WM: Man kann Regeln angeben, die unbeschränkte Binärdarstellungen zu
konstruieren erlauben, z. B. "1/3" = "0,010101..." . Hier habe ich
*zwei endliche* Regeln angegeben. Die unbeschränkte Binärdarstellung
habe ich natürlich nicht angegeben, nicht angeben können. Das kann
keiner.
   WT: Unbeschränkte Binärdarstellungen (genauso wie endliche) lassen
sich also in gewissen Faellen durch endliche Regeln ueber einem
endlichen Alphabet beschreiben.
   Eine solche Beschreibung gestattet (im Prinzip jedenfalls), die n-
te Binaerstelle einer solchen Zahl fuer jedes vorgegebene natuerliche
n auszurechnen.
   Eine solche Zahl wollen wir eine endlich beschreibbare reelle Zahl
nennen (kurz: eine e.b. Zahl). sqrt(2) oder Pi sind bspw. e.b. Zahlen,
da es einen Algorithmus (ein endliches Programm) gibt, der die n-te
Binaerstelle dieser Zahlen (im Prinzip jedenfalls) fuer jedes
vorgegebene n auszurechnen gestattet, wie man aus den Rekorden fuer Pi
ja weiss.
   Es ist klar, dass die Menge aller e.b. Zahlen abzaehlbar ist (da
die Menge aller Woerter uber einem endlichen Alphabet abzaelbar ist,
und die Menge aller e.b. Zahlen ist eine Teilmenge davon).
   Hier stellt sich nun die interessante Frage: Ist diese Abzaehlung
ebenfalls endlich beschreibbar? M.a.W.: Gibt es eine endliche
Vorschrift (ein Programm), welche zu einer vorgegebenen natuerlichen
Zahl n als Input gerade die endliche Zeichenkette zurueckliefert, die
wiederum die n-te e.b. Zahl unserer Abzaehlung beschreibt?
   Vergisst man also saemtliche "Moonshine" reellen Zahlen und
beschraenkt sich auf die Menge M der e.b. Zahlen, so kommt man mglw.
zu dem Schluss, dass M zwar abzeahlbar, aber _nicht_ e.b. abzaehlbar
ist.
   WM: Ich habe für diesen Fall die folgende Liste zur Hand:
0
1
00
01
10
11
000
...
sie enthält alles, was gesagt, gezählt geschrieben werden kann,
selbstverständlich auch alle e.b., Zahlen. Außerdem enthält sie auch
alle Zeichen aller endlichen Alphabete und alle endlichen
Definitionen, selbstverständlich nur in einer vielleicht noch zu
ersinnenden Sprache, aber dafür auch alle Übersetzungsregeln in alle
Sprachen. Kurz: Durch diese Liste und ggf. das kartesische Produkt
mit
endlich vielen weiteren Listen ist alles Sagbare gesagt. Diese Produkt
ist abzählbar. Damit ist keine Abzählung in Deinem Sinne gegeben, aber
eine Abschätzung aller e.b. Zahlen nach oben als nicht überabzählbar.
   Dass Deine Frage nicht bejaht werden kann, liegt einfach an der
Widersprüchlichkeit der Annahme des aktual Unendlichen. Zu jeder Menge
e.b. Zahlen kann man eine weiter finden, weil es diese Menge nicht
vollständig gibt.
   Dass die ganze Abzählerei versagt, habe ich hier in für mich (und
zahlreichen andere) jedenfalls überzeugender Weise gezeigt.
   1) Die unendlichen Pfade des binären Baums sind isomorph zur Menge
aller Binärfolgen der rellen Zahlen im Einheitsintervall.
   2) Alle Konfigurationen des binären Baums einschließlich der
vollständigen (und selbstverständlich einschließlich aller unendlichen
Pfade) entstehen in einer abzählbaren Vereinigung von Konfigurationen
nach mehrfach gezeigtem Muster.
   3) Da die unendlichen Pfade vorher nicht da waren, nachher aber da
sind, müssen auch sie alle in dieser abz. Vereinigung entstanden sein.
(Hier geht es nicht um irgendwelche platonische Existenz, sondern um
die Anwesenheit in einer Vereinigung.)
   4) Anhand der bekannten Konfigurationen kann jeder, der möchte,
prüfen, dass niemals zwei Pfade in einer Konfiguration vorhanden sind,
die beide in der vorausgehenden fehlten.
   5) Will man die Existenz von überabz. vielen Pfaden trotzdem
behaupten, so müssen sie "kurz vor dem Unendlichen" entstehen,
jedenfalls nach jedem endlich nummerierten Schritt.
   6) Wenn das jemand behaupten wollte, dann müsste er diese
Möglichkeit auch in Cantors Diagonalargument zulassen. Auch dort
können schließlich nur alle endlichen Konfigurationen geprüft werden -
genau wie bei meinem Argument. Auch die Diagonalzahl könnte dann "am
Ende" in die Liste eingeschwärzt werden.
   7) Dann gibt es aber keinen Beweis mehr für Überabzählbarkeit. Also
ist diese Idee in jedem Falle selbstwidersprüchlich und
unmathematisch.
[Wolfgang Thumser, "Das Kalenderblatt 100117", de.sci.mathematik, 23.
1. 2010]

Gruß, WM