Eine Inklusion mit Gamma
Peter Luschny
[ Nachfolger des Threads "Eine Ungleichung mit exp". ]
Alex.Lupas schrieb:
> es seien f:I-->R,I=(alpha,beta), eine konvexe Funktion.Dann
> (A) f(px+qy)=< pf(x)+qf(y) , p,q>=0 , p+q=1 .
> Fuer -infty <alpha< a<b<c< beta <infty,
> x:=a , y:= c ,p:=(c-b)/(c-a) , q=(b-a)/(c-a)
> px+qy=b und weiter aus (A)
> (B) f(b) =< (c-b)f(a)/(c-a) + (b-a)f(c)/(c-a) .
> ====
> Bezueglich Log-konvexe-Funktionen:
> wenn H:(0,infty)--->(0,infty) ist so dass log_e(H(x)):=ln(H(x))
> (strict) konvex auf (0,infty) ist ,dann fuer alle a,b,c
> (0<a<b<c<infty)
> gilt die Ungleichung (siehe (B) mit f(x):= ln(H(x)) )
> (1) [H(b)]^{c-a}<[H(a)]^{c-b}[H(c)]^{b-a} .
> Aber log(Gamma(.)) is konvex. [Z.B.siehe :
> ein Satz von Harald Bohr&J.Mollerup sagt:
> " Gamma:(0,infty)--->(0,infty) ist die einzige Funktion
> G:(0,infty)--->(0,infty) mit der Eigenschaften:
> 1) G(x+1)=xG(x)
> 2) ln(G(x)) eine konvexe Funktion auf (0,infty)
> 3) G(1)=1 . "
> In (1) waehlen wir a=x (x>0) , b=x+1/2 , c=x+1 , H(x)=Gamma(x).
> Wir bekommen
> Gamma(x+0.5) < [Gamma(x)]^{0.5}[Gamma(x+1)]^{0.5}=
> = [Gamma(x+1)/x]^{0.5}] [Gamma(x+1)]^{0.5}=Gamma(x+1)/sqrt(x),
> dass heisst
> (2) sqrt(x) < Gamma(x+1)/Gamma(x+0.5) fuer x >0 .
> Weiter wahlen wir in (1) die Punkten a=x+1/2 , b=x+1 ,c=x+3/2
> wobei x>-1/2 . Es folgt
> Gamma(x+1) < [Gamma(x+0.5)]^{0.5}[Gamma(x+1.5)]^{0.5}=
> = [Gamma(x+0.5)]^{0.5}[(x+0.5)Gamma(x+0.5)]^{0.5}=
> =(x+0.5)^{0.5}Gamma(x+0.5) ,
> genauer, fuer x>0
> (3) Gamma(x+1)/Gamma(x+0.5) < sqrt(x+0.5) .
> ==============================================
In diesem Beweis kommt die exp-Funktion (scheinbar) gar nicht
mehr vor, und deshalb habe ich auch einen neuen Faden begonnen.
Danke für diesen Beweis, der sich auf die Eigenschaften konvexer
und log-konvexer Funktionen stützt.
> BEMERKUNGEN:
> 1) Sagen wir dass Ungleichungen der Art
> (*) A(x) < Gamma(x+1)/Gamma(x+0.5)<B(x) , x>0 ,
> verifiziert sind.
Hier referiere ich einmal den Stand der Diskussion auf sci.math
zu diesem Thema aus meiner Sicht:
------------------------------------------
Sei B(f,x) = (x+1/4)^(1/2)*exp(f(x))
u(x) = (8x+2)^(-2)
l(x) = (8x+2)^(-4)(64x^2+32x-6)
Dann gilt die Inklusion
Gamma(x + 1)
B(l,x) < ------------ < B(u,x).
Gamma(x+1/2)
-------------------------------------------
Die Schranke B(u,x) hat David Cantrell angegeben, die
Schranke B(l,x) habe ich angegeben.
> In (*) setzen wir x:= t+1/2 , t>-1/2. Weil
> Gamma(x+1)/Gamma(x+0.5)= (t+1/2)Gamma(t+1/2)/Gamma(t+1) ,
> aus (*) duerfen wir schreiben
> A(t+0.5)< (t+0.5)Gamma(t+0.5)/Gamma(t+1) < B(t+0.5)
> oder
> (**.1) C(x) < Gamma(x+1)/Gamma(x+0.5)< D(x), x>0 (x>-1/2),
> mit
> (**.2) C(x):=(x+0.5)/B(x+0.5) , D(x):= (x+0.5)/A(x+0.5) .
