Das Kalenderblatt 091107
WM
Wir bilden die Grundzeichen in eineindeutiger Weise auf natürliche
Zahlen ab. {{Gödel bedient sich eines}} formalen Systems P, für
welches wir die Existenz unentscheidbarer Sätze nachweisen wollen. P
ist im wesentlichen das System, welches man erhält, wenn man die
Peanoschen Axiome mit der Logik der PM überbaut (Zahlen als
Individuen, Nachfolgerrelation als undefinierten Grundbegriff).
{{Gödel codiert jedes Zeichen mit einer natürlichen Zahl. Er ordnet
jeder Zeichenkette eindeutig eine Gödelnummer G zu (die er natürlich
noch nicht so nennt), indem die Codezahl des n-ten Zeichens als
Exponent der n-ten Primzahl auftritt.
Beispiel: Seien a, b, c die Codezahlen der Zeichen A, B, C, so ist
G(ABC) = 2^a * 3^b * 5^c
Gödel codiert die Grundzeichen: "0" durch 1, "f" durch 3, ..., ")"
durch 13, die Zahlen durch Primzahlen p > 13, Klassen von Zahlen
durch Quadrate der p usw. Zum Beispiel bedeutet ff0 "der zweite
Nachfolger von 0" und trägt die Gödelnummer 2^3 * 3^3 * 5^1 = 1080.
Das Gleichheitszeichen verwendet Gödel nicht als Grundzeichen, sondern
stellt es nach dem Vorgang der PM
http://quod.lib.umich.edu/cache/a/a/t/aat3201.0001.001/00000001.tif.20.pdf
dar: This definition states that x and y are to be called identical
when every predicative function satisfied by x is also satisfied by y.
http://quod.lib.umich.edu/cgi/t/text/pageviewer-idx?c=umhistmath;cc=umhistmath;q1=13.01;rgn=full%20text;idno=aat3201.0001.001;didno=aat3201.0001.001;view=pdf;seq=00000198
}}
Dementsprechend ist dann eine Formel eine endliche Folge natürlicher
Zahlen und eine Beweisfigur eine endliche Folge von endlichen Folgen
natürlicher Zahlen. Die metamathematischen Begriffe (Sätze) werden
dadurch zu Begriffen (Sätzen) über natürliche Zahlen bzw. Folgen von
solchen und daher (wenigstens teilweise) in den Symbolen des Systems
PM selbst ausdrückbar. [...] Man kann z. B. eine Formel F(v) aus PM
mit einer freien Variablen v (vom Typus einer Zahlenfolge) angeben, so
daß F(v) inhaltlich interpretiert besagt: v ist eine beweisbare
Formel. Nun stellen wir einen unentscheidbaren Satz des Systems PM,
d.h. einen Satz A, für den weder A noch non-A beweisbar ist,
folgendermaßen her:
Eine Formel aus PM mit genau einer freien Variablen, u. zw. vom Typus
der natürlichen Zahlen (Klasse von Klassen) wollen wir ein
Klassenzeichen nennen. Die Klassenzeichen denken wir uns irgendwie in
eine Folge geordnet, bezeichnen das n-te mit R(n) und bemerken, daß
sich der Begriff ,,Klassenzeichen" sowie die ordnende
Relation R im System PM definieren lassen. Sei alpha ein beliebiges
Klassenzeichen; mit [alpha; n] bezeichnen wir diejenige Formel, welche
aus dem Klassenzeichen alpha dadurch entsteht, daß man die freie
Variable durch das Zeichen für die natürliche Zahl n ersetzt. [...]
Nun definieren wir eine Klasse K natürlicher Zahlen folgendermaßen:
n eps K == nonBew [R(n); n] (1)
(wobei Bew x bedeutet: x ist eine beweisbare Formel). {{Gödel drückt
die Negation durch Überstreichung aus.}} [...] es gibt ein
Klassenzeichen S, so daß die Formel [S; n] inhaltlich gedeutet besagt,
daß die natürliche Zahl n zu K gehört. S ist als Klassenzeichen mit
einem bestimmten R(q) identisch, d. h. es gilt
S = R(q)
für eine bestimmte natürliche Zahl q. Wir zeigen nun, daß der Satz [R
(q); q] in PM unentscheidbar ist. Denn angenommen der Satz [R(q); q]
wäre beweisbar, dann wäre er auch richtig, d.h. aber nach dem obigen q
würde zu K gehören, d.h. nach (1) es würde nonBew [R(n); n] gelten, im
Widerspruch mit der Annahme. Wäre dagegen die Negation von [R(q); q]
beweisbar, so würde non(n eps K) d. h. Bew [R(q); q] gelten. [R(q); q]
wäre also zugleich mit seiner Negation beweisbar, was wiederum
unmöglich ist.
