur kryptische Symbole sieht: das sollen Zetas sein)
Wenn man die Koeffizienten der zeta-Polynome mit denen der Bernoulli-
polynome vergleicht, findet man, daß es gerade die Koeffizienten
des Integrals des entsprechenden Bernoulli-Polynoms sind (gewechselte
Vorzeichen). Die Konstante C des Integrals ist zeta(-n) wo n der
Zeilenindex ist.
Man kann die Koeffizienten auch in der Faulhaber-/Bernoulli-schen Tabelle
in "Ars Conjectandi" nachschlagen - diese sind gerade die Einträge der
ZETA-Matrix (vorzeichenverkehrt), die noch die zusätzliche Spalte 0 enthält.
Gottfried
Peter
> - du hattest sie bei meinem Jungfernflug in die Welt der
> Bernoullizahlen 2006 (?) mit untersucht.
Ach Gotti, mir wird so warm um's Herz. Dein "Jungfernflug in die
Welt der Bernoullizahlen". Das wird hiermit zum Lyrikpreis von
de.sci.math vorgeschlagen, R.R. darf die Laudatio halten.
Na klar erinnere ich mich an die Gotti-Matrix! Schließlich stammt
der Name von mir. Du wolltest sie H-Matrix nennen und warst
sehr unentschlossen ob du meinen Vorschlag annehmen wolltest :-)
Und wie Recht ich hatte! Schmeiß heute einmal 'H-Matrix' in Google
ein und du bekommst lauter irrelevantes Zeug angebote. Wirf
'Gotti-Matrix' ein und du bist am Pulsschlag der Bernoulli-Zahlen.
Ich habe jetzt mein mühsam erlerntes Wissen um das
Gotti-Matrix-Kalkül (GMK) zusammengetragen und streng
nach Kasseler Vorschrift die ZetaPolynome gebaut.
> with(linalg):
> ZetaPolynome := proc(DIM) local f,A,E,F,C,Z,V,M,n,h;
> f := (i,n) -> if i = n then -i else 0 fi:
> A := array([seq([seq(f(i,n),i=1..DIM+2)],n=0..DIM+1)]):
> E := diag(seq(i/i,i=1..DIM+2)):
> F := evalm(exponential(A)-E):
> C := minor(F,1,rowdim(F)):
> Z := vector(DIM+1,[seq(Zeta(-i),i=0..DIM)]);
> M := concat(Z,inverse(C));
> for n from 1 to DIM+1 do
> h[n-1] := unapply(add(M[n,k]*x^(k-1),k=1..DIM+2),x)
> od; h end:
> DIM := 6: Z := ZetaPolynome(DIM):
> seq(print(Z[i]),i=0..DIM);
x -> -1/2 - x
x -> -1/12 - 1/2 x - 1/2 x^2
x -> -1/6 x - 1/2 x^2 - 1/3 x^3
x -> 1/120 - 1/4 x^2 - 1/2 x^3 - 1/4 x^4
x -> 1/30 x - 1/3 x^3 - 1/2 x^4 - 1/5 x^5
x -> -1/252 + 1/12 x^2 - 5/12 x^4 - 1/2 x^5 - 1/6 x^6
x -> -1/42 x + 1/6 x^3 - 1/2 x^5 - 1/2 x^6 - 1/7 x^7
---
Nach dieser Anstrengung schloß ich die Augen. Geht das alles
nicht viel einfacher? *Muss* es, der Einfachheit der Mathematik
willen, die ja der Garant für ihre Schönheit ist, nicht
einfacher gehen? Solcherlei Gedanken strömten durch mein
von GMK ermattetes Hirn.
Was braucht es denn, fagte ich mich weiter, um ein paar gute
Bernoulli-Polynome zu konstruieren? Wahrscheinlich nicht viel.
Am Anfang steht die Null. Und am Ende die Bernoulli-Zahlen.
Das ist doch eigentlich alles. Flugs habe ich diese Erkenntnis
in die Tat umgesetzt. Auf dem Web kannst du das Ergebnis sehen.
P_n(x) sind Peters Bernoulli Polynome,
B_n(x) sind Jakobs Bernoulli Polynome,
Z_n(x) sind Gottis Bernoulli Polynome (aka Zeta Polynome).
P_n(0) = 0 stets; am Anfang steht die Null.
P_n(1) = B_n(1) = B_n stets; am Ende stehen die Bernoulli-Zahlen.
Schau sie dir einmal an. Und vom Ästhetischen her gesehen, ich
finde die P-Polynome sehr anmutig schwingend. Fast schon feminin.