[... Ein Beispiel: sqrt ...]
Als Beispiel wähle ich jetzt B(l,x) und B(u,x).
x + 1/2 Gamma(x + 1) x + 1/2
---------- < ------------ < ----------
B(u,x+1/2) Gamma(x+1/2) B(l,x+1/2)
> Kurz gesagt, aus eine Obereschranke fuer
> Gamma(x+1)/Gamma(x+0.5) liefert uns eine Untereschranke
> (und umgekhaert).
Sei L(x) = (x+1/2)/B(u,x+1/2)
U(x) = (x+1/2)/B(l,x+1/2)
G(x) = Gamma(x+1)/Gamma(x+1/2)
Nach deinen Ausführungen gilt also
L(x) < G(x) < U(x).
Jetzt stellen sich die Fragen:
Ist Davids gespiegelte Schranke besser als meine untere Schranke?
Ist meine gespiegelte Schranke besser als Davids obere Schranke?
Was für ein freundlicher Wettbewerb ;-)
Gruss Peter
Alex.Lupas
> zu diesem Thema aus meiner Sicht:
> ------------------------------------------
> Sei B(f,x) = (x+1/4)^(1/2)*exp(f(x))
> u(x) = (8x+2)^(-2)
> l(x) = (8x+2)^(-4)(64x^2+32x-6)
> Dann gilt die Inklusion
>
> Gamma(x + 1)
> B(l,x) < ------------ < B(u,x).
> Gamma(x+1/2)
> -------------------------------------------
>
> Die Schranke B(u,x) hat David Cantrell angegeben, die
> Schranke B(l,x) habe ich angegeben.
>
> x + 1/2 Gamma(x + 1) x + 1/2
> B(u,x+1/2) Gamma(x+1/2) B(l,x+1/2)
>
> Sei L(x) = (x+1/2)/B(u,x+1/2)
> U(x) = (x+1/2)/B(l,x+1/2)
> G(x) = Gamma(x+1)/Gamma(x+1/2)
>
> Nach deinen Ausführungen gilt also
>
> L(x) < G(x) < U(x).
>
> Jetzt stellen sich die Fragen:
> Ist Davids gespiegelte Schranke besser als meine untere Schranke?
> Ist meine gespiegelte Schranke besser als Davids obere Schranke?
> Was für ein freundlicher Wettbewerb ;-)
Zu vergleichen U(x) mit B(u,x) . Wenn
T(x):= U(x)/B(u,x)
habe ich gefunden
(1) T(x)=(x+0.5)/(sqrt(x^2+x+3/16)*exp((8x-1)(8x+5)/(8x+2)^2)
Aber
T(0)=2*exp(1.25)/sqrt(3) > 1 , und
T(infty):=lim_{x-->infty}T(x)=1/e < 1.
Nach mir man kann sagen dass die obere
Schranken U(x) und B(u,x),
nicht vergleichbar (auf (0,infty)) sind.
-----------------------
Genauer fuer x klein die Ungleichung
G(x) < U(x) ist "besser" als G(x) <B(u,x) .
Fuer groesse Werten , die Ungleichung
G(x)<B(u,x) wird besser sein .
So wie so
G(x) < min(U(x),B(u,x))=(U(x)+B(u,x)-|U(x)-B(u,x)|)/2
fuer alle x in (0,infty) .Gruss,Alex
Peter Luschny
> Zu vergleichen U(x) mit B(u,x) .
[...]
> Genauer fuer x klein die Ungleichung
> G(x) < U(x) ist "besser" als G(x) < B(u,x) .
> Fuer groesse Werten, die Ungleichung
> G(x) < B(u,x) wird besser sein .
Das heißt also, diese Technik des Verwandeln
einer unteren Schranke in eine obere macht
(zumindest in diesem Fall) nicht viel Sinn.
Finde ich auch gar nicht schlimm, denn es stehen
ja hinreichend viele einfache wie auch scharfe
Schranken mittlerweile zur Verfügung.
Somit bleibt der Stand der Dinge:
------------------------------------------
Sei B(f,x) = (x+1/4)^(1/2)*exp(f(x))
u(x) = (8x+2)^(-2)
l(x) = (8x+2)^(-4)(64x^2+32x-6)
Dann gilt die Inklusion
Gamma(x + 1)
B(l,x) < ------------ < B(u,x).