[Kurt Gödel: "Über formal unentscheidbare Sätze der Principia
Mathematica und verwandter Systeme I", Monatshefte für Mathematik und
Physik 38 (1931) S.173–198.]
Warum hielt Wittgenstein nichts von Gödels Unvollständigkeitssatz?
Gruß, WM
Peter Niessen
> Warum hielt Wittgenstein nichts von G�dels Unvollst�ndigkeitssatz?
Ist das wichtig?
--
Mit freundlichen Gr�ssen:
Peter Niessen
Rainer Willis
> Am Fri, 6 Nov 2009 02:53:43 -0800 (PST) schrieb WM:
>
>> Warum hielt Wittgenstein nichts von G�dels Unvollst�ndigkeitssatz?
>
> Ist das wichtig?
Ach Peter, nat�rlich ist das wichtig. Mehr oder weniger. Schau:
Wittgenstein war ein Sch�ler Russells und auch sein Lehrer. Eine
ungew�hnliche Konstellation, aber dass dieser G�del in einem
Drei-Seiten-Artikel Russells Principia Mathematica so ruckzuck
kaputtmachen konnte hat auch Wittgenstein nicht gefallen. Darum sein
Widerwille.
Und nichts gegen Wittgenstein: sein Tractatus hab ich mit viel M�he aber
auch mit Vergn�gen gelesen. Er war ohne Zweifel ein kluger Kopf.
Ist das wichtig?
Jein. Historisch ja, mathematisch nein.
Gru� Rainer
Herbert Newman
> Peter Niessen schrieb:
>>
>> Am Fri, 6 Nov 2009 02:53:43 -0800 (PST) schrieb WM:
>>>
>>> Warum hielt Wittgenstein nichts von Gļæ½dels Unvollstļæ½ndigkeitssatz?
>>>
>> Ist das wichtig?
>>
>> [...]
>>
> Jein. Historisch ja, mathematisch nein.
Ja, so ist es. Man darf auch nicht vergessen, dass Wittgenstein zwar ein
(extrem) "kluger Kopf" war, aber eben _kein_ Mathematiker, sondern primļæ½r
Philosoph. Gļæ½dels Resultat ist in _erster Linie_ ein bedeutsames Resultat
fļæ½r die mathematische Logik - und hat fļæ½r diese auch weitreichende Impli-
kationen. Was Wittenstein _als Philosoph_ davon hielt oder nicht hielt,
ist da relativ belanglos (d.i. bedeutungslos).
MfG,
"Herbert"
Lit.: Jean van Heijenoort: From Frege to Gļæ½del. A Source Book in
Mathematical Logic, 1879-1931. Harvard University Press, 1967.
P.S. Gļæ½dels Arbeit hat etwas mehr als drei Seiten. Dreiļæ½ig Seiten kommt
eher hin. :-) Auļæ½erdem hat er darin auch nicht "Russells Principia
Mathematica so ruckzuck kaputt[ge]mach[t]", schon eher "Hilberts Programm";
aber das nur am Rande. ;-)
P.P.S. Erhellend auch etwas, was ich in der Wikipedia gefunden habe:
"Obwohl Gļæ½del sich in seiner Grundhaltung gegenļæ½ber dem damals bedeutsamen
logischen Positivismus nicht sehr von Ludwig Wittgenstein unterschied, der
eine Realitļæ½t jenseits der mļæ½glichen Bedeutung von Sļæ½tzen anerkannte (und
sie sogar fļæ½r wichtiger hielt als das Sagbare), hielten Wittgenstein und
Gļæ½del Zeit ihres Lebens nicht viel voneinander. In Wittgensteins Werk wird
der Unvollstļæ½ndigkeitssatz eher abschļæ½tzig behandelt. Fļæ½r Wittgenstein
taugte der Satz lediglich fļæ½r ļæ½logische Kunststļæ½ckeļæ½. Gļæ½del hingegen wies
in spļæ½teren Interviews jeglichen Einfluss Wittgensteins auf sein eigenes
Denken weit von sich."
http://de.wikipedia.org/wiki/G%C3%B6delscher_Unvollst%C3%A4ndigkeitssatz
Herbert Newman
>>>> Warum hielt Wittgenstein nichts von G�dels Unvollst�ndigkeitssatz? [WM]
Meine Antwort auf die Frage w�re also schlicht und einfach:
_Weil er kein Mathematiker war._
Herbert