Das Kalenderblatt 120208

[WM]

Das Kalenderblatt 120208


CC: Nach abzählbar vielen Schritten enthält die konstruierte
Knotenmenge alle Knoten, die die unendlichen Pfade enthalten. Es ist
aber kein einziger unendlicher Pfad konstruiert. {{Auch dieses
Beispiel zeigt wieder sehr anschaulich, dass zur "Widerlegungen"
meines Baumargumentes matheologische Elemente herangezogen werden, wie
in diesem und dem folgenden Beitrag die Unterscheidung des unendlichen
Pfades von der vollständigen Folge aller seiner Knoten.}}
CC: Das ist exakt das Gleiche, wie |N als Vereinigung endlicher
Teilmengen zu konstruieren und daraus folgern zu wollen, die
Potenzmenge von |N sei abzählbar. Sorry, ist einfach so.
{{Der Unterschied besteht darin, dass die Teilmengen von |N im
Gegensatz zu den Pfadabschnitten nicht linear geordnet sind, so dass
in einem einzigen Schritt mehrere Teilmengen fertig werden können. Zum
Beispiel vollenden sich beim Hinzufügen von 3 zur Menge {1, 2} die
Teilmengen {3}, {1, 3}, {2, 3} und {1, 2, 3}, die vorher noch nicht
vorhanden waren.}}
CC: Ich habe auch durchaus (und schon vor langer Zeit) verstanden,
was Du zeigen möchtest. Du hast nur die Gegenargumente nicht
verstanden.
{{Ich hatte bereits am 16. 12. darauf hingewiesen, dass Teilmengen der
natürlichen Zahlen nicht linear geordnet sind. "Das klassische
Beispiel ist { }, {1}, {2}, {1, 2}." [s. KB120204}}
CC: Du vermischst völlig verschiedene Mengen: Du beginnst mit der
Menge EP der endlichen Pfade. Die ist abzählbar. Dann bildest Du die
Menge EPK der Knoten der endlichen Pfade,
WM: Nein, diese Knoten sind bereits alle da. Interessieren aber
nicht weiter.
CC: EPK = U_{p in EP} p, wenn wir, was ja durchaus sinnvoll ist,
Pfade einfach als Mengen von Knoten ansehen. Die ist natürlich
ebenfalls abzählbar. Anschließend betrachtest Du die Menge UP der
unendlichen Pfade und die Menge UPK der Knoten der unendlichen Pfade,
also UPK = U_{p in UP} p. Was niemand bestreitet, st, dass EPK = UPK.
EP UP
| |
Vereinigung Vereinigung
| |
v v
EPK === UPK
Du behauptest, daraus EP = UP oder wenigstens card(EP) = card(UP)
folgern zu können. Genau das ist der Punkt, wo Dir Widerspruch
entgegenschlägt und den Du nicht einmal ansatzweise begründen kannst.
WM: Ich kann begründen, dass die Konstruktion aller endlichen Pfade
ohne die Konstruktion aller unendlichen Pfade gar nicht möglich ist.
[...] Wenn {1, 2, 3, ...} aus den unendlich vielen endlichen
Anfangsabschnitten vereinigt wird, ist es dann auch etwas ganz anderes
als |N?
[Christopher Creutzig, "Das Kalenderblatt 091206", de.sci.mathematik,
1. 1. 2010]

B: (1) Zu jedem n-ten Konstruktionsschritt sei P(n) die Menge der
bis dahin konstruierten (endlichen) Pfade. Die Vereinigung aller
dieser Mengen P(n) (n aus IN) ist die Menge aller endlichen Pfade.
Kein unendlicher Pfad ist Element dieser Vereinigung, die wir kurz mit
E bezeichnen wollen. Damit ist E nicht die Menge aller Pfade des
Baums.
Allerdings steht (1) nicht im Widerspruch zu der Aussage, dass die
Menge X der unendlichen Pfade überabzählbar ist.
WM: Aber es steht im Widerspruch zu der Aussage, dass die
Vereinigung aller endlichen Anfangsabschnitte ein unendlicher
Abschnitt ist.
[Bobo, "Das Kalenderblatt 091206", de.sci.mathematik, 1. 1. 2010]

MK: Wenn der unendliche binäre Baum als gegeben vorausgesetzt ist,
dann sind alle unendlichen Pfade da und brauchen nicht als Vereinigung
endlicher Pfade beschrieben werden.
WM: Können aber. Ich frage: Wie kann man {1}, {1, 2}, {1, 2,
3}, ... vereinigen, ohne {1, 2, 3, ...} zu erhalten?
[Michael Klemm, "Das Kalenderblatt 091206", de.sci.mathematik, 1. 1.
2010]

WM: Path p cannot be distinguished from every path of P.
V: Whatever countable set of paths, P, may be used to build a
maximal infinite binary tree, there are too many paths in the
resulting tree to be contained in the original P.
WM: I have built a complete maximal binary tree by means of a
countable set P of path. You may choose a path and prove wether it is
in the tree or not. I will tell you afterwards what P is. But this is
of no relevance, because every countable set of terminating paths or
paths with a special tail like 31415... or 121212... will yield the
same
tree.
[Virgil, "Answer to Dik T. Winter", sci. logic, 14. 6. 2009]

WM: I do not argue that there is a bijection with all real
numbers.
DW: You did assert that there was a bijection with the set of all
paths in the tree. You have not proven that.
WM: I do not argue that there is a bijection with what you dream of
as "all real numbers". I show that the number of paths that can be
identified by sequences of nodes or bits is countable.
[Dik T. Winter, Ralf Bader, Brian Chandler, "Answer to Dik T. Winter",
sci. logic, 30. 6. 2009]

WM: My proof rests upon the fact that after the set of all finite
paths of the form 0.1, 0.11, 0.111, ... has been constructed, there is
no chance to construct the path 0.111... in addition.
RR: Why not start with path 0.111... and then add those other paths
0.1, 0.11, 0.111, ...?
WM: This is really a splendid idea! In this manner all real numbers
of the unit interval can be inserted into the infinite binary tree,
1/3 and 3/137 and even 1/pi. In addidion the tree can be completed by
all the "terminating paths" (those with tails 000...). Alas, we have
used for construction a countable set of paths (because all real
numbers you know or can construct by means of Cantor's diagonal method
form a countable set).
This leads to the result that there are not uncountably many paths
in the tree, unless they sneak in during / after construction.
[Rainer Rosenthal, "Answer to Dik T. Winter", sci. logic, 12. 6.
2009]

Gruß, WM