Das Kalenderblatt 120213
CC: Rainer meinte ganz offenkundig drin sein im Sinne einer Element-
von-Relation. Du wechselst dabei immer wieder, was natürlich zu
beliebigen Aussagen führt.
WM: Nein! Ich benutze nur Mengen und die Inklusion.
CC: Insbesondere wirst Du sicherlich nicht behaupten wollen, eine
Teilmenge der Vereinigung müsse Teilmenge einer der beteiligten Mengen
sein.
WM: Selbstverständlich können die Elemente der Untermenge in
verschiedenen Mengen der Vereinigung stecken.
CC: Insbesondere auch in unendlich vielen davon, womit eine
Reduktion auf eine einzelne nur in Ausnahmefällen möglich ist.
WM: Nicht, wenn es sich um eine lineare Folge handelt, die Du sehr
treffend als inklusions-monotone Vereinigung bezeichnest. Da braucht
man nämlich niemals zwei oder mehr Untermengen.
CC: Dann führ einen formal sauberen Beweis, dass das in dem Fall
anders sein soll.
WM: Was für einen Beweis benötigst Du, um zu erkennen, dass jeder
Anfangsabschnitt der natürlichen Zahlen alle vorhergehenden Abschnitte
als Untermengen enthält?
1) Jeder endliche Anfangsabschnitt ist die Vereinigung aller seiner
Vorgänger.
2) Jeder endliche Anfangsabschnitt ist endlich.
3) Wie viele vereinigt werden, spielt keine Rolle, sofern sie nur
endlich sind. Das sind sie nach (2).
CC: Einmal abgesehen davon, dass das kein Beweis ist {{weniges wird
in der Mathematik so missbraucht wie die Behauptung, der Sprecher
wisse, was unter "ein Beweis", "eine Definition" und "sauber" zu
verstehen sei und vor allem was nicht}}, sondern eine Auflistung zu
beweisender Aussagen, gewissermaßen das Inhaltsverzeichnis des
Beweises, ist Schritt 3 falsch.
WM: 1) ist eine Definition, und 2) ist eine Trivialität, sogar eine
Tautologie. Einzig 3) ist eine Folgerung, die davon ausgeht, dass sich
Eigenschaften von mathematischen Objekten nicht dadurch ändern, dass
sie zu mehreren auftreten. Das setze ich tatsächlich voraus.
CC: Richtig wäre "sofern sie nur endlich viele sind“. {{Hier wird
leider wieder einmal der matheologische Glaubenssatz hervorgehoben,
die Eigenschaften endlicher Objekte seien von der Multiplizität ihres
Auftretens abhängig.}}
WM: Die wesentliche Eigenschaft eines Anfangsabschnittes, alle
Elemente seiner Vorgänger zu enthalten, soll also davon abhängen, wie
viele man betrachtet?
CC: Die Vereinigung endlich vieler endlicher Anfangsabschnitte ist
ein endlicher Anfangsabschnitt. Die Vereinigung unendlich vieler
verschiedener endlicher Anfangsabschnitte ist kein endlicher
Anfangsabschnitt.
[Christopher Creutzig, "Das Kalenderblatt 100117", de.sci.mathmatik,
31. 1. - 5. 2. 2010]
{{Man erkennt die völlig willkürliche und unmathematische Setzung. Mit
demselben Recht ließen sich in der unendlichen Vereinigung endlicher
Anfangsabschnitte unendliche natürliche Zahlen behaupten oder in der
Folge aller Exponentenmengen der Folge (a_k) mit a_k = 10^-1 + ... +
10^-k eine unendliche Exponentenmenge vermuten - was offensichtlich
falsch ist.
Und immer wieder flammt das Unverständnis der Inklusionsmonotonie
auf. Da werden Tänzer und Tänzerinnen, rote Kreise und grüne Dreiecke,
Transportarbeiter (s. KB120102) oder Marathonläufer bemüht, um die
unausweichlichen Konsequenzen einer Linearen Ordnung auf die
Quantorenreihenfolge abzumildern:}}
WM: Um einen Pfad von einem anderen zu unterscheiden, bedarf es
eines Knotens. Mehr Pfade als Knoten kann man also nicht
unterscheiden.
MS: Wir betrachten einen Marathonlauf mit n Haltepunkten, an denen
die Läufer etwas trinken können:
Start, P1, ..., Pn, Ende
Man startet bei Start, endet bei Ende und kann, muß aber nicht, an
jedem der P1, ..., Pn pausieren. Zwei Läufe sind verschieden, wenn der
eine mindestens einen Punkt beinhaltet, den der andere nicht
beinhaltet. Wie viele verschiedene Läufe gibt es? Wie kann man diese
unterscheiden, wo man doch nur n Punkte hat?
WM: Du hast leider das Prinzip der Inklusionsmonotonie noch nicht
verstanden. Auf den Pfaden des binären Baums trinkt jeder Läufer an
jedem Haltepunkt, bis er sich entscheidet, einen auszulassen. Aber
dann lässt er alle folgenden ebenfalls aus. Man kann das als Folge
darstellen, wie ich es schon oft hier getan habe (aber wohl noch nicht
oft genug):
1000...
11000...
111000...
...
Und damit ergeben sich selbst auf einem unendlich langen Pfad nur
abzählbar viele verschiedene Läufe.
[Markus Sigg, "Das Kalenderblatt 100125", de.sci.mathmatik, 1. 2.
2010]
A) Die Diagonalzahl steht in keiner Zeile Nummer n von Cantors
Liste.
Damit ist sie auch in der Liste (dem Falle für n --> oo) nicht
enthalten.
B) Eine Ziffernfolge ist durch keinen Anfangsabschnitt d_1, ..., d_n
definiert.
Damit ist sie auch im Grenzfall (für n --> oo) nicht definiert.
Du behauptest, dass die Cantor-Liste nichts enthält, was in jeder
Zeile auszuschließen ist, die Liste
{1}
{1, 2}
{1, 2, 3}
... aber alle unendlichen Untermengen von |N enthält, obwohl das für
jede Zeile auszuschließen ist.
Viele postulieren, dass eine unendliche Ziffernfolge eine Zahl
definiert. Eine Zahl ist aber nicht "sauber" definiert, bevor die
letzte Ziffer der Folge erkannt ist.
[WM, "Das Kalenderblatt 100125", de.sci.mathematik, 2. - 4. 2. 2010]
Gruß, WM
