Das Kalenderblatt 120210
The complete infinite Binary Tree consists of N (= aleph_0) nodes and
N levels.
L0 0,
/ \
L1 0 1
/ \ / \
L2 0 1 0 1
/
L3 0 ...
...
Each level L of the Binary Tree doubles the set of distinguishable
sets of infinite paths. So the complete set of distinguishable sets of
paths is 2^N.
Each node of the Binary Tree adds one set to the distinguishable
sets of infinite paths. So the complete set of distinguishable sets of
paths is N + 1.
Therefore 2^N = N + 1 = N
[WM: "The Binary Tree analysed by nodes and levels", sci.logic, 3. 7.
2011]
MB: No infinite path is a member of B_k and no infinite path is a
subset of B_k.
WM: What do we learn?
Cantor's list as ordered set of infinite sets L_k of bits L_kj (or
nodes)
L_k = L_k1, Lk2, L_k3, ...
Define D_kk = 1 - L_kk.
There is always a node D_kj that is not an element of L_k.
==> D is not in L_1 to L_k.
==> D is not in UL_k.
Binary Tree with finite initial segments B_k.
No B_k with k in |N contains an infinite path P.
There is always a node P_kj of P that is not element of B_k.
==> P is not in B_1 to B_k.
==> P is not in UB_K.
[MoeBlee, "Balls and vase dyslexia", sci.logic, 17. 7. 2011]
{{Der entscheidende Fehler der konventionellen
Mathematikinterpretation lässt sich in wenigen Worten ausdrücken:}}
WM: Eine unendliche Ziffernfolge identifiziert keine Zahl.
RR: Die Zahlen sind durch unendliche Ziffernfolgen identifiziert.
WM: Jede reelle Zahl r ist nur durch eine unendliche Ziffernfolge
*im Verein* mit unendlich klein werdenden Potenzen der Basis
definiert: r = SUM (d_n)*10^-n, weil es dann für jedes eps > 0 eine
Potenz 10^-n gibt, so dass die Unsicherheit in der n-ten und allen
folgenden Stellen kleiner als eps wird. Denn Cauchy und den
präcantorialen Mathematikern war ja noch klar, dass man eine
Ziffernfolge nur bis zu einer endlichen Stelle definieren kann. {{Es
ist nicht möglich, etwas durch unendliche Folgen zu definieren.}}
WM: Für alle n in |N gilt: Die Ziffernfolge d_1, d_2, ..., d_n
definiert keine reelle Zahl.
Cantor zeigt in seinem Diagonalverfahren, dass die
Diagonalziffernfolge (d_n) bis zur n-ten Stelle mit keiner Listenzahl
übereinstimmt. Daraus schließt man, dass sie mit gar keiner Listenzahl
übereinstimmt.
Ich zeige, dass die Ziffernfolge (d_n) bis zur n-ten Stelle keine
reelle Zahl definiert. Daraus schließt man aber nicht, dass sie gar
keine Zahl definiert, sondern im Gegenteil, Du sagst: die Zahlen sind
durch unendliche Ziffernfolgen identifiziert. Daher zieht das Argument
der 'endlichen Definition' nicht.
Kurz: Wenn Du diesen Unendlichkeitsglauben bei Ziffernfolgen
unbedingt durchsetzen willst, warum dann nicht bei Cantors Liste?: In
der unendlichen Liste ist die Diagonalzahl eben doch enthalten. Der
widersprechende Einzelfallbeweis ist nunmal im Unendlichen nicht
valide.
Cantor zeigt: Für alle n in |N gilt: Der Anfangsabschnitt der
Diagonalzahl d_1, d_2, ..., d_n unterscheidet sich von jeder Zahl in
den ersten n Zeilen der Liste. Daraus schließt man, dass die
Diagonalzahl gar nicht in der Liste vorkommt.
Man zeigt ebenfalls: Für alle n in |N gilt: Der Anfangsabschnitt
der Diagonalzahl
d_1, d_2, ..., d_n unterscheidet sich von jeder irrationalen Zahl.
