Volumen einer N-dim. Kugel: wieso verliere ich Lösungen?
Alexander Erlich
ich habe versucht, das Volumen einer N-dimensionalen Kugel zu
berechnen. Ich habe mein Ergebnis mit diesem hier verglichen:
http://en.wikipedia.org/wiki/N-sphere#Volume_of_the_n-ball_and_n-sphere
Der Koeffizient, den ich gefunden habe, ist nur der für gerade N.. Den
für ungerade N habe ich auf dem Weg verloren, weiß aber nicht wo. Ich
habe die Rechnung hier eingescannt (nur die ersten zwei Seiten sind
relevant)
http://www.airlich.de/Semester5/Fragen/Theo5/Theo5_Uebung2a_scan.pdf
Für einen Hinweis wäre ich dankbar!
Gruß
Alexander
Roland Franzius
> Hallo,
>
> ich habe versucht, das Volumen einer N-dimensionalen Kugel zu
> berechnen. Ich habe mein Ergebnis mit diesem hier verglichen:
>
> http://en.wikipedia.org/wiki/N-sphere#Volume_of_the_n-ball_and_n-sphere
>
> f�r ungerade N habe ich auf dem Weg verloren, wei� aber nicht wo. Ich
> habe die Rechnung hier eingescannt (nur die ersten zwei Seiten sind
> relevant)
>
> http://www.airlich.de/Semester5/Fragen/Theo5/Theo5_Uebung2a_scan.pdf
>
Das Integral
int_0^oo dr r^(n-1) e^-(a r^2)
ist trivial f�r n=2m mit Substitution u = r^2,
f�r ungerades n=2m+1 zieht man die Wurzel aus dem Integal mit der
doppelten Dimension 2n.
Oder man weiss mit der Gammafunktion oder mit der Rekursion der
Ableitung nach a umzugehen.
--
Roland Franzius
Alexander Erlich
ich habe es gelöst, aber nur mit Mathematica:
http://www.airlich.de/Semester5/Fragen/Theo5/VolumenNsphere.pdf
Für mich ist das Integral nach der Substitution für gerade n nicht
trivial. Kann man das wirklich leicht integrieren? Eine geschickte
Substitution fällt mir nicht ein, und zweimaliges partielles
Integrieren geht imo auch nicht. Würde mich mal interessieren, wie das
geht.
Wie meinst du das mit dem Wurzel aus dem Integral mit ziehen mit der
doppelten Dimension 2n?
Gruß
Alexander
Roland Franzius
> Danke Roland,
>
> ich habe es gel�st, aber nur mit Mathematica:
>
> http://www.airlich.de/Semester5/Fragen/Theo5/VolumenNsphere.pdf
>
> F�r mich ist das Integral nach der Substitution f�r gerade n nicht
> trivial. Kann man das wirklich leicht integrieren? Eine geschickte
> Integrieren geht imo auch nicht. W�rde mich mal interessieren, wie das
> geht.
I(1,a)=int dr r e^-ar^2 = int d(a r^2)/(2a) e^-ar^2
das sollte gehen, dann gilt
I(2n+1,a) = (-d/da)^n I(1,a)
>
> Wie meinst du das mit dem Wurzel aus dem Integral mit ziehen mit der
> doppelten Dimension 2n?
>
In einer Dimension funktioniert der Trick
int_R dx e^-x^2 = sqrt(int_R^2 dx dy exp(-a (x^2+y^2)))=pi/a
Die h�heren ungeraden Dimensionen kann man wieder entweder mit dem
Differentiationstrick, durch Quadrieren zur doppelten geraden Dimension
oder durch Abspalten einer Dimension erledigen.
--
Roland Franzius
Roland Franzius
> Danke Roland,
>
> ich habe es gel�st, aber nur mit Mathematica:
>
> http://www.airlich.de/Semester5/Fragen/Theo5/VolumenNsphere.pdf
>
> F�r mich ist das Integral nach der Substitution f�r gerade n nicht
> trivial. Kann man das wirklich leicht integrieren? Eine geschickte
> Integrieren geht imo auch nicht. W�rde mich mal interessieren, wie das
> geht.
I(1,a)=int dr r e^-ar^2 = int d(a r^2)/(2a) e^-ar^2
das sollte gehen, dann gilt
I(2n+1,a) = (-d/da)^n I(1,a)
>
> Wie meinst du das mit dem Wurzel aus dem Integral mit ziehen mit der
> doppelten Dimension 2n?
>
In einer Dimension funktioniert der Trick
int_R dx e^-x^2 = sqrt(int_R^2 dx dy exp(-a (x^2+y^2)))=sqrt(pi/a)