Da sehen Jakobs Polynome richtig ausgebeult dagegen aus.
Rainer Rosenthal
> Ach Gotti, mir wird so warm um's Herz. Dein "Jungfernflug in die
> Welt der Bernoullizahlen". Das wird hiermit zum Lyrikpreis von
> de.sci.math vorgeschlagen, R.R. darf die Laudatio halten.
Nach den drei "B" - Bodensee, Berlin und Borkum - mit dsm-Treffen
ohne das B-Thema "Bernoullizahlen" kï¿œnnten wir ja was auf Kreta planen:
Peter spricht auf Kreta ï¿œber Zeta.
Und im Rahmen dieser Veranstaltung bin ich gerne bereit, die
geforderte Laudatio zu halten.
Abends lauf' ich dann zum Strand vor
und erzï¿œhl' was ï¿œber Cantor.
Gruￜ,
Rainer der Ernsthafte
Gottfried Helms
> Peter schrieb:
>
>> Ach Gotti, mir wird so warm um's Herz. Dein "Jungfernflug in die
>> Welt der Bernoullizahlen". Das wird hiermit zum Lyrikpreis von
>> de.sci.math vorgeschlagen, R.R. darf die Laudatio halten.
>
> Nach den drei "B" - Bodensee, Berlin und Borkum - mit dsm-Treffen
>
> Peter spricht auf Kreta �ber Zeta.
>
> Und im Rahmen dieser Veranstaltung bin ich gerne bereit, die
> geforderte Laudatio zu halten.
> Abends lauf' ich dann zum Strand vor
>
... und tragen auf dem Pulli die Formel vom Bernoulli ...
> Gru�,
> Rainer der Ernsthafte
Gotti, der quatschhafte....
Peter
> Die folgende Formel ist eine Darstellung der Bernoulli Polynome.
> H(n) ist dabei die n-te harmonische Zahl.
>
> n k
> ----- -----
> \ \
> ) ) (-1)^v binomial(k, v) H(k + 1) (x + v + 1)^n
> / /
> ----- -----
> k = 0 v = 0
>
> B_n(x)=sum_{k=0..n}(sum_{v=0..k}(-1)^v*binomial(k,v)*H(k+1)*(x+v+1)^n
>
> Ich habe mir gerade im Internet die Augen ausgeguckt, aber die
> Formel nirgends gefunden. Das gibt es doch nicht. Kann mir bitte
> jemand helfen das Dingens zu lokalisieren? Natürlich auch in der
> Literatur. Von wem stammt sie?
Am 22. November, tief in der Nacht, hat diese Kneipe zugemacht.
"... und tragen auf dem Pulli die Formel vom Bernoulli ..."
hörte man die Zetatrunkenen noch auf der Straße singen.
Am 23. November hat Zhi-Wei Sun seine Arbeit "Arithmetic Theory
of Harmonic Numbers" vorgelegt, arXiv:0911.4434v4.
(Übrigens in einer Form, wie man es nicht machen sollte: An
jedem der nächsten Tage gab es ein Update, Version 4 ist
aktuell. So etwas zu sehen untergräbt das Vertrauen in den
Autor und reduziert die Lust es zu lesen.)
Gleichwohl ist es eine sehr umfassende Darstellung der
harmonischen Zahlen mit ihren vielfältigen Bezügen zur
Zahlentheorie und Kombinatorik -- und natürlich zur
Zetafunktion bzw. Bernoulli-Zahlen.
Eine erste Durchsicht zeigt, dass die oben angegebene
Darstellung der Bernoulli-Zahlen mit harmonischen Zahlen darin
nicht vorkommt -- obwohl die Bernoulli Zahlen in Suns Arbeit
ein ebenso großes Gewicht haben wie die harmonischen Zahlen.
Die Annahme, es könnte sich also um eine bis dato unbekannte
Darstellung handeln, erfährt so weitere Plausibilität.
Es ist möglicherweise auch wert zu prüfen, ob einige der von
Sun gezeigten Kongruenzen der Bernoulli Zahlen sich nicht
einfacher beweisen lassen, würde man Peters Darstellung der
Bernoulli Zahlen benützen.
Peter
ich habe gerade einen interessante Diskussion bei der
Konkurrenz gefunden. Vielleicht interessieren dich ja
auch die Bernoulli Zahlen und die Euler Zahlen?
http://groups.google.com/group/sci.math.symbolic/browse_thread/thread/160af02f27639709