Bestimmung einer Potenzgleichung
Herbert Brandt
Für die Potenzfunktion f(x)= (x+b)^n + c sind folgende 3 Punkte gegeben :
P1(x1 I y1 ), P2(x2 I y2 ), P3(x3 I y3)
Es soll f(x) ermittlt werden, also die Werte für b, n und c !
Grafisch hat
b die Bedeutung einer Kurvenverschiebung in X-Achsenrichtung
c die Bedeutung einer Kurvenverschiebung in Y-Achsenrichtung und
n legt die Art der Kurve fest.
n El Z+, gerade : f(x) stellt Scheitelpunktsform einer verschobenen Parabel dar.
n El Z+, ungerade : f(x) stellt die Wendepunktsform einer verschobenen S-Kurve dar.
n El Z-, gerade : f(x) stellt die Asymptotenform einer verschobenen Y- achsensymm. Hyperbel mit
waagerechten und senkrechten Asymptoten dar.
n El Z-, ungerade : f(x)stellt die Asymptotenform einer verschobenen, Koordinatennullpunkt-
symmetrischen Hyperbel mit waagerechten und senkrechten Asymptoten dar.
n El Q+, gerade : f(x) stellt die Scheitelpunktsform von verschobenen Parabel-Ästen dar.
n El Q-, ungerade : f(x) stellt die Asymptotenform von verschobenen Hyperbelästen dar.
Es ist also sehr nützlich, b,n und c zu bestimmen, um schnell über den Kurvenverlauf Bescheid zu wissen.
Man erhält die 3 Best.Gleichungen
(1) (x1 + b )^n + c = y1
(1´) c = y1 - (x1+b)^n
(2) (x2 + b )^n + c = y2
(3) (x3 + b )^n + c = y3
(1´) in (2) und (3) liefert zur Bestimmung von b und n :
(2´) (x2 + b )^n + y1 - (x1 + b )^n = y2
(3´) (x3 + b )^n + y1 - (x1 + b )^n = y3
HIER weiss ich nicht mehr weiter.........
Besten Dank für Eure Hilfe im voraus.
Roland
Christian Gollwitzer
> Hallo, wer kann helfen bei folgendem Problem:
> (1´) c = y1 - (x1+b)^n
> (2) (x2 + b )^n + c = y2
>
> (3) (x3 + b )^n + c = y3
Brauchst Du die Lösungen in analytischer Form? Willst Du das in ein
Programm einbauen? Dann wäre eine numerische Lösung vielleicht
einfacher. Ich habe starke Zweifel, dass man das analytisch auflösen
kann, denn es sieht mit den Unbekannten im Exponenten und im Offset
stark nach einer transzendenten Gleichung aus.
Evtl. kann man sie ja tatsächlich mit der LambertW-Funktion lösen,
andererseits würde ich Numerik empfehlen, z.B. Newton-Verfahren
Christian
Carsten Schultz
> Hallo, wer kann helfen bei folgendem Problem:
>
> Für die Potenzfunktion f(x)= (x+b)^n + c sind folgende 3 Punkte gegeben :
>
> P1(x1 I y1 ), P2(x2 I y2 ), P3(x3 I y3)
>
> Es soll f(x) ermittlt werden, also die Werte für b, n und c !
Wer sagt das? :-)
Die Lösung ist im allgemeinen nicht eindeutig, betrachte P1=(-1|1),
P2=(0|0), P3=(1|1).
Im allgemeinen existiert auch keine Lösung mit ganzzahligem n. Wählen
wir nämlich P2, P3 fest und generisch genug, so existieren für jedes n
(behaupte ich jetzt einfach mal) nur endlich viele b und c, die die
Gleichungen lösen. Wählen wir nun also noch ein festes x1 so werden die
Gleichungen nur für abzählbar viele y1 eine Lösung mit ganzzahligem n haben.
Gruß
Carsten
P.S.: Der Graph von f(x)=x^4 ist keine Parabel.
--
Carsten Schultz (2:38, 33:47)
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JCH
"Herbert Brandt" <socialg...@yahoo.de> schrieb im Newsbeitrag
news:adb9f$4af17583$54ad4185$3...@news1.surfino.com...
Läßt sich im Allgemeinen gut mit Gauß-Newton lösen.
BEISPIEL
(x_1+b)^n + c - y_1 = 0
(x_2+b)^n + c - y_2 = 0
(x_3+b)^n + c - y_3 = 0
Value(s), Constants(s)
x_1 = 0
x_2 = 1
x_3 = 2
y_1 = 2,4
y_2 = 3,8
y_3 = 5,4
Solution(s)
c = 1,372711262
n = 1,259821111
b = 1,02160051
--
Grüße JCH
Carsten Schultz
> X-No-Archive: Yes
>
> begin quoting, Carsten Schultz schrieb:
>
>> P.S.: Der Graph von f(x)=x^4 ist keine Parabel.
>
>
Doch, ich sag das :-)
> "Allgemein werden unter Parabeln die Funktionsgraphen von
> ganzrationalen Funktionen verstanden. Hat die Funktion den Grad n,
> dann wird der Graph als Parabel der Ordnung n bezeichnet.
> [...]
> In geometrischen Untersuchungen werden manchmal unter Parabeln nur
> Parabeln zweiter Ordnung verstanden."
> (<http://de.wikipedia.org/wiki/Parabel_%28Mathematik%29>)
Da würde mich jetzt doch mal mathematische Literatur interessieren, die
den Begriff so benutzt. Übrigens ist das auch anders als die Verwendung
des OP, der x^n nur für gerades n eine Parabel nennen wollte.
Gruß
Carsten
Herbert Brandt
> Herbert Brandt schrieb:
>> Hallo, wer kann helfen bei folgendem Problem:
>>
>> Für die Potenzfunktion f(x)= (x+b)^n + c sind folgende 3 Punkte gegeben :
>>
>> P1(x1 I y1 ), P2(x2 I y2 ), P3(x3 I y3)
>>
>> Es soll f(x) ermittlt werden, also die Werte für b, n und c !
>
> Wer sagt das? :-)
>
> Die Lösung ist im allgemeinen nicht eindeutig, betrachte P1=(-1|1),
> P2=(0|0), P3=(1|1).
>
> Im allgemeinen existiert auch keine Lösung mit ganzzahligem n. Wählen
> wir nämlich P2, P3 fest und generisch genug, so existieren für jedes n
> (behaupte ich jetzt einfach mal) nur endlich viele b und c, die die
> Gleichungen lösen. Wählen wir nun also noch ein festes x1 so werden die
> Gleichungen nur für abzählbar viele y1 eine Lösung mit ganzzahligem n haben.
>
> Gruß
>
> Carsten
>
> P.S.: Der Graph von f(x)=x^4 ist keine Parabel.
>
Hyperbel oder Parabel die beiden Asymptoten bezw. die beiden
Scheitelkoordinaten zu bestimmen und EINEN Punkt auszuwählen.
Anschließend ist die Exponentialgleichung für n zu lösen.
Für f(x) = (x1-b)^n + c = y1
hat dies jedenfalls gut geklappt.
Roland