Daraus schließt man, dass die Diagonalzahl gar keine Irrationalzahl
ist.
RR: Bitte bedenke, dass Dein Aufzählverfahren derart schlecht ist,
dass mit seiner Hilfe nicht einmal die rationalen Zahlen aufgezählt
werden können.
WM: Also nicht einmal alle einäugigen Nashörner. Selbstverständlich
ist das ein Beweis dafür, dass ich erst recht nicht alle achtäugigen
Nashörner aufzähle.
[Rainer Rosenthal, "Das Kalenderblatt 091206", de.sci.mathematik, 14.
- 17. 1. 2010]
RR: Ich erhalte von Dir somit diese beiden Aussagen als wahr:
(1) 0,010101... ist endliche Binärdarstellung
(2) 0,010101... ist keine endliche Binärdarstellung
Macht das Verstehen nicht gerade einfach, finde ich.
WM: Es ist leider auch nicht einfach, weil bisher in der
mathematischen Begriffsbildung geschludert wurde.
Erst am binären Baum ist mir das vor relativ kurzer Zeit klar
geworden. Ich will es hier erklären.
Ein Pfad, der nur n Knoten besitzt, wonach *absolut nichts* folgt,
ist ein endlicher Pfad. Eine Ziffernfolge, die nur n Ziffern besitzt,
wonach *absolut nichts* folgt, ist eine endliche Ziffernfolge. [...]
Da aber die Vereinbarung, dass nur Nullen folgen, den Wert nicht
ändert, habe ich schon oft solche Ziffernfolgen wie 0,11000... als
endliche Ziffernfolgen 0,11 bezeichnet.
Wenn also die drei Pünktchen stehen, so ist die Definition eine
endliche. Stehen sie hinter drei Nullen, so kann man die definierte
Ziffernfolge cum grano salis als eine endliche interpretieren, im
Prinzip ist es aber eine unendliche. Stehen sie hinter drei anderen
Ziffern, so ist die definierte Ziffernfolge endlich definiert, wenn
auch damit eine unendliche Ziffernfolge intendiert ist. Jedenfalls
gilt: unendliche Ziffernfolgen ohne endliche Definition identifizieren
nichts.
Zu Deiner obigen Frage muss ich also antworten: 0,010101... ist
eine endliche Darstellung auf Grundlage des Binärsystem und des
Zeichens "...". Es ist eine endliche Darstellung einer unendlichen
Ziffernfolge, die jedoch ohne dieses endliche Bildungsgesetz nichts
definiert oder identifiziert.
[Rainer Rosenthal, "Das Kalenderblatt 100117", de.sci.mathematik, 21.
1. 2010]
AM: Wenn Du aus den unendlich vielen Binärpfaden, die durch einen
Knoten gehen, nur einen Binärpfad auswählst, wie stellst Du dann
sicher, tatsächlich für jeden Binärpfad einen Knoten angegeben zu
haben? Anders ausgedrückt, wie stellst Du die Surjektivität sicher?
WM: Durch einen Widerspruchsbeweis: Nehmen wir an, es gäbe einen
Pfad r, der nicht Bild eines Knotens ist. r müsste ein Pfad sein, der
nur aus Knoten besteht, die bereits auf andere Pfade abgebildet sind.
(Sonst bliebe ein Knoten von r übrig, der auf r abzubilden wäre.) Für
r gilt also:
1) r unterscheidet sich von allen Pfaden, auf die seine Knoten
abgebildet sind.
2) Für alle Knoten K_n gilt: r stimmt bis zu dem Knoten K_n mit
mindestens einem Pfad überein, auf den der Knoten K_n abgebildet
wird.
Das ist eine Widerspruch, jedenfalls wenn r nur aus Knoten K_n mit
endlichen Indizes n besteht.
[Andreas Most, "Beweis für Ueberabzaehlbarkeit von R?",
de.sci.mathematik, 21. 3. 2011]
Gruß, WM