Gamma(x+1/2)
-------------------------------------------
Mich reizt es nach wie vor, diese Schranken weiter
zu verbessern. Außerdem sieht es aus, als ob es da
ein 'pattern' geben würde.
Also noch einmal den Bleistift gespitzt ... und:
w(x) = (8x+2)^(-6)(4096x^4+4096x^3+896x^2-64x+904/3)
Schauen wir uns mal einen Beispielswert an, wobei
G(x) = GAMMA(x+1)/GAMMA(x+1/2).
B(u,9) - G(9) = 0.1008e-5
B(w,9) - G(9) = 0.7341e-10
Das sieht so auf den ersten Blick nicht schlecht aus.
Die Behauptung wird somit hochgeschraubt auf:
Gamma(x + 1)
B(l,x) < ------------ < B(w,x).
Gamma(x+1/2)
Jetzt werde ich mich mal dem Beweis widmen. Zum Glück
ist es nur ein Abwasch für alle drei Schranken.
Gruss Peter
Alex.Lupas
Die folgende Ungleichungen
sqrt(x+ 1/4) < G(x) < sqrt(x + sqrt(2)/4)
sind verifieziert fuer x >0, wobei wie oben
G(x):= Gamma(x+1)/Gamma(x+ 1/2).
Die linke Ungleichung scheint bekannt zu sein.
Gruss,Alex
Peter Luschny
Hallo Alex!
> Die folgende Ungleichungen
>
[*] > sqrt(x+ 1/4) < G(x) < sqrt(x + sqrt(2)/4)
>
> sind verifieziert fuer x >0, wobei wie oben
> G(x):= Gamma(x+1)/Gamma(x+ 1/2).
> Die linke Ungleichung scheint bekannt zu sein.
Die obere Schranke von [*] ersetze ich durch eine
einfachere und deutlich schärfere:
sqrt(x + 8/32) < G(x) < sqrt(x + 9/32) (für x >= 2/3).
Gruss Peter
P.S. Einige Leute hier *lieben* es, alles auf
OEIS nachschauen zu können. Können wir diesen
empfehlen, sofern sie auch auf die lästigen
Nachkommastellen verzichten können, einfach
A00196 nachzuschlagen? ;-)
Alex.Lupas
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Rainer Rosenthal
>
> P.S. Einige Leute hier *lieben* es, alles auf
> OEIS nachschauen zu können. Können wir diesen
> empfehlen, sofern sie auch auf die lästigen
> Nachkommastellen verzichten können, einfach
> A00196 nachzuschlagen? ;-)
>
OEIS in Wikipedia für alle Freunde des OEIS und
solche, die es noch werden wollen:
http://de.wikipedia.org/wiki/OEIS
Ich bin dem Link zu A00196 gefolgt, weil ich selten
bis nie von einem Streifzug durch's OEIS zurückge-
kommen bin ohne was Interessantes gelesen zu haben.
Mit A00196 verwandt ist A00267, worin sich ein
Verweis findet auf eine Frage von Ramanujan:
http://www.imsc.res.in/~rao/ramanujan/CamUnivCpapers/question/q723.htm
Zu zeigen ist:
floor(sqrt(n)+sqrt(n+1)) = floor(sqrt(4n+2))
Dies dürfte auch Alex gefallen, dessen kürzlich gepostete
floor-Aufgabe zur Goldenen Zahl Phi mich erfreut hat.
Aber vielleicht knobelt er ja gerade an Wolfgang Thumsers
Aufgabe: wenn 0 < x < y, dann x^(y^x) < y^(x^y).
Gruss,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de
Rainer Rosenthal
> LITERATUR ueber Gamma-Funktion (Ungleichungen)
>
> [1] M. Abramowitz and I. A. Stegun (eds.),
> Handbook of Mathematical Functions with Formulas,
> Graphs and Mathematical Tables, Dover, New York, 1965.
>
Das ist etwa so allgemein wie der Hinweis auf den Cauchy-Mittelwertsatz
und wird Dir noch einen weiteren Sonderpreis von Peter einbringen :-)
> [84] D.V. Slavic, On inequalities for G(x+1)/G(x+1/2),
> Univ. Beograd. Publ. Elektrotehn.
> Fak.Ser. Mat. Fiz. 498-541 (1975), 17--20.
