Gegeben ist folgende Funktion: m_p(x,y) = ((x^p+y^p)/2)^(1/p)
Fuer p=0 ergibt diese Funktion das "geometrische Mittel", fuer p=-1 ergibt sie das "harmonische Mittel". Anscheinend ist es nun "leicht", nachzuweisen, dass die Funktion fuer p -> +oo max(x,y) und fuer p -> -oo min(x,y) ergibt. Tja, ich hab eine Weile rumprobiert, doch ohne nennenswerten Erfolg.
Kann mir bitte jemand zeigen, wie total "leicht" das ist.
Alexander Huber <ahu...@dogge.cosy.sbg.ac.at> writes: > Gegeben ist folgende Funktion: m_p(x,y) = ((x^p+y^p)/2)^(1/p)
> Fuer p=0 ergibt diese Funktion das "geometrische Mittel", fuer p=-1 > ergibt sie das "harmonische Mittel". Anscheinend ist es nun "leicht", > nachzuweisen, dass die Funktion fuer p -> +oo max(x,y) und fuer p -> > -oo min(x,y) ergibt. Tja, ich hab eine Weile rumprobiert, doch ohne > nennenswerten Erfolg.
> Kann mir bitte jemand zeigen, wie total "leicht" das ist.
Für p=1 gibt sie das arithmetische Mittel, nicht für p=0.
Mach Fallunterscheidung:
x=y -> m_p = x
|x|<|y|:
y ((1+(x/y)^p)/2)^(1/p)
Für p->+oo geht das gegen y (rechte Seite wird ((1+0)/2)^0 = 1 Ebenso für |x|>|y| und p->-oo
Die beiden anderen Fälle ergeben sich entsprechend anders rum.
In die Hose geht das Verfahren bei |x|=|y| und x /= y, etwa x=-1 und y=1. Aber falls x und y nicht beide positiv reell sind, gibt es eh Ärger mit mehrdeutigen Potenzen.
-- David Kastrup Phone: +49-234-700-5570 Email: d...@neuroinformatik.ruhr-uni-bochum.de Fax: +49-234-709-4209 Institut für Neuroinformatik, Universitätsstr. 150, 44780 Bochum, Germany
David Kastrup <d...@mailhost.neuroinformatik.ruhr-uni-bochum.de> writes: > > Gegeben ist folgende Funktion: m_p(x,y) = ((x^p+y^p)/2)^(1/p)
> > Fuer p=0 ergibt diese Funktion das "geometrische Mittel", fuer p=-1 > > ergibt sie das "harmonische Mittel". Anscheinend ist es nun "leicht", > > nachzuweisen, dass die Funktion fuer p -> +oo max(x,y) und fuer p -> > > -oo min(x,y) ergibt. Tja, ich hab eine Weile rumprobiert, doch ohne > > nennenswerten Erfolg.
> > Kann mir bitte jemand zeigen, wie total "leicht" das ist.
> Für p=1 gibt sie das arithmetische Mittel, nicht für p=0.
Scheinbar handelt es sich bei p=0 um einen Grenzfall, der als (x*y)^1/2 identifiziert werden kann, was dem geometrischen Mittel entspricht.
Danke jedenfalls fuer deinen Hinweis, wie obige Behauptung gezeigt werden kann ...
> Scheinbar handelt es sich bei p=0 um einen Grenzfall, der als > (x*y)^1/2 identifiziert werden kann, was dem geometrischen Mittel > entspricht.
Fuer sehr kleines positives p (z.B. p=0.001) liegen x^p und y^p beide sehr nahe an 1 und ihre Differenz deshalb sehr nahe an 0. Das _Quadrat_ ihrer Differenz ist noch einmal um eine Groessenordnung kleiner und kann deshalb vernachlaessigt werden:
x^(2p) - 2(xy)^p + y^(2p) = (x^p - y^p)^2 =:= 0,
also x^(2p) + y^(2p) =:= 2(xy)^p. (*)
("=:=" steht hier fuer das gewellte "=", also "ungefaehr gleich".)
>Gegeben ist folgende Funktion: m_p(x,y) = ((x^p+y^p)/2)^(1/p)
>Fuer p=0 ergibt diese Funktion das "geometrische Mittel", fuer p=-1 >ergibt sie das "harmonische Mittel".
p=-1 -> harmonisches Mittel (einfach) p=1 -> arithmetisches Mittel (einfach) p=0 -> geometrisches Mittel Beweis: Es ist in der Form 0^oo -> also L'Hospital vorbereiten, dafür braucht man einen Ausdruck 0/0:
m_p = exp( 1/p ln( 1/2(x^p +y^p ) ) ) = exp( ln( 1/2(x^p + y^p)) / p ) = exp( 0 / 0 ) Auf 0/0 L'Hospital => d/dp( ln( 1/2 (x^p + y^p) )) = 1/( 1/2(x^p+y^p) ) * 1/2 (x^p ln(x) + y^p ln(y)) ) Für p=0 -> 1/( 1/2( x^0+y^0)) * 1/2( x^0 ln(x) +y^0 ln(y) ) = 1/1 * /2( ln(x) + ln(y) ) = 1/2 ( ln(x) + ln(y) ) Das ist der 0/0 - Ausdruck von oben Einsetzen in exp(0/0): exp( 1/2 (ln(x) + ln(y) ) = sqrt( exp(ln(x)) * exp(ln(y) ) = sqrt( x * y ) Also m_0(x,y) = sqrt( x y ) q.e.d.
(wollte ich auch nur mal für mich so beweisen... )
> Anscheinend ist es nun "leicht", >nachzuweisen, dass die Funktion fuer p -> +oo max(x,y) und fuer p -> >-oo min(x,y) ergibt. Tja, ich hab eine Weile rumprobiert, doch ohne >nennenswerten Erfolg.
Umformung: 1/2 vor die Wurzel ziehen, Wurzel durch x teilen m_p = 1 / 2^p * x * ( 1 + (y/x)^p ) ^ (1/p)
Fallunterscheidungen: y < oder > x -> Wurzelargument -> 1+0 = 1 oder 1+oo = (y/x) ^p Ergibt dann als Wurzelergebnis y/x oder 1, also mal x: y, bzw. x DAS stimmt schon ABER: was ist mit dem 1/2^p? das stimmt doch nicht! AUSSERDEM: bei negativen x,y geht das mit dem max/min auch nicht richtig, von den Schwierigkeiten beim Potenzieren von negativen Zahlen mal ganz abgesehen
Dasselbe gilt für p -> -oo
Korrektur: m_p(x,y) = (x^p+y^p)^(1/p) für x,y >=0 (ausserdem reel), ergibt für p->oo max(x,y) und für p->-oo min(x,y)
In article <ydwsoi2y9m2....@dogge.cosy.sbg.ac.at> Alexander Huber <ahu...@dogge.cosy.sbg.ac.at> writes:
>Gegeben ist folgende Funktion: m_p(x,y) = ((x^p+y^p)/2)^(1/p)
>Fuer p=0 ergibt diese Funktion das "geometrische Mittel", fuer p=-1 >ergibt sie das "harmonische Mittel". Anscheinend ist es nun "leicht", >nachzuweisen, dass die Funktion fuer p -> +oo max(x,y) und fuer p -> >-oo min(x,y) ergibt. Tja, ich hab eine Weile rumprobiert, doch ohne >nennenswerten Erfolg.
>Kann mir bitte jemand zeigen, wie total "leicht" das ist.
Ersetze bei x>y (x^p+y^p) durch (x^p*(1+(y/x)^p) bzw. im anderen Fall andersherum ausklammern. Dann wird das zweite Glied der inneren Klammer bei steigendem p zu einer Nullfolge. Bei negativem p andersrum verfahren.
-- Best Regards, Dr. Peter Kittel // E-Mail: Private Site in Frankfurt, Germany \X/ peterk @ combo.ganesha.com
> >Gegeben ist folgende Funktion: m_p(x,y) = ((x^p+y^p)/2)^(1/p) > >Anscheinend ist es nun "leicht", > >nachzuweisen, dass die Funktion fuer p -> +oo max(x,y) und fuer p -> > >-oo min(x,y) ergibt. Tja, ich hab eine Weile rumprobiert, doch ohne > >nennenswerten Erfolg.
> Umformung: 1/2 vor die Wurzel ziehen, Wurzel durch x teilen > m_p = 1 / 2^p * x * ( 1 + (y/x)^p ) ^ (1/p)
> Fallunterscheidungen: y < oder > x -> Wurzelargument -> 1+0 = 1 oder 1+oo > = (y/x) ^p > Ergibt dann als Wurzelergebnis y/x oder 1, also mal x: y, bzw. x > DAS stimmt schon > ABER: was ist mit dem 1/2^p? das stimmt doch nicht!
_Das_ stimmt wirklich nicht; es muss natuerlich (1/2)^(1/p) heissen. Und (1/2)^(1/p) = 1/(2^(1/p)) geht ja wohl gegen 1 fuer p -> oo.