Das hingegen ist so speziell, dass es knallt. Mal sehen, wer hier
in der Gruppe durch Literaturkenntnis hervorsticht und auch
Elektrotechniker ist. Vielleicht gibt es ja auch alles schon
fix und fertig im Werk von Spinoza nachzulesen.
Gruss,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de
Peter Luschny
> LITERATUR ueber Gamma-Funktion (Ungleichungen)
Hallo Alex!
Was für eine wertvolle Sammlung zu unserem Thema!
Vielen Dank!
Ich habe jetzt mal versucht eine Übersicht anzulegen
über das, was ich in den letzten Tagen ausgehend von
deinem Thread in sci.math gelernt habe und es leicht
zugänglich aufzubereiten.
Würdest du mir denn die Erlaubnis geben, deine
Literatursammlung dieser Seite hinzuzufügen?
http://www.luschny.de/math/factorial/approx/gammaquot.html
Damit du mal sehen kannst, wie hübsch das aussieht,
habe ich sie probehalber schon einmal dazugetan.
Ist aber sofort wieder gelöscht, wenn du es nicht möchtest.
Gruss Peter
Alex.Lupas
Hallo Peter,es ist klar !
Du hast die Erlabunis bzw. Literatursmmlung.
Ich freue mich sehr dass jemand hat sie nutzlich oder interessant.
Mit Freundschaft,Alex
Peter Luschny
> Peter Luschny wrote:
>> Alex.Lupas schrieb:
>>> LITERATUR ueber Gamma-Funktion (Ungleichungen)
>> Was für eine wertvolle Sammlung zu unserem Thema!
>> Würdest du mir denn die Erlaubnis geben, deine
>> Literatursammlung dieser Seite hinzuzufügen?
> Du hast die Erlabunis bzw. Literatursmmlung.
Vielen, vielen Dank Alex, für diese wunderbare Spende.
> Ich freue mich sehr dass jemand hat sie nutzlich oder interessant.
Ich denke dort hat sie auch einen guten Platz. Ich habe die Seite
jetzt von der Hauptseite aus
http://www.luschny.de/math/factorial/FastFactorialFunctions.htm
zugänglich gemacht. Und diese Seite wird bemerkenswert gut
besucht (über 16000 Besucher in den letzten 8 Monaten).
Und auch ihr Google-Ranking ist ungewöhnlich hoch (liegt auf
Platz 5 für 'factorial function').
Will sagen, die Chancen stehen gut, dass deine Bibliographie
dort auch vom interessierten Publikum wahrgenommen wird.
Im übrigen habe ich jetzt auch den numerischen Teil eingefügt.
Man sieht sehr schön, wie sich die beiden Haupttypen unterscheiden:
Die Sqrt-basierten Formeln geben immer ein prächtiges Pärchen ab,
während die Exp-basierten B(u,x),B(l,x),B(w,x) eine gemeinsame
Wurzel haben und sich wie eine asymptotische Reihe verbessern.
Viele Grüsse Peter
Alex.Lupas
leider die Literatur ist nicht komplett. Zum Beispiel dort
habe ich vergessen folgende Artikel:
[90] G.N.Watson,
A note on gamma functions,
Proc.Edinburgh Math.Soc.(2)11(1958/59)Edinburgh Math.Notes
42(1959),7--9 .
Der Verfasser zeigt dass
" if
1/G(x):=Gamma(x+0.5)/Gamma(x+1)=(x+H(x))^{-1/2}
then
1/4 =< H(x) =< 1/2 for x >= -1/2
and
1/4 =< H(x) =< 1/Pi when x >= 0."
Peter Luschny
> leider die Literatur ist nicht komplett.
Das wird sie wohl auch niemals sein können :)
Aber ich habe das gute Gefühl, dass dort die
wichtigsten Sachen zu finden sind, wenn auch
nicht immer die allerneuesten. Aber gerade
darin liegt für mich ihr besonderer Wert!
> Zum Beispiel dort
> habe ich vergessen folgende Artikel:
> [90] G.N.Watson,
> A note on gamma functions,
> Proc.Edinburgh Math.Soc.(2)11(1958/59)Edinburgh Math.Notes
> 42(1959),7--9 .
Habe ich nachgetragen. Du kannst mir gerne jederzeit auch per
privater Email Ergänzungen schicken, wenn du dies möchtest.
Gruss Peter